详解15章整式整式的乘除与因式分解

1、第十五章 整式的乘除与因式分解15.1 整式的乘法15.1.1 同底数幂的乘法知能新视窗知识结构 同底数幂的乘法法则逆用同底数幂的乘法法则 同底数幂的乘法法则推广学点博览学点1 同底数幂的乘法法则：am·an=am+n(m、n都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加理解要点：（1）法则理解同底数幂是指底数相同的幂如(-3)2与(-3)5,(ab3)2与(ab3）5,(x-y)2与(x-y)3 等同底数幂的乘法法则的表达式中，左边：两个幂的底数相同，且是相乘的关系；右边：得到一个幂，且底数不变，指数相加（2）法则逆用与推扩同底数幂的乘法法则也可逆用，可以把一个幂分解成两个同底数

2、幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它的指数之和等于原来幂的指数即am+n=am·an(m、n都是正整数)如：25=23·22=2·24等同底 数幂的乘法法则可推扩到三个或三个以上的同底数幂的相乘am·an·ap=am+n+p(m、np都是正整数)，am·an··ap=am+n+p(m、np都是正整数) （3）应用法则注意的事项：底数不同的幂相乘，不能应用法则.如：32·2332+3；不要忽视指数为1的因数，如:a·a5a0+5底数是和差或其它形式的幂相乘，应把它们看作一个整体名师开小灶金

3、考点考点1 同底数幂的乘法法则同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础，一定要学好 例1 计算：（1）-a·(-a)3 （2）-a3·(-a)2 （3）(a-b)2·(a-b)3 （4）(a-b)2·(b-a)3点拨 根据幂的符号法则，把幂的底数统一解答 (1)-a·(-a)3=(-a)4=a4(2)-a3·(-a)2 =-a3·a2= -a3+2= -a5(3)(a-b)2·(a-b)3=(a-b)2+3=(a-b)5(4)(a-b)2·(b-a)3=(b-a)2·(b-a)3=(b-a)5方法规律

4、 在am·an=am+n中，a可以代表任意的有理数，单项式、多项式，解这类题目往往要用到幂的符号法则使底数一致。常见的变形如：(a-b)2n= (b-a)2n,(a-b)2n-1=-(b-a)2n-1(n为正整数)等考点2：同底数幂的乘法法则的推广三个或三个以上同底数幂相乘，法则一样适合例2 计算：（1）x2·(-x)3·(-x)4 (2)xn·xn+1·xn -1·x(3)(x-2y)2·(x-2y)m -1·(x-2y)m +2 (4)(x-y)4·(y-x)5·(y -x)2·(

5、x-y)点拨在底数相差符号时，可先利用指数的奇偶性将底数化为相同，再用同底数幂的乘法法则解答（1）x2·(-x)3·(-x)4=x2·(-x3)·x4=-x2+3+4=-x9（2）xn·xn+1·xn-1·x=x3n+1（3）(x-2y)2·(x-2y)m-1·(x-2y)m+2=(x+2y)2+(m-1)+(m+2)=(x-2y)2m+3（4）(x-y)4·(y-x)5·(y-x)2·(x-y)=(y-x)4·(y-x)5·(y-x)2·-(y

6、-x)=-(y-x)4+5+2+1=-(y-x)12方法规律（1）如果是三个或三个以上的同底数幂相乘仍然适合法则，即am·an··ap=am+n+p(m、np都是正整数) 考点3 同底数幂的乘法法则的逆用巧妙地逆用同底数幂的乘法法则，可创性地解看似无从着手的题目，从而培养逆向思维能力例3已知am=2,an=3(m、n为正整数)，求am+n的值点拨逆用同底数幂的乘法法则，可将am+n变为am·an解答am=2,an=3,am+n=am·an=2×3=6方法规律灵活变形、逆用同底数幂的乘法法则，即am+n=am·an(m、n都是

