考研数学公式大全(pdf清晰版,)

1、 1 1 0 1 0 1 2 1 1 0 1 1 1 2 3 0 0 0 1 2 1 6 12 0 A 1 1 1 = 6 6 0 0 1 1 0 6 0 1 = 1 是一个解。 1 1 1 0 6 6 0 1 0 0 4 2 2 2 1 1 12 6 6 0 1 0 2 4 2 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 2 4 2 4 2 A = 2 4 2 2 2 4 附录二 1 n 维向量空间及其子空间 向量空间 记为 R 由全部 n 维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合，我 们把它称为 n 维向量空间。 设 V 是 R 的一个子集，如果它满足 （1）当 1 ,

2、 2 都属于 V 时， 1 + 2 也属于 V 。 （2）对 V 的每个元素 和任何实数 c ， c 也在 V 中。 则称 V 为 R 的一个子空间。 例如 n 元齐次方程组 AX = 0 的全部解构成 R 的一个子空间，称为 AX = 0 的解空间。 n n n n 但是非齐次方程组 AX = n 的全部解则不构成 R n 的子空间。 对于 R 中的一组元素 1 , 2 , L , s ，记它们的全部线性组合的集合为 L( 1 , 2 ,L , s = c1 1 + c 2 2 + L + c s s ci 任意 ，它也是 R n 的一个子空间。 2基，维数，坐标 ，称 V 的秩为其维数，记

3、作 dim V 。 设 V 是 R 的一个非 0 子空间（即它含有非 0 元素） n 称 V 的排了次序的极大无关组为 V 的基。 例如 AX = 0 的解空间的维数为 n r ( A ，它的每个有序的基础解系构成基。 又如 dimL( 1 , 2 , L , s = r ( 1 , 2 , L , s ， 1 , 2 , L , s 的每个有序的极大无关组构成 基。 设 1 , 2 , L , k 是 V 的一个基，则 V 的每个元素 都可以用 1 , 2 , L , k 唯一线性表示： = c11 + c 2 2 + L + c k k 称其中的系数 (c1 , c 2 , L , c k

4、 为 关于基 1 , 2 , L , k 的坐标，它是一个 k 维向量。 坐标有线性性质： （1）两个向量和的坐标等于它们的坐标的和： 如果向量 和 关于基 1 , 2 , L , k 的坐标分别为 (c1 , c 2 , L , c k 和 (d1 , d 2 ,L , d k ，则 + 关于基 1 , 2 , L , k 的坐标为 (c1 + d1 , c2 + d 2 ,L, ck + d k = (c1 , c2 ,L, c k + (d1 , d 2 ,L, d k （2）向量的数乘的坐标等于坐标乘数： 如果向量 关于基 1 , 2 , L , k 的坐标为 (c1 , c 2 ,

5、L , c k ，则 c 关于基 1 , 2 , L , k 的坐标为 (cc1 , cc2 ,L, cck = c(c1 , c2 ,L, ck 。 坐 标 的 意 义 ： 设 V 中 的 一 个 向 量 组 1 , 2 , L , t 关 于 基 1 , 2 , L , k 的 坐 标 依 次 为 1 , 2 ,L, t ，则 1 , 2 ,L, t 和 1 , 2 ,L, t 有相同的线性关系。 于是，我们可以用坐标来判断向量组的相关性，计算秩和极大无关组等等。 3过渡矩阵，坐标变换公式 设 1 , 2 , L , k 和 1 , 2 , L, k 都 是 V 的 一 个 基 ， 并 设

6、 1 在 1 , 2 ,L, k 中 的 坐 标 为 (c1i , c 2i ,L, c ki ，构造矩阵 c11 c C = 21 L c k1 L c1k L c2k ， L L L c k 2 L c kk c12 c 22 称 C 为 1 , 2 , L , k 到 1 , 2 , L , k 的过渡矩阵。 (1 , 2 ,L, k = (1 , 2 ,L, k C 。 如果 V 中向量 在其 1 , 2 , L , k 和 T 1 , 2 ,L , T k 中的坐标分别为 x = ( x1 , x 2 ,L , x k 和 y = ( y1 , y 2 ,L , y k ，则 = (

7、1 , 2 , L, k x = (1 , 2 ,L, k y = (1 , 2 ,L, k Cy 于是关系式： x = Cy 称为坐标变换公式。 4规范正交基 如果 V 的一基 1 , 2 , L , k 是单位正交向量组，则称为规范正交基。 两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的内积。 设 的坐标为 (c1 , c 2 , L , c k ， 的坐标为 (d1 , d 2 , L , d k ， 则 ( , = c1 d1 + c 2 d 2 + L + c k d k 两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。 做题思路 先化简再计算 例 5 （03）设 n 维列向量 = (a,0, L ,0, a ， a < 0 。规定 A = E ， B = E T T 已知 AB = E ，求 a 。 注意化简技巧（中间过程也很重要） 1 T 。 a 1 0 0 1 例 13 （00）己知 A* = 1 0 0 3 0 0 1 0 0 0 1 1 ，求矩阵 B ，使得 ABA = BA + 3E . 0 8 证明一个矩阵可逆切入点 行列式=0 ，证明 Ax=E