第12附录之归纳与习题

1、误差分析与数值方法稳定性内容结构框图截断误差模型误差观察误差舍入误差有效数字( x1 ± x2 ) - (a1 ± a2 ) £x1 - a1+x2 - a2x1 × x2 - a1 × a2£- a1+ a1x2 - a2a2x1x1 - a1+ a1x2 - a2a2x1 - a1£防止“大数吃小数” 避免相近数相减避免“小做除、大做乘”2x2a2a2数值方法的稳定性算法减少运算次数避免有效数字的损失函数值计算的误差估计误差的四则运算误差绝对误差绝对误差界相对误差相对误差界与、矩阵相关内容结构框图矩阵与的相容性£

2、;AxMAVxV由构造矩阵矩阵的性质：1) r ( A) £ A2) A £ r ( A) + e3) ( I1-AmnA 1 = max å aijA ¥ = max å aijA 2 =lm 1£ j £ n i =11£ i £ m j =1等价性矩F-m1-1-、2-、-x1nn= å xx=x2x ¥ = max xkk2å k1£k £nk =1k =1npp-x p = p å xkk =1矩阵mn2Fåå ij

3、A=ai=1 j =1mnmåå ijA=a1i=1 j =1阵等价性( A H A )ax± A)-1 £ 1矩阵的条件数及其性质矩阵计算与分解内容结构框图正规矩阵schur分解A = UDU H利用矩阵的特征系统讨论矩阵的可对角化条件矩阵的Jordan分解 A = TJT -1满奇异值分解æ 0 öA = U ç÷V Hè 00 ø约化的奇异值分解ACm×n矩阵schur分解A = U SV H=URUHA11矩阵分解化方程组为一个三角方程组求解Ax=yRx=QTyHousehol

4、der变换矩阵及其性质Doolittle分解A=LU PA=LUCholesky分解A=LLT化方程组Ax=b为两个三角方程组求解Ly=bUx=yLy=Pb Ux=y Ly=bLT=y矩阵三角分解矩阵的QR分解用矩阵奇异值分解讨论矩阵的性质A矩阵奇异值分解<矩阵分析简介内容结构框图dX (t )Adt(0)=dX (t ) = AX (t ) + F (t )dtt0òt通解：X (t) = eA(t-t0 ) X (t ) +eA(t-t )F (t )dt0解微分方程组矩阵对一个变量的导矩阵对一个变量的 函数对矩阵变量的导数数矩阵函数导数与的f ( A) = T diag

5、( f (J ) , f (J ) , L, f (J )T -112s矩阵函数矩阵函数计算D¥f ( A) = å a Akkk =1¥矩阵幂级数 å Akk =1¥矩阵级数 å Akk =1Hamilton-Caylay定理对角矩阵法Jordan法矩阵序列A ¥kk =1收敛矩阵lim =AkÛ0r (A) 1®k¥n第一章部分相关习题 P161、（4） 解：设有n为有效数字， 则由定理1.7，得1£´101- na2a1x - a注意：8 £使70 £

6、; 9 ,1< 0.1% ,为使只需则可取a =8。1a1´101- n´101- n=< 0.0012 ´ 82a1即1n = 3Þ10n >´10416查表后得出70 » 8.37x - adxN +1ò NP1711（3）如何计算函数的之比较准确,其中N充分大。1+ x2解：dx= arctg(N +1) - arctgN =N +1ò1+ x2N，则 tga = N注：令a = arctg(N +1),b = arctgNtgb = N + 1由于a - b = arctg(N + 1)

7、- arctgN，由差角公式：tg(a - b ) = tga - tgb 1 + tga × tgb得a - b = arctg tga - tgb ，进而有1 + tga × tgb1arctg(N +1) - arctgN = arctg1+ N (N +1)P49第二章部分相关习题+ a2（1）A = 1æ2ö当a满足条件 a ¹ -1çè÷1 ø时，A可作 LU分解。-2 öa > 2T当a满足条件时，A可作 LL 分解,（2）A = æ2ç -2a 

8、7;èøæö22其中L是对叫元素为正的下三角阵，则L=ç -a - 2 ÷èø-1 2-1æ 2ç0 ö÷2 +2 2()2+2（3） A = ç -1-1÷ ,=2则cond (A)=22-2ç÷è 02 øR的对角元（4）R为 对角A的特征，矩阵，A的特征值为U的列，当A为Hermite阵时，R为 实对角阵，为纯复对角阵。当A为斜Hermite阵时，R为P55 5.如下矩阵是否存在LU分解,如果存在是否唯一？11

