...我想把一章常见的题型归纳起来也应当是一种算法,学生了解后便可以

1、 通过培训算法，我想把一章常见的题型归纳起来也应当是一种算法，学生了解后便可以在思路上有据可依了。不知总结的恰当不恰当，希望老师专家们批评指正。 圆锥曲线中的八种常见题型解析几何是用代数的知识解决几何图形的自然学科，是用代数中方程与函数的思想通过建立坐标系把方程的解和曲线上的点的坐标联系起来，其解题步骤是建立直线方程和圆锥曲线方程(消去或)的方程。当a=0时，方程为一次方程有一解。直线与抛物线有一解，对双曲线来说，直线与渐近线平行。当a0时，方程是二次方程，再求判别式，通过看方程解的个数，从而判定直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理是联系点的坐标和方程解的桥梁。解析几何有以下常见八种类型题。一.

2、用定义和几何性质解决圆锥曲线本身问题。用回到定义的方法解决数学中的疑难问题，历来被数学家推崇，进一步加强对定义的研究，并在平时解题实践中加以应用，对于理解定义，发展思维，提高解题能力是非常有必要的。例1.已知椭圆（a>b>0），的外角平分线pL,过F1作垂线F1M，垂足为M, 求M的轨迹方程。 解析：延长F1M交F2P的延长线于点N，pL为的外角平分线，则NP=PF1MO为的中位线, MO=F2N=(NP+PF2)= (PF1+PF2)= 2= M的轨迹为以原点为圆心为半径的圆，设M的坐标为，得M点的轨迹方程为：。二.直线与圆锥曲线相交时的中点弦问题。中点弦问题主要是求中点弦所在直

3、线的方程问题和求弦中点的轨迹问题。解决方法有两种（1）根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解。（2）“点差法”：若直线L与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般地首先设出交点坐标A，代入曲线方程，通过作差，构造出，从而建立了中点坐标和斜率的关系。例2.如图，线段AB的两个端点A,B分别在x轴，y轴上滑动，=5,点M是线段AB上一点，且。（1） 求点M的轨迹E的方程，并指明轨迹E是何种曲线。（2） 当=时，过点P(1,1)的直线与轨迹E交于C,D两点，且P为弦CD的中点，求直线CD的方程。解：（1）设,A,B, ,=5。

4、当=1时，方程化为，它表示以原点为圆心，为半径的圆；当时，方程表示椭圆。当时，方程表示以为焦点，长轴长为的 椭圆；当>1时，方程表示以为焦点，长轴长为的 椭圆。（2）当=时，曲线方程为。设直线L与曲线交于,则（1）-（2）得,所以所求直线方程为。三.以弦为直径的圆问题。此类问题先联立方程组，再消去（或），得到关于(或)的方程，利用韦达定理和垂直等条件找到答案。例3. 直线L:与双曲线的右支交于不同的两点、（）求实数的取值范围（）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点？若存在求出的值；若不存在，说明理由解：（1）将直线的方程代入双曲线C的方程后，整理得依题意，直线与双曲线C的

5、右支交于不同两点，得， 解得的取值范围为。 （2）设A、B两点的坐标分别为、，则由得假设存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0），则由FAFB得。既。整理得。把式及代入式化简得。解得或（舍去）。可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。四共线问题。此类问题大胆设端点坐标，借助曲线方程构造方程组，利用韦达定理与方程联系在一起，达到消去参数的目的。例4.已知圆C的方程为，定点A(1,0),M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足,点N的轨迹为曲线E.(1) 求曲线E的方程。（2）若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点GH(点G在FH之间)且满足,

6、求的取值范围。解：（1）因为，所以NP是AM的垂直平分线，动点N的轨迹是以C(-1，0)，A(1,0)为焦点的椭圆，2=2,c=1, .曲线E的方程为。（2）当直线GH的斜率存在时，设G，直线GH的方程为，由得，则，。，。，。即。又。当直线GH的斜率不存在时，GH的方程为.综上。五.直线与圆锥曲线位置过定点问题。此类问题常将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去(或消)得到关于(或)的一元二次方程形式，然后考虑二次项系数是否为0及的情况来解决问题。例5.在平面直角坐标系中，过定点C（0,p）作直线与抛物线相交于A、B两点。（1） 若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求面积的最小值。（2） 是否存在垂

7、直于y轴的直线L，使得L被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出L的方程；若不存在，说明理由。解：（1）依题意知N（0，-p），可设A，直线AB的方程为，与联立得消去y得。由根与系数的关系得。于是=，当=0时，。(2)假设满足条件的直线L存在，其方程为，AC的中点为，L与以AC为直径的圆相交于点P,Q，PQ的中点为H，则点的坐标为, ,。令，得，此时为定值，故满足条件的直线L存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线。六.直线与圆锥曲线相交弦的线段成比例问题。此类问题可将线段比例转化成点的坐标成比例，再借助方程求解。例6.已知：中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，（1） 求渐近线

8、的方程。（2） 过双曲线上点P的直线分别交渐近线于两点，且，=9,求双曲线的方程。解：（1）由题意设双曲线的方程方程为：，由离心率为知：又渐近线方程为：，解得。设双曲线方程为：-（）,=,则=2, 易求，=又，=9，则。（也可用=，又易求得，=9，则）。又，P。又由于P点位于双曲线上，将P点代入（）中得=4，双曲线的方程为。七.求参变数范围问题。此类问题主要考查直线与圆锥曲线的关系，考察综合运用数学知识分析与解决问题的能力，一般是列出一个等式，一个不等式，利用等式关系代入不等式解出范围。例7.已知：（1） 求点P的轨迹C方程。（2） 若直线L：与曲线C交于A、B两点，D(0,-1)且有.试求的取值范围。解：（1）=+=-=0=0,整理得=1.（2） 考虑方程组消去得，显然，=，设为方程的两根，则，设AB两点的中点M， ,即M，线段AB的垂直平分线方程为：，将D(0,-1)的坐标代入，化简得：4m=.联立：得或，又4>-1,即，或.八.圆锥曲线上的点到定点的距离问题。此类问题通过图形很难解决，因此可转化为函数知识解决。例8.抛物线方程上任意一点p到对称轴上定点A(a,0)的距离最小是顶点，求a的取值范围。解：设是抛物线上的任意一点，则令，要想的最小值在顶点处取得，只需t在0,上单调递增，即a-p0,即