理学线性代数课后习题解答习题详解

1、第四章向量组的线性相关性1设, 求及.解 2设其中, ,求.解由整理得3. 已知向量组A:a1=(0,1,2,3)T,a2=(3,0,1,2)T, a3=(2,3,0,1)T;B:b1=(2,1,1,2)T,b2=(0,-2,1,1)T, b3=(4,4,1,3)T,证明B组能由A组线性表示, 但A组不能由B组线性表示. 证明 由知R(A)=R(A,B)=3, 所以B组能由A组线性表示. 由知R(B)=2. 因为R(B)¹R(B,A), 所以A组不能由B组线性表示.4. 已知向量组A:a1=(0, 1, 1)T,a2=(1, 1, 0)T;B:b1=(-1, 0, 1)T,b2=(1

2、, 2, 1)T, b3=(3, 2,-1)T,证明A组与B组等价. 证明 由,知R(B)=R(B,A)=2. 显然在A中有二阶非零子式, 故R(A)³2, 又R(A)£R(B,A)=2, 所以R(A)=2, 从而R(A)=R(B)=R(A,B). 因此A组与B组等价.5. 已知R(a1,a2,a3)=2,R(a2,a3,a4)=3, 证明(1) a1能由a2,a3线性表示;(2) a4不能由a1,a2,a3线性表示. 证明 (1)由R(a2,a3,a4)=3知a2,a3,a4线性无关, 故a2,a3也线性无关. 又由R(a1,a2,a3)=2知a1,a2,a3线性相关,

3、故a1能由a2,a3线性表示. (2)假如a4能由a1,a2,a3线性表示, 则因为a1能由a2,a3线性表示, 故a4能由a2,a3线性表示, 从而a2,a3,a4线性相关, 矛盾. 因此a4不能由a1,a2,a3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关:(1) (-1, 3, 1)T,(2, 1, 0)T,(1, 4, 1)T;(2) (2, 3, 0)T,(-1, 4, 0)T,(0, 0, 2)T. 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A. 因为,所以R(A)=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关.(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B. 因为,所以R(B)=3等于向

4、量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a取什么值时下列向量组线性相关？a1=(a,1,1)T,a2=(1,a,-1)T, a3=(1,-1,a)T. 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A. 由知, 当a=-1、0、1时,R(A)<3, 此时向量组线性相关.8. 设a1,a2线性无关,a1+b,a2+b线性相关, 求向量b用a1,a2线性表示的表示式. 解 因为a1+b,a2+b线性相关, 故存在不全为零的数l1,l2使l1(a1+b)+l2(a2+b)=0,由此得 ,设, 则b=ca1-(1+c)a2,cÎR.9.设a1,a2线性相关,b1,b2也线性相关, 问a1+b1

5、,a2+b2是否一定线性相关？试举例说明之. 解 不一定.例如, 当a1=(1,2)T,a2=(2,4)T, b1=(-1,-1)T,b2=(0,0)T时, 有a1+b1=(1,2)T+b1=(0,1)T,a2+b2=(2,4)T+(0,0)T=(2,4)T,而a1+b1,a2+b2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10举例说明下列各命题是错误的:(1) 若向量组是线性相关的,则可由线性表示.(2) 若有不全为0的数使成立, 则线性相关, 亦线性相关.(3) 若只有当全为0时,等式才能成立,则线性无关, 亦线性无关.(4) 若线性相关, 亦线性相关,则有不全为0的数, 使同时成立.解 (1)

6、 设, 满足线性相关, 但不能由线性表示.(2) 有不全为零的数使原式可化为取. 其中为单位向量,则上式成立,而,均线性相关.(3) 由 (仅当)线性无关取, 取为线性无关组. 满足以上条件,但不能说是线性无关的.(4)与题设矛盾.11设,证明向量组线性相关.证明设有使得则(1) 若线性相关,则存在不全为零的数,; ; ; ;由不全为零,知不全为零,即线性相关.(2) 若线性无关, 则由知此齐次方程存在非零解. 则线性相关.综合得证.12设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关.证明设则因向量组线性无关,故因为故方程组只有零解.则. 所以线性无关13求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1)