9、öæ 13 öæ 1246A = ç 21 ÷（2） B = ç 21÷（1）23ç÷ç÷ç 47 ÷ç 31÷èøèø（1）解：矩阵A的行列式的性质为：1246312：2 = 0，det(A=)2()()1=1¹ 0=0detAdet A= 1 ¹ 0，321447若A存在LU分解,则æ 1ö÷u11u120 ö001æ 13

10、 ö246ç 2ç 21 ÷ =÷çç÷÷ç 4ç 47 ÷uløèøèæ u1132ö÷u12u13+ uuuu÷1112221323ç÷4u4uluø11123222æ u11ö÷u12u13æ 13 ö17 øu112 4 6即 ç 2u+ uuuç÷11 12221323

11、ç 4÷ç÷4u4uluèø11123222= 1, u12= 2, u13 = 3,进一步有那么2u12 + u22 = a22= 4 Þu22 = 4- 2´2 = 0= 4u12+ l32u22a32= 2 ´ 4 + l32 ´ 0 = 8就有这与a32=6。 故 A 不存在LU分解。（2）解：矩阵B的行列式的性质为：112311=01) = 112= 0，det(B =)2det ( B ) = 1 ¹ 0，det ( B23123若B存在LU分解,则：æ 10 &

12、#246;001l32æ 111öö÷u11u1221÷ = ç 2ç 2ç÷ç÷ç 3÷ç 31÷u3èæ u11øèøö÷u12u13u+ uuu÷1112221323ç÷3u3ul uø11123222æ 1ç 21ö 1æ u11ö÷1 2 3u12u13=u+ uuu即

13、 ç÷113u11 1222 1323ç 3ç÷1èø3u12l32u22ø = 1,= 1,u12u13= 1,u11从而,进一步有：= 0= -12u12 + u22 = a22 = 2 Þ u222u13 + u23 = a23 = 1 Þu23= 1 Þ= l32- 2u33æ 111öæ 10 ö æ1ö÷01l321001B = ç 221÷ = ç 20 ÷ &#

14、231;0-1即ç÷ç÷ ç÷ç 31÷ç 31 ÷ ç0l- 2÷3èø èèøø32，故B存在LU分解, 但是不唯一。其中l32可以P2721.æ a10 ö（4）A = ç÷ ,klim A= O ,k ®¥则a应满足要是è 00.5ø1（7）设n阶矩阵A可逆，òeAt dx = 0de At()11òò

15、;ÞeAt dt = A-1=deAtA-1e AAt- I= Ae00dt a< 1P273 3.设 A=xxH, 其中 xCn 且 x0,如下矩阵序列的收敛性。ü¥ìæö kïçïAíç r ( A ) ÷÷ýþï k =1îï èø注意, A=xxH 的特征值为：xHx, 0, , 0,又故 (A)=xHx。() x Hr 2 ( A)r ( A)( xxHr 2 ( A)ö

16、2xHr 2 ( A)æAA=r ( A)=ç r ( A ) ÷èø从而此矩阵序列的收敛, 其极限为：ö kæAr ( A)A=ç r ( A ) ÷èø¥4证明(A)1时, åk =1A ) - 2=A ( I -k A k证明,方法1¥1f (t ) = åtk< 1, =则t注意, 绝对收敛的函数幂级数,1- tk =0¥1(1 - t )2f ¢(t ) = å¥åk = 0tk

17、- 1令 s (t ) =f ¢ (t ) t =ktkt=k(1 - t )2k = 1则得到新的绝对收敛的函数幂级数æö¥ç å kt÷ (1 - t ) = t ,F (t ) =2s (t )(1 - t )2k< 1t=è k = 0ø由定理3,可知相应的绝对收敛的矩阵幂级数为：æ¥öF ( A) =ç å()2I - A= A ,kA k当(A)1时，÷è k = 0ø而当(A)1时, 由定理1.6可得, (

18、I-A)可逆，故得¥åk =1A ) - 2k A k = A ( I -¥åQ = ( I - A )-1 ,则= A(I - A)-2 ,= A ( I -A )-1 , 取( I - A )-1Ak证明,方法2由于k =1æö¥ç å AkA ( I - A )-1÷ Q =è k =1由性质6、7øéöùæö¥¥¥æ¥æö¥¥= åç Aå An=0åêçåçå A ÷ Q = å A Qk +1kAnn=Akk÷ú÷è n=0øûk =1 ëk =0 èøèøk =1k =1k = 0 , A (I + A + A2 +L)=+L+LA2 (I + A + A2 +L) =+k = 1, k = 2, A3