电磁波群速与相速原理

1、 电子信息工程学院Quency Chen1.相速度与群速度如果只考虑均匀介质中的小幅度的波，可利用描述介质的方程和麦克斯韦方程得到一常系数方程组，求解可得到解为： (1)的解其中k为波矢量，r为空间位置矢量，为角频率。式(1)中的和k满足： (2)的关系，这个关系只与介质的特性有关，称为色散关系。式(1)描述的电磁波，表征波的时间变化，波矢量k描述波的空间变化。 (3)式(3)中为波长，因此波矢量k=1/表示单位距离有多少个波，即波的数量，然后再乘以2表示单位距离内波的总相位，若把空间相位变化2相当于一个全波，则k表示单位距离内全波的数目，k也被称为电磁波的相位常数，因为它表示传播方向上波行进

2、单位距离时相位变化的大小，注意这里相位单位为弧度制。将(1)式变形为： (4)若满足 (5)，则式(4)和式(3)一样，这说明在空间距离延长r的位置处，若在时间上也滞后t则信号相位与r处t时刻的相位保持一致。这说明r处的波相位在t时间后传播到r+r处，因此将式(5)变形可得到 (6),表示波的相速度由角频率和波矢量共同决定。在真空中电磁波的相速度为c。折射指数n定义为： (7)，由于介质中电波相速度既可能小于真空光速，也可能大于真空光速，所以折射指数也可能大于1，也可能小于1。如果限制是实数，若有一解，使得k和n也是实数，则代表无衰减的波传播。若k和n为纯虚数，则相应的波是消散波。波场强度随距

3、离指数地减小。如果将介质等效为阻抗负载，则实数负载代表介质从输入端口全部吸收能量，然后又从输出端口全部放出能量，类似传输线特性；如果负载为虚数，则代表负载从输入端口全部吸收能量后，又从输入端口全部释放出去，因此电波就不能传播，只能到达一定的深度后就反射出去了，类似界面反射。如果k和n即有实部又有虚部，则波的传播伴随着衰减（或增长）。如果和k是实数，且是常数，则上述平面波将充满整个空间。波的相速度可以远大于光速，这时波的传播既不输送任何能量，也不传送任何信息。实际上对于稳定的单频单色波，根本没有传输的概念，要利用电磁波来传输信息，本质上是传送变化量，而且变化量必须要有带宽，不可能是单色单频信号。

4、这与“Shannon定律”是一致的，因此要研究信息传递的速度，必须要研究有一定带宽的波包的传递速度。即群速度。根据傅里叶变换的方法可以将波包看做单色波的叠加，波包的传播表现为单色波振幅和相位叠加效应的传播，而不是单色波的相位传播。所以波包的传播速度被定义为等幅面的传播速度，即群速度。这里先考虑最简单的情况，两个等幅度，相位和频率有一定偏差的双频信号 (8)利用三角公式可以将式(8)转换为： (9)如果只考虑包络等幅度面的传播，设波包包络在t时间移动了r距离。注意不是单频波相位移动的距离和时间。 (10)若介质没有色散效应，则群速度与相速度一致。如真空中电磁波传播速度恒等于，因此。若介质存在色散

5、效应，即，则群速度不等于相速度。这里还要注意一个问题就是式(9)波包传播时，两个正弦波合成后的相位因子的传播并不与波包包络一致，我一开始就是因为这个概念弄错了，所以一直不能正确理解和计算，花了半天时间才想明白这个问题。图1 群速度=相速度(k=1,deltak=0.1,w=1,deltaw=0.1)图2 群速度小于相速度(k=1,deltak=0.1,w=1,deltaw=0.05)图2 群速度大于相速度(k=1,deltak=0.05,w=1,deltaw=0.1)以上是从最简单的双频正弦波叠加来讨论波包的概念。式(9)中的包络与后面的相位因子是无关的，后面的相位因子类似调制中的载波。波包在传递过程中保持不变。也只有这样才能认为波包在稳定传播。如果考虑有3个单频波，分别为s1,s2和s3,则利用公式(8)可得到s12,s23,s31三个子波包。总的波包则等于，根据式(10)则可以得到3个群速度VG12，VG23，VG31，若这3个群速度不相等，则波包包络不能稳定传输（或者产生更高阶的波包），反过来若要波包稳定传输则必须VG12=VG23=VG31.即对k的函数必须是单调的（或者在，k附近单调）。则将式(10)进一步基本化为式(11) (11)其中由色散关系决定。将式(11)可变为： (12) (13)如果从0