7、正整数)考点4 混合运算混合运算主要考查综合解决问题的能力，此类综合题要找准方法，注意运算顺序例4计算（1）（-3）100+（-3）99+（-3）54·（-345）（2）x3·xm-xm+3+(-x3)·(-x)2点拨混合运算，应先算乘法，后算加减，注意同底数幂的乘法法则与合并同类项的区别，有时逆用同底数幂的乘法法则可简化运算解答（1）（-3）100+（-3）99+（-3）54 ·（-345） =（-3）（-3）99+（-3）99+（-3）54 ·（-3）45 =（-3）（-3）99+（-3）99+（-3）99 =（-1）（-3）99=399

8、（2）x3·xm-xm+3+(-x3)(-x)2 =x3+m-xm+3+(-x)3(-x)2 =0+(-x)5 =-x5注意的问题1在混合运算中，要注意法则的正用和逆用。尤其对逆向变形应加以重视2n为偶数时，（-a）n=an,n为奇数时，（-a）n=-an经常需要运用这一特性简化运算金钥匙能力拓展 例1已知2a=3,2b=6,2c=12,那么a、b、c是否满足a+c=2b的关系？若满足，请说明理由，若不满足，请说明原因。 点拨找指数a、b、c三者之间关系，逆用同底数幂的乘法法则是突破口，解答：满足a+c=2b的关系理由如下：2a=3,2c=12,2a+c=2a·2c=3&#

9、215;12=36, 又2b=6,22b=2b+b=2b·2b=362a+c=22b a+c=2b 综合运用例2已知xm-n·x2n+1=x11,ym-1·y4-n=y7求m+n的值点拨利用当同底数幂相等时，则幂指数相等，列出方程，求出m、n的值 解答xm-n·x2n+1=x11 xm-n+2n+1=x11xm+n+1=x11m+n+1=11 又ym-1·y4-n=y7ym-1+4-n=y7ym-n+3=y7m-n+3=7m+n=10, m=7,由得方程组为 解得 m-n=4 , n=3.m=7，n=3方法规律利用已知的条件构造出方程是解此类题

10、综合题的基本方法误区警示例3（1）若等式2n·xn=22n对于一切正整数n 都成立，x是多少？ （2）如果存在整数n，等式2n·xn=22n ，x一定等于2吗？ 点拨可以逆用am·an=am+n,即利用2n·xn=22n=2n·2n，从而考察xn=2n对x的条件限制解答（1）2n·xn=22n, 2n·xn=2n·2n，n为正整数，2n0, xn=2n，又2n·xn=2n对于一切正整数n都成立，x=2， (2)当n为奇数时，xn=2n,x=2 当n为偶数时，（±2）n=2n， x=±2

11、 综合所述：x不一定等于2误点剖析由xn=2n,不能简单认定x=2或x=±2,一定要看指数n 的条件，所以幂相同，指数相同，底数未必相同15.1.2 幂的乘方知能新视窗知识结构 幂的乘方法则逆用幂的乘方的意义 幂的乘方法则 幂的乘方法则推广 学点博览学点1 幂的乘方的意义幂的乘方是指n个相同的幂相乘学点2 幂的乘方法则(am)n=am·n(m、n都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘理解要点（1）同底数幂的乘法与幂的乘方的异同 符号表示相同点不同点同底数幂的乘法am·an=am+n（m、n都是正整数）底数不变指数相加幂的乘方(am)n=am·n（m

12、、n都是正整数）底数不变指数相乘（2）、法则逆用与推广、幂的乘方法则可以逆用：amn=(am)n=(an)m,例如： 310=32×5=（35）2=（32）5、幂的乘方法则可以推广到多个指数的情形(am)np=amnp(m、n、p都是正整数)（3）运用幂的乘方法则时注意的事项：不能混淆幂的乘方与同底数幂的乘法，在底数相同的条件下，乘法指数相加，乘方指数相乘在计算（-x）n时，一定要注意n的奇偶性利用同底数幂的乘法和幂的乘方可对式子作适当变形 名师开小灶金考点考点1 幂的乘方法则应用幂的乘方法则进行计算时，要注意区分与其他法则的异同，二要认真分析算式的具体情况，灵活、正确的运用法则例1

