让直线和平面动起来

1、让直线和平面动起来 线面平行有关问题江阴市第二中学 刘桂饶直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（以下简称线面平行的判定）。用符号表示为：若a，b，a b，则a。利用线面平行的判定判定线面平行时，在面内寻找与a平行的直线b是难点。由两个平面平行定义得：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线平行于另一个平面（以下简称面面平行的性质）。用符号表示为：若，a，则a。利用面面平行的性质判定线面平行时，找过直线a且与平面平行的平面是难点。PDACBMN图1如何突破这些难点，迅速解决相关问题。，请看下列几个案例。案例1 如图1在四棱锥P-ABCD中，

2、M，N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形，求证：MN平面PAD。（江苏出版社«普通高中课程标准实验教科书»必修2，第38页）方法（1） 分析：1、利用线面平行的判定证明MN平面PAD，就是在平面PAD内找到一条直线a与MN平行。2、猜想直线PA、PD、AD与MN平行？但它们与MN都异面。PDACBMN图1-1E3、平面PAD内哪条直线与MN平行？4、如图1-1尝试用三角尺平移MN到面PAD内：点M到点A；点N到PD上，设为E（由图可知E为线段PD的中点）。5、由此本题可以取PD的中点E，通过证明AE MN，从而证明MN平面PAD（证明略）。方法（2） 1、分析：

3、利用面面平行的性质证明MN平面PAD，就是要找到过直线MN且与平面PAD平行的平面。2、过直线MN且与平面PAD平行的平面是哪个平面？PDACBMN图1-2F3、尝试平移平面PAD到过直线MN。我们可以通过平移直线来实现。4、如图1-2平移直线AD到过点M，交CD于F（由图可知F即为线段PD的中点）。相交直线MN、MF所确定的平面NMF即为所找平面。5、由此本题可以取CD的中点F，通过证明平面NMF平面PAD，从而证明MN平面PAD（证明略）。ABCDE图2案例2 如图2 在直四棱柱ABCD中，已知DC= =2AD=2AB，ADDC, ABDC。（1）求证：（2）试在棱DC上确定一点E，使E平

4、面BD，并说明理由。（2008年江苏省高考考试说明，典型题示例第51页）分析：1、利用线面平行的判定解本题时，发现无法平移E到平面BD内，因为E不确定的，点E未知。如何解决？ABCD图2-2ABCDE图2-3ABCD图2-12、逆向思维，平面BD内哪条直线与E平行？D ?B? BD?分别平移D ，B， BD到过点（E虽不确定的，但其中点是已知的）。3、如图2-1，平移D到过点时，与DC不相交；如图2-2平移BD到过点时，与DC也不相交；如图2-3平移B到过点时，与DC相交，其交点设为E。4、由作法知：AD，平面ABCD，所以平行于平面ABCD与平面EB的交线BE。从而四边形ABED为平行四边形

5、，所以E为棱DC中点。所以当点E为棱DC中点时，E平面BD。FDACQPEB图35、由此本题可以取棱DC的中点E，通过证明E B，从而证明MN平面PAD（证明略）。 案例3 如图3 已知有公共边AB的两个全等矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的动点，当满足什么条件时，PQ平面CBE？（江苏出版社«普通高中课程标准实验教科书»必修2，第38页）方法（一） 分析：1、利用线面平行的判定来确定P，Q两点。FDACQPB图3-1E2、显然EB、BC与PQ不平行， CE呢？（EB、BC均与PQ异面，三条直线中只可能是CE。）3、如图3-1 沿线段EA

6、平移CE（AE与CE有交点）到与EA、 BD分别相交于P、Q。4、由作法知：A，Q，C是平面EAC和平面ABCD的公共点，所以A，Q，C三点共线。Q为AC，BD的交点，为BD的中点，此时P是AE的中点。所以当P、Q分别是AE，BD的中点时，PQ平面CBE。（证明略）FDACQPEB图3-2N方法（二） 分析：1、利用面面平行的性质来确定P，Q两点：平移平面CBE。2、如图3-2 在平面ABEF内平移BE交AE于P，交AB于N；在平面ABCD内平移BC到过N交BD于Q。FDACQPEBM图3-33、由作法知：平面ABEF内，有；平面ABCD内，。又EA=BD，所以P，Q满足EP=BQ时，PQ平面

7、CBE。（证明略）回顾与反思：方法（一），方法（二）中结论不同，方法（一）的结论仅是方法（二）中的一种特殊情况。方法（一）是不是只找到了一种特殊情况而漏掉了一般情况？让我们回到方法（一）中接着分析：5、CE是面CBE内很特殊的与PQ平行的直线，面CBE内会不会还有其余直线与PQ平行呢?怎样的直线？FDACQPEBM图3-46、让我们平移PQ到平面CBE内看看：点P到点E；点Q到直线BC上（不一定是点C）。7、如图3-3取线段BC除端点外任意一点M ，连接EM。沿线段AE平移EM（AE与EM有交点）到分别与AE、 BD相交于点P、Q。MPFDACEB图3-58、由作法知：A， Q，M是平面EAM

8、和平面ABCD的公共点，所以A，Q，M三点共线。平面EAM内，平面ABCD内， ，所以即EP=BQ。此时PQ平面CBE（证明略）9、如图3-4 M为线段BC延长线上任意一点，连接EM。沿线段AE平移EM到分别与AE、 BD相交于点P、Q。同样当点P、Q满足EP=BQ时，PQ平面CBE。10、如图3-5当M为线段BC反向延长线上任意一点时，连接EM，沿线段AE平移EM，发现EM与BD不相交，（此时线段EA、线段EM，均在线段BD同侧，沿线段AE平移线段EM时，是远离线段BD而去，故与线段BD不相交）。综合以上分析方法（一）可以得到与方法（二）同样的结论：当P，Q满足EP=BQ时，PQ平面CBE。（证明略）线面平行有关问题都可以通过平移直线或平面来寻找相应的线或面，从而解决问题。数学课堂主要表