纯相位绕射元件设计

1、純相位繞射元件設計Design Of Phase-only Diffractive Optical Elements林世穆* 賴聖棠Lin, Shi-Mu* Lai, Sheng-Tang 國立臺北科技大學光電技術研究所摘要繞射光學元件(DOE)，近來應用日漸廣泛，可應用於DVD讀寫頭，及光束整型、光束分離等。本文設計一光完全穿透而僅改變光波相位的純相位元件，採取疊代傅立業轉換法(Iterative Fourier Transform algorithm, IFT)，並採用步階量化的方式來產生二維的DOE元件。最後結合Pnoise法及二階段IFT法，對成像品質再做改善，其繞射效率()、動態範圍

2、(DR)、訊號雜訊比(SNR)分別為75.43%、48.72%、2.39。關鍵詞 : 繞射光學元件、疊代傅立業轉換法。投稿受理時間：89年10月16日審查通過時間：89年12月17日ABSTRACTRecently, diffractive optical elements (DOE) have been applied to various aspects, such as the pick-up head of DVD, beam shaping and beam dividing, etc. We design a two-dimension phase-only DOE by usin

3、g IFT and step quantization algorithm. Performance of our design can be evaluated by diffraction efficiency (), dynamic range (DR) and signal-to-noise ratio (SNR). Finally, we combine Pnoise and two-stage IFT algorithms to improve the diffraction pattern. The results of diffraction efficiency, dynam

4、ic range, and signal to noise are 75.43%, 48.72%, and 2.39, respectively.Keywords: diffractive optical element，IFT algorithm.壹、 前言 繞射光學元件(DOE)是近十餘年才發展出來的新興光學工藝。傳統光學元件是利用折射及反射的原理來設計，如透鏡、反射鏡，往往都只具備單一功能。繞射光學元件是利用光的繞射原理來設計，而且一片的DOE就可取代數片傳統光學元件的功能。繞射光學元件是一種相位型光學元件，利用表面厚度變化的浮雕結構(surface relief)來調制入射光波前，使得

5、最後在繞射場能得到所設計的光場分布。它的功用可做徑向強度調制，對入射光的波前做改變，使得在像平面產生預先設計的圖形分布，例如光束整形(Beam shaping)；可做軸向強度調制，在給定的範圍內產生預設的強度分布，例如DVD、CD-ROM的讀寫頭；也可做為分波傳輸及分波聚焦的元件，例如白光入射後可產生彩色的點陣分布。繞射元件的主要製作方式有半導體製程(semiconductor processing)、直接刻畫(direct writing)、全像術(holography)、及鑽石切削(point diamond turning)等，本研究以半導體製程為準。 繞射元件的設計已發展許多種的演算法

6、。1972年由Gerchberg及Saxton所發表的疊代傅立業轉換演算法1，此法利用快速傅立業轉換(FFT)，對光柵面及成像面作正、逆傅立業轉換，並修正每次所造成的相位差，直到成像面的光場強度分布能愈來愈趨近設計圖案的強度分布。本方法的優點是能很快的獲得不錯的繞射效率，但對於光點間的均勻度卻不能有效的控制。模擬退火法(Simulated Annealing algorithm)2，這是利用熱力學上熱處理的原理，有時候要得到特定的分子結晶必須將材料先加熱再降溫，所以模擬退火法的概念是不斷的提高虛擬溫度，避免僅得到區域的極小值，而得到全部區域的最小值。利用此種思維的運算法成像能達到最佳的狀態，但

7、運算相當費時且效率不高。虛擬區域(Dummy Area)法3，基本上仍然是GS演算法，但它在訊號區外加一些初始光場為0的虛擬區域來做疊代的流程，此法能大幅的壓低訊號雜訊比，但是必須增加空間頻寬。二階段IFT法4，第一階段仍為IFT法，第二階段則根據階數的不同來執行不同的流程，用意在於希望不必增加虛擬區域，但一樣能達到壓低雜訊及改善光點均勻度的作用。YG演算法5，由羊國光和顧本元提出，此法較IFT法多出一個流程，可以處理非么正系統的問題。但二階段IFT法和YG演算法皆要比IFT法費時。Pnoise趨近法6則是放寬對雜訊區域的限制來代替虛擬區域的引入，對雜訊的抑止相當有效，而且不須增加空間頻寬。本