13、化简（-a2）3的结果为 （ ）A-a5 Ba5 C-a6 Da6点拨关键是分清底数和指数是什么，然后再用法则 解答选c方法规律先分清式子中符号是否属于底数，再正确应用乘方的意义来确定符号考点2 幂的乘方与同底数幂的乘法的混合运算在综合运用两个法则计算时，一要注意区分两个法则应用的条件，不能混淆，幂的乘方是变乘方为乘法，同底数幂的乘法是变乘法为加法，二要注意运算顺序，先用幂的乘方性质，再利用同底数幂的性质例2（m2）3·m4等于 （ ）Am9 Bm10 Cm12 Dm14 点拨先用幂的乘方法则计算，再利用同底数幂的乘法计算解答选B温馨提示本题是一个幂的乘方与同底数幂的乘法的混合运算，

14、依次运用两个法则，要注意在指数概念不清可能发生的错误考点3 幂的乘方法则的逆用幂的乘方法则的逆用是一个难点，不知逆用法则，有些问题就束手无策例3已知am=2,an=3,求a2m+3n的值点拨利用am+n=am·an和amn=(am)n的性质，将a2m+3n转化为(am)2·(an)3的形式。解答a2m+3n=a2m·a3n=(am)2·(an)3=22×33=108方法规律逆用性质转化，整体代入求值金钥匙能力拓展例1若2m+1=x,4m+3=y,你能用含x的代数式表示y吗？点拨把底数4化成22，逆用幂的乘方法则，用代入法消去m解答：x=2m+1

15、, 2m=x-1 又y=4m+3=(22)m+3=(2m)2+3 y=(x-1)2+3方法规律利用(am)n=(an)m的性质，将(22)m转化成(2m)2的形式是解题关键综合运用例2计算：（1）（2a+b）42 （2）(m2n-1)2·(mn+1)3 （3）3(a2)4·(a3)3-(-a)·(a4)4+(-a)3·(-a4)2·(a2)3点拨(1)可以把2a+b当作一个整体，然后利用幂的乘方运算法则进行； (2) (3)题是混合运算，应该先乘方，再乘除，最后加减解答(1)(2a+b)42=(2a+b)4×2=(2a+b)8 (2)

16、(m2n-1)2·(mn+1)3=m2(2n-1)·m3(n+1) =m4n-2·m3n+3=m4n-2+3n+3=m7n+1(3)3(a2)4·(a3)3-(-a)·(a4)4+(-a)3·(-a4)2·(a2)3 =3·a2×4·a3×3+a·a4×4-a3·a4×2·a2×3=3a8+9+a1+16-a3+8+6=3a17+a17-a17=3a17方法规律在幂的乘方运算中，当指数是多项式时，指数相乘时应先添括号，再去括号

17、进行计算.拓广探索例3计算：（-x2）39点拨先由乘方的意义确定符号，再应用幂的乘方法则计算解法一：(-x2)39=-x69=-x54解法二：(-x2)39=(-x2)27=-x54解法三：(-x2)39=-x2×3×9=-x54方法规律应用幂的乘法法则时，可由内到外，或由外到内，也可用幂的乘方法则的推广，即(am)np=amnp（m、n、p都是正整数）15.1.3 积的乘方知能新视窗知识结构 积的乘方法则推广 积的乘方的意义 积的乘方的法则 积的乘方法则逆用学点博览学点1 积的乘方意义积的乘方是指底数是积的形式的乘方，如（ab）m,(ab)3等学点2 积的乘方法则(ab)