7、,;(2),.解(1)线性相关.由秩为2,一组最大线性无关组为.(2) 秩为2,最大线性无关组为.14利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组线性表示:(1) ; (2) .解(1)所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)，所以第1、2、3列构成一个最大无关组15. 设向量组(a,3,1)T,(2,b,3)T,(1,2,1)T,(2,3,1)T的秩为2, 求a,b. 解 设a1=(a,3,1)T,a2=(2,b,3)T,a3=(1,2,1)T,a4=(2,3,1)T. 因为,而R(a1,a2,a3,a4)=2, 所以a=2,b=5.16设是一组维向量,

8、已知维单位坐标向量能由它们线性表示,证明线性无关.证明 维单位向量线性无关. 不妨设:所以两边取行列式，得由即维向量组所构成矩阵的秩为. 故线性无关.17设是一组维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示.证明设为一组维单位向量，对于任意维向量则有即任一维向量都可由单位向量线性表示.线性无关，且能由单位向量线性表示，即故两边取行列式，得由令 . 由即都能由线性表示，因为任一维向量能由单位向量线性表示，故任一维向量都可以由线性表示.已知任一维向量都可由线性表示，则单位向量组：可由线性表示，由16题知线性无关.18. 设向量组a1,a2,××

9、5;,am线性相关, 且a1¹0, 证明存在某个向量ak (2£k£m), 使ak能由a1,a2,×××,ak-1线性表示. 证明 因为a1,a2,×××,am线性相关, 所以存在不全为零的数l1,l2,×××,lm,使l1a1+l2a2+×××+lmam=0,而且l2,l3,×××,lm不全为零. 这是因为, 如若不然, 则l1a1=0,由a1¹0知l1=0, 矛盾. 因此存在k(2£k

10、3;m), 使lk¹0,lk+1=lk+2=×××=lm=0,于是 l1a1+l2a2+×××+lkak=0,ak=-(1/lk)(l1a1+l2a2+×××+lk-1ak-1),即ak能由a1,a2,×××,ak-1线性表示.19设向量组能由向量组线性表示为，其中为矩阵，且组线性无关。证明组线性无关的充分必要条件是矩阵的秩.证明若组线性无关令则有由定理知由组:线性无关知，故.又知为阶矩阵则由于向量组:能由向量组:线性表示,则综上所述知即若令,其中为实数则有又,则由

11、于线性无关,所以即（1）由于则(1)式等价于下列方程组:由于所以方程组只有零解.所以线性无关, 证毕.20. 设,证明向量组a1,a2,×××,an与向量组b1,b2,×××,bn等价. 证明 将已知关系写成,将上式记为B=AK. 因为,所以K可逆, 故有A=BK-1. 由B=AK和A=BK-1可知向量组a1,a2,×××,an与向量组b1,b2,×××,bn可相互线性表示. 因此向量组a1,a2,×××,an与向量组b1,b2,×&#

12、215;×,bn等价.21. 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x=3Ax-A2x, 且向量组x,Ax,A2x线性无关. (1)记P=(x,Ax,A2x), 求3阶矩阵B, 使AP=PB; 解 因为AP=A(x,Ax,A2x)=(Ax,A2x,A3x)=(Ax,A2x,3Ax-A2x),所以.(2)求|A|.解 由A3x=3Ax-A2x, 得A(3x-Ax-A2x)=0. 因为x,Ax,A2x线性无关, 故3x-Ax-A2x¹0, 即方程Ax=0有非零解, 所以R(A)<3,|A|=0.22求下列齐次线性方程组的基础解系:(1) (2)(3).解(1)所以原方程组等

13、价于取得; 取得.因此基础解系为(2)所以原方程组等价于取得; 取得.因此基础解系为(3)原方程组即为取得取得取得所以基础解系为23设,求一个矩阵,使,且.解由于,所以可设. 则由可得,解此非齐次线性方程组可得唯一解，故所求矩阵24求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为.解显然原方程组的通解为,()即消去得此即所求的齐次线性方程组.25. 设四元齐次线性方程组I:, II:.求:(1)方程I与II的基础解系;(2) I与II的公共解. 解 (1)由方程I得. 取(x3,x4)T=(1, 0)T, 得(x1,x2)T=(0,0)T; 取(x3,x4)T=(0,1)T, 得(x1,x2)T=(-1

