角的平分线的性质

1、角的平分线的性质角的平分线的性质如图所示，在如图所示，在S区建一个工厂，使区建一个工厂，使它到两条铁路的距离相等，假如它到两条铁路的距离相等，假如你是设计者，你会怎样设计？你是设计者，你会怎样设计？1、在准备好的角上标好字母；、在准备好的角上标好字母；A,O,B, 。把角。把角AOB对折，使得这个角的两边重合。对折，使得这个角的两边重合。2、在折痕（即平分线）上任意找一点、在折痕（即平分线）上任意找一点P。作。作PD垂直与垂直与OA，垂足为，垂足为D。3、过点、过点P作作OB边的垂线边的垂线PE，垂足为，垂足为E。问：点问：点D与点与点E重合吗，由此你可得到什么结论重合吗，由此你可得到什么结论

2、BOAPPED角平分线上的点到角的两边的距角平分线上的点到角的两边的距离相等离相等 由小组讨论的结果，我们可以得由小组讨论的结果，我们可以得到什么？到什么？如何用尺规作角的平分线如何用尺规作角的平分线画法：画法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 1/2 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作射线射线即为所求射线即为所求已知：已知：OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC。求证：求证：OCOC平分平分AOBAOB。想一想：想一想：为什么为什么OCOC是角平分线呢？是角平分线呢？证明证明

3、：在：在OMCOMC和和ONCONC中，中， OM=ONOM=ON， MC=NCMC=NC， OC=OCOC=OC， OMC OMC ONCONC（SSSSSS） MOC=NOCMOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOB O Ow角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等. .已知已知: :如图如图,OC,OC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E.D,E.求证求证:PD=PE.:PD=PE.分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的OPDOPE，而OPD

4、OPE的条件由已知易知它满足公理(AAS). 故结论可证.OCB1A2PDE证明：证明：PDOA,PEOB. PDO=PEO=90 OC为为AOB的平分线的平分线 1=2 在在PDOPDO和和PEOPEO中，中， PDO=PEO 1=2 OC=OCOC=OC， OMC OMC ONCONC（AASAAS） PD=PE OCB1A2PDE我们得角的平分线的性质：我们得角的平分线的性质： 在角的平分在角的平分线上的点到角的两边的距离相等线上的点到角的两边的距离相等能否用符号语言来翻译能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角角平分线上的点到角的两边的距离相等的两边的距离相等”这句话请填下表：这句话请

5、填下表：OC平分平分AOB，PDOA, PEOB, D、E为垂为垂足足PD=PE到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：点P在AOB的平分线上 证明：证明：PDOA,PEOB. PDO=PEO=90 OC为为AOB的平分线的平分线 在在PDOPDO和和PEOPEO中中, , PD=PE PD=PE OC=O OMC OMC ONCONC（HLHL） 1=2 OC为为AOB的平分线的平分线OCB1A2PDE已知已知: :如图如图, P, P是是OCOC上任意一点上任意一点

6、PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E.D,E.且且PD=PE.PD=PE.求证求证: : 1=2同学们思考一下，这节课所学的这两个性质有什么联系吗？证明：证明：过点过点P作作PD 、PE、PF分别垂直于分别垂直于AB、 BC、CA，垂足分别为，垂足分别为D、E、F BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边在角平分线上的点到角的两边 的距离相等）的距离相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点即点P到边到边AB、BC、 CA的距离相等的距离相等想一想，点想一想，点P在在A A 的的 平分线上吗？这平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？说明三角形的三条角平分线有什么关系？PABCMNEDF例例 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于点相交于点P.求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.畅 谈 收 获练习练习1： 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等. CDABO练习练习2：如图，如图，的的的外角的平的外角的平分线与分线与的外角的平分线相交于的外角的平分线相交于点求证：点到三边，点求证：点到三边，所在直线的距离相等所在直线的距离相等F FGH知识拓展知识拓展 ：