概率论与数理统计公式集锦

1、概率论与数理统计公式集锦、随机事件与概率公式名称公式表达式德摩根公式ABAB,ABAB古典概型几何概型P（A）若，其中心为几何度量（长度、面积、体积）求逆公式加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时，P(AUB)=P(A)+P(B)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB),BA时P(A-B)=P(A)-P(B)条件概率公式与乘法公式全概率公式贝叶斯公式（逆概率公式）两个事件相互独立P(AB)P(A)P(B);P(B|A)P(B);P(BA)P(BA);、随机变量及其分布1、分布函数2、离散型随机变量及其分布分布名称分布律01分布二项分布泊松分布3、续型随机变量及

2、其分布分布名称密度函数分布函数均匀分布分布名称密度函数分布函数指数分布正态分布2X:N(,)标准正态分布4、随机变量函数Y=g(X)的分布1,2,L ,离散型：P(Yy)Pj,ig(xj)Y连续型：分布函数法，公式法fY(y)fx(h(y) h(y)(xh( y)单调)三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布彳t： P(Xxi ,Y yj)Pj , i,1,2,L分布函数F(X,Y)xi x yiPij y边缘分布律：Pi P(X x)PijPj P(Yyj)Pij条件分布律：P(X xi Y yj)Pj .一,iPj1,2,LP(Y V XPij .一,jPi1,2,L2、

3、连续型二维随机变量及其分布联合分布函数及性质分布函数： F (x, y)f(u,v)dudv =P (X<=x,Y<=y性质：F (F (x,y)1,一f (x,y), P(x, y) G) x y(x, y)dxdy边缘分布函数与边缘密度函数x分布函数：Fx (x)f (u,v)dvdu 密度函数：fX (x)f (x, v)dv条件概率密度fYX(yx)f(xy)fX(x)fXY(xy)党3、随机变量的独立性随机变量X、Y相互独立F(x,y)Fx(x)Fy(y),离散型：PjPi.p.j，连续型：f(x,y)fx(x)fY(y)4、二维随机变量和函数的分布离散型：p(zzk)P

4、(Xx,Yyj)xiyjZk连续型：fz(z)f(x,zx)dxf(zy,y)dy四、随机变量的数字特征1、数学期望定义：离散型E(X)xkPk,连续型E(X)xf(x)dxk1性质：E(C)C,EE(X)E(X),E(CX)CE(X),E(XY)E(X)E(Y)E(aXb)aE(X)b,当X、Y相互独立时：E(XY)E(X)E(Y)2、方差定义：D(X)E(XE(X)2E(X2)E2(X)性质：D(C)0,D(aXb)a2D(X),D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)当X、Y相互独立时：D(XY)D(X)D(Y)3、协方差与相关系数协方差：Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y),

5、当X、Y相互独立时：Cov(X,Y)0相关系数：£0VsJ当x、Y相互独立时：xY0(X,Y不相关)XY.D(X)-D(Y)协方差和相关系数的性质：Cov(X,X)D(X),Cov(X,Y)Cov(Y,X)Cov(XiX2,Y)Cov(Xi,Y)Cov(X2,Y),Cov(aXc,bYd)abCov(X,Y)4、常见随机变量分布的数学期望和方差分布数学期望方差0-1 分布 b(1,p)pp(1-p)二项分布b(n, p)npnp(1-p)泊松分布P()均匀分布U (a,b)正态分布N( , 2)指数分布& )五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若 E(X) ,D(X)

6、2,对于任意0有 PX E(X) DX)2、大数定律：切比雪夫大数定律：若 Xi Xn相互独立,E(Xi)/3)9 一*?1P 1i2且 2 C ,则：一Xi P - E(Xi),(n n 一n . 伯努利大数定律：设 nA是n次独立试验中事件 A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则 0,有：lim P - p nn辛钦大数定律：若 X1,L ,Xn独立同分布，且 E(Xi)3、中心极限定理,1，则一Xin i 1列维一林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量充分大时有：Yn ( Xk n ) 、.n N(0,1)k 1Xi(i 1,2,L),均值为，方差为2 0,当n棣莫弗一拉

