高等数学第十章曲面积分

1、第十章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分 第十章 AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度为),(zyx“大化小, 常代变, 近似和, 求极限

2、” kkkks),(可得nk 10limM为计算此构件的质量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲线形构件的质量采用机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数, kkkksf),(都存在,),(zyxf上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),(若通过对 的任意分割局部的任意取点, 2. .定义定义是定),(zyxf下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和对机动 目录 上页 下页 返回 结束

3、如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是闭曲线 , 则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积分为机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么问Ls(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.3. 性质性质szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 为常数)szyxfd),()3( 由 组成) 21, sd)4( l 为曲线弧 的长度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(s

4、zyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:),(yxf设且)()(tty上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分根据定义 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ,1kkktt点),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt

5、)()(22 )(, )(kkf连续注意)()(22tt设各分点对应参数为), 1 ,0(nktk对应参数为 则,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf机动 目录 上页 下页 返回 结束 xdydsdxyoLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22说明说明:, 0, 0) 1 (kkts因此积分限必须满足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果曲线 L 的方程为),()(bxaxy则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(: rrL则sy

6、xfLd),()sin)(,cos)(rrf推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx则szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算,dLsx其中 L 是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计

7、算半径为 R ,中心角为2的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解解: 建立坐标系如图,R xyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R则 )(sincos:RyRxL机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算,dsxIL其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1 arL利用对称性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox机动 目录 上页 下页 返回

8、结束 例例4. 计算曲线积分 ,d)(222szyx其中为螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算,d2sx其中为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:

9、 例5中 改为0)1()1(2222zyxazyx计算?d2sx解解: 令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 则sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圆的形心在原点, 故0XaX22, 如何机动 目录 上页 下页 返回 结束 d d s例例6. 计算,d)(222szyxI其中为球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交线与平面 zx292 z化为参数方程 21cos2x sin2y则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.

10、有一半圆弧cosRx ),0(其线密度 ,2解解:cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkRRoxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk2故所求引力为),(yx,sinRy 求它对原点处单位质量质点的引力. RkRkF2,4机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(

11、21组成由ls d)3( l 曲线弧 的长度)Lszyxfd),(),(为常数szyxgLd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算计算 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 已知椭圆134:22yxL周长为a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2

12、sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它关于 z 轴的转动惯量;zI(2) 求它的质心 .解解: 设其密度为 (常数).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的质量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 syLd22kaa20dsintt0szLd22k

13、ak20dtt2222kak故重心坐标为),0,0(k作业作业P131 3 (3) , (4) , (6) , (7)5 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 xyo备用题备用题1. 设 C 是由极坐标系下曲线, ar 0及4所围区域的边界, 求seICyxd222)24(aeaa4xy 0yar 提示提示: 分段积分xeIaxd0d40aeaxeaxd2202机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. L为球面2222Rzyx面的交线 , 求其形心 . 在第一卦限与三个坐标解解: 如图所示 , 交线长度为RozyxRR1L3L2LslLd31423R23 R由对称性 , 形心坐标为321d1L

14、LLsxlxyz321ddd1LLLsxsxsxl1d2Lsxl20dcos2RRl34R机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十章 一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, ABLxy求移cosABFW “大化小

15、” “常代变”“近似和” “取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxF机动 目录 上页 下页 返回 结束 1kMkMABxy1) “大化大化小小”.2) “常代变常代变”L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk则有kkkkyQxP),(),(kk所做的功为,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1则用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kykx机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) “近似和近似和”4) “取极限取极限”nkW1kkkkkkyQ

16、xP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分. 其中, ),(yxPL 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线 .称为被积函数被积函数 , 在L

17、上定义了一个向量函数极限),(, ),(),(yxQyxPyxF记作),(yxF),(yxQ机动 目录 上页 下页 返回 结束 LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若 为空间曲线弧 , 记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记, 对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 类似地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质

18、性质(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:),(, ),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(t

19、tP)(t)(ttd)(),(ttQ连续,证明证明: 下面先证LxyxPd),(tttPd )(),()(t存在, 且有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应参数设分点根据定义ix,it),(ii点,i由于1iiixxx)()(1iittiit)(LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(, )(limiit)(niiiP10)(, )(limiit)()(tLxyxPd),(niiiixP10),(lim对应参数连续所以)(t因为L 为光滑弧 ,同理可证LyyxQd),(tttQd )(),()(t机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别是, 如果 L 的方程为,:),(b

20、axxy则xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(对空间光滑曲线弧 :类似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx定理 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算,dLxyx其中L 为沿抛物线xy 2解法解法1 取 x 为参数, 则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y

21、为参数, 则11:,:2yyxL54d2114yy从点xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算其中 L 为,:, 0aaxyyBAoaa x(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00则

22、则机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxo例例3. 计算,dd22yxxyxL其中L为(1) 抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线 ;10:,:2yyxL(3) 有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式yyy222yy d5104(3) 原式yxxyxOAdd22102d)002(xxx1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设在力场作用下, 质点由沿移动到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解

