第一章 二次方程、二次函数及绝对值

1、第一章二次方程、二次函數及絕對值A.二次方程的公式若ax2 + bx + c = 0，B. 判別式 留意以下的情況及意義:兩個不等實根兩個等根(重根)沒有實根C.兩根之和及積若 為 的根，則兩根之和 = 兩根之積 = 二次方程可寫成 x2 (兩根之和)x + (兩根之積) = 0 或 D.二次方程ax2 + bx + c = 0的圖像1. 開口向上，a > 0 開口向下，a < 02. y 軸截距 = c3. 把 y = ax2 + bx + c化成 y = a(x h)2 + k (需用配方法) 當中 k 是極小值，若 a > 0 或k 是極大值，若 a < 04.

2、(h , k) 是拋物線的頂點5. 對稱軸 x = hE.極大及極小值求極值(頂點)時，需用配方法。F.絕對值定義:x = x ， 若 x0 -x ， 若 x < 0第二章 不等式A. 複合不等式(一元一次不等式)“或” :取所有有著色部份“及” :取重疊部份兩種情況 “或” 和 “及” ，我們可用數線並油出相應部份來幫助我們尋找範圍。留意這一類:可分拆成兩條不等式 及是 “及” 不是 “或”， 小心!B. 一元二次不等式建議: 把x2 的係數(即 a ) 調位至正數為止那麼每次取範圍時便不用煩惱去想。假設為的根，* 只限於x2 的係數為正數時 ( a > 0 )那麼當 >

3、0，則 或 當 < 0， 則 C. 文字題目 可分為三類:第一類:已指出根的情況 (有實根? 相異或等根? 沒有根? 正或負數根)-需考慮三樣東西的情況1. 判別式 2.根之和 3.根之積 題目大致可分為六種情況:情況判別式根之和根之積1.有不同(相異) 實根/2.有相同實根(等根/ 重根)/3.沒有實根/4.兩個正數根 > 0> 05.兩個負數根< 0兩個正(負)數根，有可能是兩個相同的根，所以 。但一正一負的根，就必為相異根，所以 > 06.一個正數及一個負數根/< 0第二類:沒有直接指出根的情況，但題目指明函數是大於或小於(等於)0。- 可以想像到整幅

4、圖像是接觸不到x軸或只接觸到x 軸一點，從此，可知判別式必定是小於0。(a)若> 0 或 < 0， 則。(b)若 或 ，則 。第三類:這類也是沒有直接指出根的情況，題目會是一條有一個未知常數的方程。- 先把方程轉化為ax2 + bx + c = 0 的樣式- 接著，由於要在有解的情況下求那未知常數的範圍，因此，判別式必定是大於或等於0。(因有解可以指的是有相異或等根)例:若 ，對任意實數x，求r 可取值的範圍。接著 指出 最後，解不等式來求r 的範圍即可。第三章 數學歸納法1. 數學歸納法 (Mathematical Induction, M.I.) 的原理:設 P(n) 是一個與

5、正整數 n 有關的命題，若P(n) 同時滿足以下兩個條件，(1) P(1) 成立。(2) 假設對於任何一個正整數 k，P(k)成立，則P(k + 1)也成立的。則P(n) 對於所有正整數n 都成立。2. 關於有限數列求和結果的證明若用數學歸納法證明對於一切正整數n，命題 “ T1 + T2 + + Tn = f(n)” 成立，基本的步驟是:(1)證明 T1 = f(1)，及(2) 證明 f(k) + Tk+1 = f(k + 1)。設 a 和b是兩個整數，且b0。若 a = bM 而M 為一整數，則 a 可以被 b 整除。3. 關於整除性的證明首先要知道何謂整除若要用數學歸納法證明對於所有的正

6、整數n，整數式f(n)能被一個數 b 整除，一般步驟是:(1)證明 f(1) 可被 b 整除；(2) 證明對於正整數k，f(k + 1) 也能被 b 整除。-例子:1.利用數學歸納法，證明對於所有正整數n， 1 + 2 + 3 + + n = ½ n (n + 1)1. 設定命題P(n)證明:設 P(n) 為命題 “1 + 2 + 3 + + n = ½ n (n + 1)” 當 n = 1，左方 = 12. 證P(1)成立右方 = ½ (1)(1 + 1) = 13. 假設P(k)成立 P(1) 成立假設 P(k) 成立即 1 + 2 + 3 + + k = &

7、#189; k (k + 1)4. 加第(k+1)項當 n = k + 1， 右方 = ½ (k + 1)(k + 1) + 1左方 = 1 + 2 + 3 + + k + (k + 1)5. 把頭k項總和 的結果代入= ½ k (k + 1) + (k + 1)= ½ k(k + 1) + 2(k + 1)6. P(k+1)成立= ½ (k + 1)(k + 2)= ½ (k + 1)(k + 1) + 17. 這句必定要寫 P(k + 1) 成立。根據數學歸納法，對於所有正整數n，P(n) 都成立。-例子:2.利用數學歸納法，證明對於所有正

8、整數n，8n 3n 能被 5 整除。1. 設定命題P(n)證明:設 P(n) 為命題 “8n 3n 能被 5 整除”2. 證P(1)成立當 n = 1，81 31 = 5，它能被 5 整除。3. 假設P(k)成立根據整除性的定意設為5M P(1) 成立。假設 P(k) 成立即8k 3k = 5M，M 為一個整數。4. 當n = k+1 時當 n = k + 1，8k+1 3k+1 = 8(8k) 3(3k) = 8(8k 3k + 3k ) 3(3k) = 8(8k 3k) + 8 (3k)3(3k)5. 它能被5整除, P(k+1)成立 = 8(5M) + 5(3k) = 5(8M + 3k