7、普拉斯中心极限定理：随机变量XB(n,p),则对任意x有:nbnan近似计算：P(aXkb)(n)(an)k1Jn.nI?率？论？与？数？理？统？计？公？式？整？理1、总体和样本的分布函数n设总体X:F(x),则样本的联合分布函数F(X1,X2Xn)F(Xk)k12、统计量1，、，样本均值： X - Xi ,样本万差:n i 11 n 一样本标准差：S 1 (Xi X),n 1i1S2n12(Xi X)n 1 i 1,样本k阶原点距:(X22nX )1,1Xik,k 1,2n i 1n样本k阶中心距：Bk-(XiX)k,k1,2,3L3、三大抽样分布2分布：设随机变量Xi：N(0,1)(i1,

8、2,L,n)且相互独立，则称统计量2Xi2x2X2服从自由度为n的2分布，记为22(n)22_222性质：E2(n)n,D2(n)2n设X2(m),Y2(n)且相互独立，则XY2(mn)t分布：设随机变量2XXN(0,1),Y(n),且X与Y独立，则称统计量：T服从自由度为n的,Ynt分布，记为Tt(n)性质：E(T) 0(n1),D(T) 名(n 2) ymfn(x)(x)2 . XL e 下.2(3) F分布：设随机变量22X (m),Y (n)，且X与Y独立,则称统计量 F(m,n) &m服从第一自由Y n度为m,第二自由度为n的F分布，记为F F (m,n)，性质:设 F F(

9、m,n),则腔 F(n,m)七、参数估计1 .参数估计定义：用(Xi,X2,L ,Xn)估计总体参数，称(Xi,X2,L ,Xn)为 的估计量，相应的(x1,x2,L,xn)为总体的估计值。当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值2 .点估计中的矩估计法:基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩求法步骤：设总体 X的分布中包含有未知参数1, 2,L , k，它的前k阶原点矩i E(Xi)(i 1,2,L ,k)中包含了未知参数1 , 2,L , k，即 i gi( 1, 2,L , k )(i1,2,L ,k)；又设x1,x2,L , xn为总体X的n个样本值，用样本矩代替

10、i,在所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数1, 2,L , k的矩估计量1 , 2 ,L , k注意：分布中有几个未知参数,就求到几阶矩。3 .点估计中的极大似然估计求法步骤:设Xi,X2,LXn取自X的样本，设Xf(x,)或XP(x,),似然函数：nnL()f(Xi,)(连续型)或L()Pi(x,)(离散型)i1i1取对数：nnlnL()Inf(Xi,)或InL()InR(Xi,)i1i111(X1，X2，L,Xn)解方程：inLinL0,L,0,解得：LL1kkk(X1,X2,L,Xn)4.估计量的评价标准估设(X1,X2,L,Xn)为未知参数的估计量。右E()-，无偏性计则称为的无

11、偏估计量。量设11(X,x2,L,Xn)和22(X1,x2,L,Xn)是未知参数有效性的的两个无偏估计量。若D(1)D(2),则称1比2有效。评设n是的一串估计量，如0,有|imP(|n|)0则价称n为的一致估计量(或相合估计量)。一致性标准5.单正态总体参数的置信区间条件估计参数枢轴量枢轴量分布置信水平为1的置信区间已知2未知已知八、假设检验1.假设检验的基本概念未知基本思想假设检验的统计思想是小概率原理。小概率事件的概率就是显着性水平a,常取a=0.05,0.01或0.10。提出原假设H0；选择检验统计量g(X1,L,Xn);对于a查表找分基本位数人，使P(g(Xi,L,Xn)W)，从而定出拒绝域W；步骤由样本观测值计算统计量实测值g(Xi,L,Xn)；并作出判断：当实测值落入W时拒绝H0,否则认为接受H0O当H0为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定H0O这时，第一类我们把客观上H0成立判为H0为不成立(即否定了真实的假设)，错误称这种错误为“弃真错误”或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即：P拒绝H0|H。为真户；两类错误第二类错误当Hi为真时，而样本值却落入了接受域，应接受H0o这时，我们把客观上H0不成立判为H。成立(即接受了不真实的假设)，称这种错误为“取伪错