23、解: (1)zzyxxydddttkR2022d)(2) 的参数方程为kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20dBAzyx试求力场对质点所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk 222k其中为),(zxyFsFWdsFWd机动 目录 上页 下页 返回 结束 ozyx例例5. 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.解解: 取 的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41

24、 (220)sin)(cos2(tt 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为)0()(, )(lssyysxx已知L切向量的方向余弦为sysxddcos,ddcos则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcos

25、coscos令tAsAtd, ),(RQPA )d,d,(ddzyxs )cos,cos,(cost sA d sA dstAd记 A 在 t 上的投影为机动 目录 上页 下页 返回 结束 二者夹角为 例例6. 设,max22QPM曲线段 L 的长度为s, 证明),(, ),(yxQyxP续,sMyQxPLdd证证:LyQxPddsQPLdcoscos设sMsQPLdcoscos说明说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连 )cos,(cos, ),(tQPAstALdsALdcos机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. .将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长

26、的积分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到从解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd)

27、,(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 两类曲线积分的联系LyQxP

28、ddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 对空间有向光滑弧 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 F原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1. 设一个质点在),(yxM处受恒指向原点,)0,(aA沿椭圆此质点由点12222byax沿逆时针移动到, ),0(bB),(yxMxyo)0 ,(aA), 0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t(解见 P139 例5), ),(yxOM F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF),

29、(xyk思考思考: 若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Coxyz2. 已知为折线 ABCOA(如图), 计算zyyxIddd提示提示:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P141 3 (2), (4), (6), (7) ; 4 ; 5 ; 7 ; 8第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.解解:zxoyABzk222zyx

30、kzjyi xzkLzyxzzzyyxxk222ddd:L22 tx22 ty1 tz) 10:(t101d3ttk2ln3k)1 ,2,2(A线移动到, )2,4,4(B向坐标原点, 其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.沿直sFWLdF)(0r) 1 , 2 , 2(ABr求 F 所作的功 W. 已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设曲线C为曲面2222azyx与曲面axyx22,)0, 0(的交线az从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;(2) 计算曲线积分.ddd222zxyzxyC解解: (1)22

31、222)()(aayx222yxaztxaacos22tyasin22sintaz 20:t机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 原式 =ta38sin3tttadcos)cos1 (2283令tu20uuuaacoscossin2223833uuuadsin)cos1 (2283利用“偶倍奇零”0232auuudcos2cos134attacossin2223机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十章 LD区域 D 分类单连

32、通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”区域 )域 D 边界L 的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,LDyxyQxPyxQPdddd或一、一、 格林公式格林公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21则yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQ

33、d),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcyddcyxoECBAbaD定理1 目录 上页 下页 返回 结束 即yxxQDddLyyxQd),(同理可证yxyPDddLxyxPd),(、两式相加得:LDyQxPyxyPxQdddd定理1 目录 上页 下页 返回 结束 yxoL2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd为有限个上述形式的区域 , 如图)(的正向边界表示kkDD证毕定理1 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论: 正向闭曲线

34、L 所围区域 D 的面积LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 椭圆20,sincos:byaxL所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明0dd22yxxyxL证证: 令,22xQyxP则yPxQ利用格林公式 , 得yxxyxLdd22022xxDyxdd00机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算,dd2Dyyxe其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解解: 令, 则2, 0ye

35、xQPyPxQ利用格林公式 , 有Dyyxedd2Dyyexd2yexOAyd2yeyyd102)1(211exy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BD2ye机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算,dd22Lyxxyyx其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 令,022时则当 yx22222)(yxxyxQ设 L 所围区域为D,)0 , 0(时当D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoL机动 目录 上页 下页 返回 结束 dsincos2022222rrr2,)0 , 0(时当D在D 内作圆周,:222ryxl取逆时针方向

36、,1D, 对区域1D应用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设D 是单连通域 ,),(),(yxQyxP在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0ddLyQxP(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 内每一点都

37、有.xQyPLyQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线, 则(根据条件(1)BAyQxPddAByQxPdd定理2 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明 (2) (3)在D内取定点),(00yxA因曲线积分),(),(00dd),(yxy

38、xyQxPyxu),(),(yxuyxxuux则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一点B( x, y ),与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得yQxPuddd则),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 内具有连续的偏导数,xyuyxu22所以从而在D内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22,定理2 目录 上页

39、 下页 返回 结束 证明证明 (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,DD (如图) ,上因此在DxQyP利用格林公式格林公式 , 得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为证毕定理2 目录 上页 下页 返回 结束 yx说明说明: 根据定理2 , 若在某区域内,xQyP则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为y

40、yyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;定理2 目录 上页 下页 返回 结束 yA xoL例例4. 计算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 为上半24xxy从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,AOD它与L 所围原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx3648 圆周区域为D , 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证

41、: 设,22yxQyxP则xQyxyP2由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 验证22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证: 令2222,yxxQyxyP则)0()(22222xyQyxxyxP由定理定理 2 可知存在原函数),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyx

42、yx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 设质点在力场作用下沿曲线 L :xycos2由)2, 0(A移动到, )0,2(B求力场所作的功W解解:)dd(2Lyxxyrk令,22rxkQrykP则有)0()(22422yxryxkyPxQ可见, 在不含原点的单连通区域内积分与