14、,1)T. 因此方程I的基础解系为x1=(0, 0,1,0)T,x2=(-1, 1, 0, 1)T.由方程II得. 取(x3,x4)T=(1, 0)T, 得(x1,x2)T=(0,1)T; 取(x3,x4)T=(0,1)T, 得(x1,x2)T=(-1,-1)T. 因此方程II的基础解系为x1=(0,1,1,0)T,x2=(-1,-1, 0, 1)T. (2) I与II的公共解就是方程 III:的解. 因为方程组III的系数矩阵,所以与方程组III同解的方程组为. 取x4=1, 得(x1,x2,x3)T=(-1, 1, 2)T, 方程组III的基础解系为x=(-1, 1, 2, 1)T. 因此

15、I与II的公共解为x=c(-1, 1, 2, 1)T,cÎR.26设阶矩阵满足,为阶单位矩阵,证明(提示:利用矩阵性质6和8。)证明所以由21题所证可知又由11题所证可知由此27. 设A为n阶矩阵(n³2),A*为A的伴随阵, 证明.证明 当R(A)=n时, |A|¹0, 故有 |AA*|=|A|E|=|A|¹0, |A*|¹0,所以R(A*)=n.当R(A)=n-1时, |A|=0, 故有AA*=|A|E=0,即A*的列向量都是方程组Ax=0的解. 因为R(A)=n-1, 所以方程组Ax=0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1.

16、因此R(A*)=1.当R(A)£n-2时,A中每个元素的代数余子式都为0, 故A*=O, 从而R(A*)=0.28求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：(1) (2)解(1)(2)29设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量且，求该方程组的通解解 由于矩阵的秩为3，一维故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得为其基础解系向量，故此方程组的通解：，30. 设有向量组A:a1=(a,2,10)T,a2=(-2,1,5)T, a3=(-1,1,4)T,及b=(1,b,-1)T,问a,b

17、为何值时(1)向量b不能由向量组A线性表示;(2)向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一;(3)向量b能由向量组A线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式. 解 .(1)当a=-4,b¹0时,R(A)¹R(A,b), 此时向量b不能由向量组A线性表示.(2)当a¹-4时,R(A)=R(A,b)=3, 此时向量组a1,a2,a3线性无关, 而向量组a1,a2,a3,b线性相关, 故向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一.(3)当a=-4,b=0时,R(A)=R(A,b)=2, 此时向量b能由向量组A线性表示, 且表示式不唯一. 当a=-4,b=0时,方程

18、组(a3,a2,a1)x=b的解为,cÎR.因此b=(2c+1)a3+(-3c-1)a2+ca1,即 b= ca1+(-3c-1)a2+(2c+1)a3, cÎR.31. 设a=(a1,a2,a3)T,b=(b1,b2,b3)T, c=(c1,c2,c3)T,证明三直线l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0, (ai2+bi2¹0,i=1,2,3)l3:a3x+b3y+c3=0,相交于一点的充分必要条件为: 向量组a,b线性无关, 且向量组a,b,c线性相关. 证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组, 即有唯一解. 上述方程组可写为x

19、a+yb=-c. 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由a,b唯一线性表示, 而c能由a,b唯一线性表示的充分必要条件为向量组a,b线性无关, 且向量组a,b,c线性相关.32. 设矩阵A=(a1,a2,a3,a4), 其中a2,a3,a4线性无关,a1=2a2-a3. 向量b=a1+a2+a3+a4,求方程Ax=b的通解. 解 由b=a1+a2+a3+a4知h=(1, 1, 1, 1)T是方程Ax=b的一个解.由a1=2a2-a3得a1-2a2+a3=0, 知x=(1,-2,1,0)T是Ax=0的一个解. 由a2,a3,a4线性无关知R(A)=3, 故方程Ax=b所对应的齐次方程Ax=0

20、的基础解系中含一个解向量. 因此x=(1,-2,1,0)T是方程Ax=0的基础解系. 方程Ax=b的通解为x=c(1,-2,1,0)T+(1, 1, 1, 1)T,cÎR.33设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明: (1)线性无关； (2)线性无关。证明 (1)反证法,假设线性相关,则存在着不全为0的数使得下式成立: (1)其中,否则,线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。由于为特解，为基础解系，故得而由(1)式可得 故，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得产生矛盾,假设不成立, 故线性无关.(2)反证法,假使线性相关.则存在着不全为零的数使得下式成立:（2）即1) 若,由于是线性无关的一组基础解系,故,由(2)式得此时与假设矛盾.2) 若由题(1)知, 线性无关,故与假设矛盾,综上,假设不成立,原命题得证.34.设是非齐次线性方程组的个解，为