18、n=anbn(n为正整数)，即积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘理解要点：（1）积的乘方法则的表达式中，左边是幂的形式，而幂的底数是2个因式的积右边是积，而积的因式是2个幂（2）三个或三个以上因式的积的乘方，也适用这一性质如(abc)n=anbncn(n为正整数)（3）积的乘方法则也可以逆用，即an·bn=(ab)n,anbncn=(abc)n(n为正整数)（4）应用积的乘方的法则注意事项：积中的每个因式都应乘方，不能遗漏；注意系数及系数的符号，对于系数为-1的不可忽视；注意法则在逆用时的条件，必须是an·bn=(ab)n(n为正整数)即指数应相同 名师

19、开小灶金考点考点1 积的乘方法则积的乘方法则是幂的第三个运算法则，要得到领会该法则的意义，正确掌握法则的特征，进行正确的运算，避免与前二个法则发生混淆例1：计算(x)3 (2)(-4a)2 (3)(-xy3)4 (4)2x·(y3)25点拨（1）题直接应用积的乘方法则计算，（2）、（3）题注意系数及系数符号，对于系数是-1的不可忽略；（4）题应用积的乘方法则推广，同时要注意运算顺序，是由括号内（或外）向外（或内）逐个运算，要视具体题目而定解答(1)(x)3=()3x3=x3 ； （2）(-4a)2=(-4)2·a2=16a2 (3)(-xy3)4=(-1)4x4(y3)4=

20、x4y12 ； （4）2x(y3)25=2xy65=25x5y30温馨提示应用积的乘方，要注意观察底数有几个因式，在进行各因式乘方时，不能漏项，特别不能出现符号错误考点2 混合运算幂的三个法则综合在一个题目中考查，是本节综合题的常见形式，也是考查同学们的计算能力、综合能力的一个重要途径例22(a2)3·a3-(3a3)3+a4·a5+(-2a2)4·a点拨：正确运用幂的有关法则进行计算，注意结果合并同类项解答2(a2)3·a3-(3a3)3+a4·a5+(-2a2)4·a =2a6·a3-27a9+a9+16a8·

21、a =2a9-27a9+a9+16a9=-8a9方法规律先幂的乘方，后幂的乘法考点3先幂的乘方，后幂的乘法法则的逆用，是培养学生逆向思维的一个有效途径，在平时计算时，要多加注意，细心体会例3计算：(1)(-2)2007×(-)2008 (2)(0.04)2008×(-5)20082点拨直接计算十分繁琐，可考虑逆用幂的运算法则解答 (1)(-2)2007×(-)2008=(-2)2007×(-)2007×(-) =(-2)2007×(-)2007×(-) =-2×(-)2007×(-) =12007

22、5;(-)=-（2）(0.04)2008×(-5)20082=(0.04)2008×(-5)22008 =(0.04×25)2008 =12008 =1方法规律（1）题通过逆用积的乘方法则：anbn=(ab)n(n为正整数)，从而简化了计算过程；（2）题不仅逆用了积的乘方法则：anbn=(ab)n,(n为正整数)，还灵活运用了幂的乘方法则：(am)n=(an)m=amn(m,n都是正整数)金钥匙能力拓展例1若n为正整数，且x2n=7,求(2x2n)3-7(x2)2n的值点拨本题可以根据积的乘方，幂的乘方运算法则，把原式变形为关于x2n的代数式形式，然后代入求值解答

23、（2x2n）3-7(x2)2n=23(x2n)3-7(x2n)2 =8×73-7×72 =8×73-73 =74 =2401方法规律灵活运用幂的运算法则进行变形，整体代入求值自主探究例2 如果5ab=10b,2ab=10a，那么a+b和ab是否相等？点拨由题目结论中的a+b，联想到把等式相乘解答 5ab=10b,2ab=10a5ab×2ab=10b×10a(5×2)ab=10a+b10ab=10a+bab=a+b方法规律本题关键是灵活逆用积的乘方法则，构造出分别含ab、a+b为指数的等式，注意体会综合运用aaaaaa例3 有若干张边长