43、路径无关. )(22yxr其中LBAyox),(2xyrkFsFWLd机动 目录 上页 下页 返回 结束 :AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 积分路径是否可以取?OBAO取圆弧LBAyox为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 格林公式LyQxPdd2. 等价条件在 D 内与路径无关.yPxQ在 D 内有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对 D 内任意闭曲线 L 有0ddLyQxP在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连

44、续偏导数, 则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设,4:, 1:222412yxlyxL且都取正向, 问下列计算是否正确 ?Lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Do2y1x2LlDd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412提示提示:时022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设, )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuyox)

45、,(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0 , 0(yxC作业作业P153 2 (1); 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ; 6 (2) , (5)第四节 目录 上页 下页 返回 结束 CCCDyxoaaC 备用题备用题 1. 设 C 为沿yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222222ayx从点), 0(a依逆时针), 0(a的半圆, 计算解解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =321aaayayd)ln2(D222xaya222xayyxddC到点机动 目录

46、上页 下页 返回 结束 D2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到Dyxdd2点B(3, 4),到原点的距离,解解: 由图知 故所求功为AByxxyddABBAABxxxd) 1(3122锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为AB)dd(yxxy) 1(21334xyAB的方程F求变力 F 对质点M 所作的功. ( 90考研 ) , ),(xyFF 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,sFWd),(yxMBAyxo机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对

47、面积的曲面积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第十章 oxyz一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度),(zyx类似求平面薄板质量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 SzyxMd),(定义定义: 设 为光滑曲面,“乘积和式极限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面积分Szyx

48、fd),(其中 f (x, y, z) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为SSdf (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积函数, 叫做积分曲面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.,21则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质.则为常数设,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上连续, 对面积的曲

49、面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxyz定理定理: 设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明证明: 由定义知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)

50、(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而(光滑)机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有类似的公式.1) 如果曲面方程为2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分. (见本节后面的例4, 例5)

51、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxD例例1. 计算曲面积分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下两部分,) (dzS) (dzS0hln4aa则hhoxzy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算,dSzyx其中 是由平面坐标

52、面所围成的四面体的表面. ozyx111解解: 设上的部分, 则4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx与, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xozy例例3. 设2222:azyx),(zyxf计算.d),(SzyxfI解解: 锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的投影域为1

53、yxD则 1d)(22SyxI机动 目录 上页 下页 返回 结束 1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 若例3 中被积函数改为),(zyxf,22yx ，022yxz当22yxz当计算结果如何 ? 例例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.解解: 设 的方程为yxDyxyxRz),( ,222利用对称性可知重心的坐标,0 yx而 z 223RRR用球坐标cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR思考题思考题

54、: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?例3 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐标系, 则,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用对称性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 显然球心为, ) 1 , 1 , 1 (半径为3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz机动 目录 上页 下页

55、 返回 结束 zzd例例7. 计算,d222zyxSI其中 是介于平面之间的圆柱面.222Ryx分析分析: 若将曲面分为前后(或左右)zRSd2d则HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解解: 取曲面面积元素两片, 则计算较繁. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyxzL例例8. 求椭圆柱面19522yx位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd机动 目录 上页 下页

56、返回 结束 例例9. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km,机动 目录 上页 下页 返回 结束 运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径 R = 6400 km )解解: yzxohR R建立坐标系如图, 覆盖曲面 的半顶角为 , 利用球坐标系, 则ddsind2RS 卫星覆盖面积为SAd0202ddsinR)cos1 (22RhRRcoshRhR22机动 目录 上页 下页 返回 结束 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为24 RA)(2hRh6610)4 . 636(21036%5 .40由以上结果可知,

57、卫星覆盖了地球 31以上的面积, 故使用三颗相隔32角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面. 说明说明: 此题也可用二重积分求 A (见下册P109 例2) . yzxohR R内容小结内容小结1. 定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 计算: 设,),( , ),(:yxDyxyxzz则Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习P158 题1；3；4(1) ; 7 解答提示解答提示:P158

58、题1.SzyxzyIxd),()(22P158 题3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(设则0P184 题2机动 目录 上页 下页 返回 结束 P158 题4(1).oyxz2 在 xoy 面上的投影域为2:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313这是 的面积 !2xyD)(2:22yxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 P159 题7. 如图所示, 有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320354tttd) 1(302221r

59、t令o21yxDzyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 P184 题2. 设),0(:2222zazyx在第为1一卦限中的部分, 则有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P158 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8第五节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 已知曲面壳)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量 M . 解解: 在 xoy 面上的投影为 ,2:22 yxDyx故SMdr

60、rrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设 是四面体的表0,0,0,1zyxzyx面, 计算.d)1 (12SyxI解解: 在四面体的四个面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11o0zyxdd0yxzddzxzDxz10,10:0 xzyddzyzDzy10,10:同上平面方程Sd投影域机动 目录 上页 下页 返回 结束 yyzzd)1 (1d10210 xxzzd)1 (1d102102ln) 13(233yyxxIxd)1 (1d)13(10210机动 目录 上页 下页 返回 结