8、文設計的DOE是比較上述運算法後，強調高效率及低雜訊，作成圖像顯示(image display)的元件，採用能夠迅速得到結果且有良好繞射效率的改良IFT法來設計。本文第一節是前言，第二節介紹IFT演算法的基本理論，第三節是由IFT演算法來模擬的一些結果，第四節結合Pnoise法及二階段IFT法對成像品質做改進，第五節作些簡單的結論。貳、理論及方法(A) 疊代傅氏轉換法由純量繞射理論，繞射元件面的光場複振幅可寫成g(u,v)=A(u,v)e (1)成像面的光場由Fresnel 繞射公式可寫成G(x,h)= (2)其中H(u,v,z)=exp(u2+v2)，k為傳播常數，Z是元件到成像面之間的距離

9、。在忽略元件本身對光造成折、反射及吸收的情況下，穿透DOE後的光場與入射光場成正比關係。 g(u,v)=g0(u,v)t(u,v) (3)其中g0(u,v)為入射光場，t(u,v)是元件的透過率函數，對純相位的元件而言t(u,v)=eiL(u,v)，L(u,v)是元件的相位，成像面的強度分布I(x,h)=|G(x,h)|2=|2 (4)其中為入射光振幅，相位部分為j(u,v)=j0(u,v)+L(u,v) (5)這裡的j0(u,v)為入射光場的相位，此時修正成像面的光場(x,h)=B0(x,h)G(x,h)|G(x,h)|-1 (6) 其中B0(x,h)=，I0(x,h)是所設計圖案的理想強度

10、分布。經過逆Fresnel 繞射運算之繞射元件面的光場為 g(u,v)= e-ikZ (7)再將元件面的光場替換成(u,v)= (8) 其中是DOE的孔徑範圍。如此反覆運算若干次，可以得到一個新的j(u,v)，並由(5)式得到DOE的相位L(u,v)。光學結構如圖1所示。vDOEzug0(u,v)g(u,v)G()Z 圖1. DOE所造成的光場分布。(B) 演算流程參照圖2的流程圖，首先我們定像平面上目標點分布函數為C(p)，C(p)的值皆設為1，其初始相位(p)是隨機賦予的，介於0到2之間。Step1 : G(p)=C(p)ei(p) 即為成像面的光波波場，經過反傅立業轉換得到光柵平面的光波

11、波場g1(q)。假設光柵是純相位的，即材料對光是完全穿透的，不會改變光的強度，穿透率為1，故將複數函數g1(q)的振幅大小單一化(unity)，即強度部分皆是1，而相位部分保留。Step2 : 此時的相位是連續分布的，但實際上不太可能做出連續相位的繞射元件，所以必須對光柵相位進行量化，一般是採用步階量化，即隨著疊代次數的增加而逐步的擴大量化範圍，而不在量化範圍內的相位仍舊保留連續分布的狀況。Step3 : 由g1(q)作傅立業轉換得到一新的繞射光場Gi+1(p)。由於我們對相角量化及振幅單一化，會對傅氏轉換後的結果產生誤差，所以必須對複數函數Gi+1(p)加以修正。修正的方法是只保留相位部分，

12、強度則以目標點分布函數C(p)替換，至此為一個疊代迴圈。 反覆循環直到相位完全量化完畢後，迴圈終止。之後我們可以得到光柵面的gi+1(q)。並根據gi+1(q)的相位分布製作成繞射元件。圖2. IFT法流程圖。 在此引用一些參數可用來評價成像品質15；其中G(p1) 是訊號區的光場分布，G(p2) 是雜訊區的光場分布；G(p) 是整個窗框的光場分布，w是窗框的寬度。 繞射效率(0)的定義為訊號區的光場強度占整個窗框光場強度的百分比，以(9)式表示： 0=100× (9)影像面的強度最好能大多落在訊號區中，故繞射效率愈大愈好。 動態範圍(DR)的定義是訊號區光場強度的最大值及訊號區光場

13、強度的最小值差值與訊號區光場強度的平均值的百分比以(10)式表示：DR=100 (10)DR是評價訊號區光點間強度的差值，DR愈小表光點愈平均。 訊號雜訊比(SNR)的定義是訊號區光場強度的最小值和雜訊區光場強度的最大值的比，以(11)式表示：SNR= (11)若雜訊區中有一個很大的值，將使得SNR變小，故我們想得到的是較大的SNR。 圖3. 理想的圖形。參、電腦模擬結果 本文首先利用疊代傅氏轉換法設計一個在64×64個單位的繞射場產生一個以(32，32)為圓心，內徑16，外徑20的圓環，如圖3所示。整個程式是由Matlab執行，並在反覆疊代90次後終止。圖4、圖5、圖6分別是繞射效