9、)6. 這句亦是要寫P(k + 1) 成立。根據數學歸納法，對於所有正整數n，P(n) 都成立。第四章 二項式定理其中 、 、 當中 3! = 二項式定理:第(r + 1) 項 = ß 適用於求特定某一項或某一項的係數 (只適用於一個二項式，三項式或兩個二項式則不適用)第五章任意角的三角函數1.弧度量度法(a) 被與半徑相同的弧夾在圓心的角度定義為一弧度。(b) rad = (c) 弧長 (d) 扇形 的面積 = ，而 是以弧度量度的圓心角。2. 三角函數在不同象限的符號是：(CAST)第一象限:A - 全部是正數第二象限:S - sin和它的倒數 (cosec) 是正數第三象限:T

10、 - tan和它的倒數(cot) 是正數第四象限:C - cos和它的倒數 (sec) 是正數3. 角的三角比在第二、第三和第四象限如下兩個步驟:(a)要變樣嗎? 或 不用轉樣，或 需轉樣 (cos à sin , sin à cos, tan à cot)(b)正或負?根據CAST 去考慮4. 三角函數之間的關係(a) 商數關係(b) 倒數關係(c) 二次關係 (恒等式)6.解三角方程式(1) 把不同的三角比轉為一個；(例: 把sin2 變成cos2)(2) 把方程轉為一元一次；(把全條式變成只得sin ，cos 或tan 等)(3) 找出指定範圍內的解。(例:

11、 在第一及第二象限內，)7.特別的三角比sincostan18.三角函數的圖表所有三角函數也是周期性的。(i)sin x 和 cos x 的周期是360º(ii)tan x 的周期是 180º(b) 所有實數 x ，而      和 可以是任何實數。9.A 越大振幅越大A越小振幅越小B 越大頻率越高B 越小頻率越小C > 0沿 x 軸向左平移C < 0沿x軸向右平移D > 0 沿y 軸向上平移D < 0沿y 軸向下平移第六章三角形的解法及其應用1.三角形的面積公式*此公式適用於當兩邊邊長和其夾角已知時

12、。2.正弦定律 (Sine Law)而 R 是經過 ABC 的圓周的半徑。* 此公式適用於求一邊長或一角度) 當其對應角(或邊)與另一對對應邊和角已知時。3. 餘弦定律 (Cosine Law)* 此公式適用於求第三邊邊長當其餘兩邊與其夾角已知時。4.羅盤方位角在羅盤方位角中，所有方向也是由北或由南起量度（永不會由東或由西）。我們只會用以下其中一個方式表示羅盤方位角：例:O、A和B在同一個平面上。A從O的羅盤方位角是N58E，B從O的羅盤方位角是S28W。5.真方位角在真方位角中，所有方向也是由正北起沿順時鐘方向量度。一物件從另一物件的真方位角，當它個在同一平面，永遠以x度，而且x是三位數的格

13、式表示。例:O與A、O與B分別在同一個平面上。 A從O的真方位角是008， B從O的真方位角是290。6. 二維空間的三角解(a)如果已知兩個角和一條邊（AAS、ASA）或兩條邊和一個非夾角（SSA）則應用正弦定律。(b)如果已知三條邊（SSS）或兩條邊和它們的夾角（SAS）則應用餘弦定律。(c) 當兩直線相交在一點，會形成兩對角，一對銳角與一對鈍角，除非該兩直線是互相垂直。那銳角通常會被定為兩直線相交所成的角除非有其他聲明。7. 三維空間(a) 一條直線垂於一個平面，如果這條線垂於這個平面的每條線。(b) AB是一直線。AB的末點A和一點C是在平面上的兩點。點C在B的正下方，直線AC稱為AB

14、在平面上的投影。(c) 一條直線和一個平面的夾角是該直線和它在那平面上的投射之間的角 。(d)兩個平面間的夾角是任何兩條分別在那兩平面上而垂直於該兩平面的共邊的直線之間的夾角。(e) 最大斜率線是垂直於斜坡與平面的共邊的直線。是一水平面而是一傾斜平面。兩平面相交於一直線XY。在傾斜平面，有三直線AB、PB和QB而AB與XY垂直。這些線與水平面所成的角分別為x、y和z。在三個角中，x是最大的，從此可知AB對應的斜率一定是最大，我們稱AB為最大斜率線。除了AB，在有其他的線也是最大斜率線。其實，在上平行AB的線，例如：l1、l2、l3、l4，就是最大斜率線因它們全部也垂直XY。第七章複角1.一些會供應的複角公式 2.二倍角公式 (不會提供的, 要謹記住!)sin2A = 2sinAcosAcos2A= cos2A sin2A =2cos2A 1= 1 2sin2A3.5 類三角方程(a)涉及平方、倒數(b)餘角(c)複角和二倍角(d)和差化積/ 積化和差(e)輔助角4.通解公式(a)若 ，則(b)若 ，則(c)若 ，則 第十二極限與導數1. 若要找出一個函數的極限，我們需要先因式分解或以有理化的方法先把函