14、率、動態範圍、訊號雜訊比對疊代次數(count)的關係圖。程式完成時的繞射效率77.63%，動態範圍137.23%，訊號雜訊比1.22。圖4.繞射效率對疊代次數的關係圖。圖5.動態範圍對疊代次數的關係圖。圖6.訊號雜訊比對疊代次數的關係圖。肆、成像品質之改進本文中所設計的圓環其繞射效率還在可接受的範圍，但光點間的均勻度則較差，訊號雜訊比也須做一些改善。所以引入Pnoise法嘗試對成像做修正，流程如圖7所示。Pnoise法基本上仍然是以IFT法為架構，只是在每次疊代中放寬對虛擬區的限制，即振幅分佈變化和相位改變都接受；而訊號區則僅接受相位變化，振幅分佈必須修正。Pnoise法的目的是希望在犧牲部

15、分效率的情況下，能換來動態範圍及訊號雜訊比的大幅改善。 最後的繞射效率為68.81%、動態範圍是64.75%、訊號雜訊比1.47。結果相當符合我們的預期，雖然犧牲了一點效率卻能換來其他效能的大幅改善。 圖7. Pnoise法流程圖。 參考文獻5中的二階段流程法並結合Pnoise法希望能對繞射效率再做一些提昇。此法是使用兩個階段來執行IFT法的架構。流程如圖8。由流程圖可以很明顯的看出第一階段和第二階段的區別僅在於第一階段中繞射元件的相位是不予量化的，即採用連續相位。而第二階段中繞射元件的相位是採取步階量化。因為連續相位的DOE可以產生較良好的繞射效率，所以先用連續相位執行某一疊代次數後，再用得

16、到的成像面相位代入第二階段中，這時候的並不是處於亂數分布的狀態，而是繞射效率高達九成以上的成像面相位分布。所以再經由第二階段的疊代運算，理論上應該可以得到較佳的成像品質。因為還想把動態範圍及訊號雜訊比均做壓抑，故第二階段中使用先前Pnoise的做法，在成像面的振幅調制上僅調制屬於訊號區的部分，屬於雜訊區的則不予調制。圖(8) 結合Pnoise法與二階段IFT法的流程圖。 接著做電腦模擬，其中第一階段直到繞射效率達到預期的結果後才停止疊代，第二階段中的步階量化是在疊代90次後完成。最後程式終止時的繞射效率75.43%，動態範圍48.72%，訊號雜訊比2.39。結果相當符合預期，此法犧牲了更少的效

17、率卻一樣能換來動態範圍、繞射效率的大幅提昇。表（1）中顯示的是各種演算法的比較圖，其中動態範圍改善了64.50%，訊號雜訊比也改善了96.20%，只有繞射效率稍微衰退了2.83%。而Pnoise法只有動態範圍獲得較佳的結果，其餘的評價函數並不理想。所以可知此結合法優於前面兩種方法。表(1) 演算法之參數比較IFTPnoisePnoise & two stage(%)77.6368.8175.43DR(%)137.2364.7548.72SNR1.221.472.39圖9是採取會獲得較佳評價函數的結合法所設計出的DOE的相位分布圖。圖9. DOE的相位分布圖。圖9中不同灰階度分別對應元件

18、上不同的浮雕(relief)厚度，此厚度是由入射光的波長與繞射元件的材料折射率來決定，最後將元件以半導體製程或準分子雷射蝕刻而成的厚度分布如圖9，入射一道同調光即可可在繞射場產生趨近於所設計的圓環圖像，如圖10。圖10. 由圖3之理想圖形經由運算後所產生的圖樣。伍、結論繞射光學元件具有重量輕、體積小、可大量複製等優點，除可產生各種繞射圖像，亦可作為光學連結元件；在光通訊及半導體製程等技術日漸進步，應用將更為普遍，相當值得我們去研究。本文首先使用IFT法，產生的繞射圖像效率還不錯但光點間均勻度不佳，雜訊也稍大。後來使用Pnoise法嘗試對成像做修正，結果還算令人滿意，但還是使得效率降低了10%左

19、右。 最後，結合Pniose法與二階段IFT法，結果更符合預期。此外，本研究的目標是希望能利用此理論設計做出多波分工器中的繞射元件，以及將NTUT的校徽圖樣圖11作為彩色圖像顯示。圖11. NTUT校徽圖。謝誌本文作者感謝工研院光電所林晃嚴博士及中正理工學院電子系陸儀斌博士曾經給予的討論。REFERENCES 1 R. W. Gerchberg and W. O. Saxton, ”A practical algorithm for the determination of phase from image and diffraction plane pictures”, Optik, 35, p237-246, (1972).2S. Kirkpatrick and C.D. Gelatt, ”Optimization by Simulated Anneling”, Science, 220, p671-680, (1983).3Hiroshi Akahori, ”Spectrum leveling by an iterative algorithm with a dummy area for