24、为a的正方形硬纸片，你能拼出一个新的正方形吗？请你用不同的方法表示新正方形的面积，从不同的表示方法中，你发现什么？点拨用22张可拼成一个边长为2a的正方形，面积为（2a）2=22a2，用23张可拼成一个边长为3a的正方形，面积为（3a）2=32a2。由此不难从不同的表示方法中，发现规律。解答 2k张可拼成一个边长为ka的正方形正方形的面积为（ka）2=k2a2方法规律解此类型题应从特殊入手，找出一般的规律，然后再利用一般规律解答15.1.4 整式的乘法知能新视窗知识结构单项式与单项相乘单项式与多项式相乘多项式与多项式相乘整式的乘法 学点博览学点1 单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，把它们的

25、系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式理解要点：（1）积的系数等于系数的积，只有有理数的乘法运算，应先确定符号，再计算绝对值（2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法（3）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式丢掉（4）单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用（5）单项式乘以单项式的结果仍是单项式学点2 单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，用公式表示为m(a+b+c)=ma+mb+mc理解要点：（1）单项式与多项式相乘，积仍是一个多项式，积的项数与因式中不含同类项

26、多项式的项数相同（2）计算时要注意符号的问题，多项式中的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号（3）混合运算要注意运算顺序，最后有同类项要合并（4）单项式乘以多项式的根据是乘法分配律学点3 多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，用公式表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn理解要点：（1）运用多项式乘法法则，必须做到不重不漏，因此相乘时，要按一定的顺序进行（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式，在没有合并同类之前，积的项数应该等于这两个多项式的项数的积，如（a+b）（x+y+z）积的项数为2×3=6项，这也是检查“漏项”

27、的一般方法（3）多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项符号，“同号相乘得正，异号相乘得负” （4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项要合并同类（5）特殊二项式相乘：（x+a）（x+b）=x2+bx+ax+ab（多项式乘法法则） =x2+（a+b）x+ab（合并同类项）因此得到一个公式：（x+a）（x+b）= x2+（a+b）x+ab公式的特点：相乘的两个因式都只含有一个相同的字母，都是一次二项式，并且一次项系数都为1积是二次三项式，二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，积的常数项等于两个因式中常数项的积 名师开小灶金考点考点1 单项式与单项

28、式相乘单项式乘法综合用到了有理数的乘法、幂的运算性质，而后面的多项式乘以单项式，多项式乘以多项式，都要转化为单项式乘法。因此，单项式乘法将起到承前启后的作用，在整式乘法中占有独特地位例1：计算：（1）（3x3y）2·（-4x） （2）（-3y3）·（-5x3y2）（3）（-2ab）3·（-6a3）2 （4）（-ab2c）2·（-abc2）3·（36a3b） 点拨本题是积的乘方、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂的乘法的混合运算，应按一定的顺序进行解答 （1）（3x3y）2·（-4x）=9x6y2·(-4x)=9×(-4

29、) ·(x6·x)y2 =-36x7y2 （2）（-3y3）·（-5x3y2）=（-3）×（-5）·（y3·y2）x3 =15y5x3（3）（-2ab）3·（-6a3）2=（-8a3b3）·(36a6) =(-8)×36·(a3·a6)b3 =-288a9b3（4）（-ab2c）2·（-abc2）3·（36a3b） =（a2b4c2）·(-a3b3c6)·(36a3b) =×(-)×36·(a2·a3

30、83;a3)·(b4·b3·b)·(c2·c6) =-a8b8c8温馨提示在进行单项式乘以单项式的运算时，要注意：（1）应先算乘方，再算乘法；（2）系数相乘时应防止积的符号出错；（3）不要忘了只在一个单项式里含有的因式考点2 单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，根据分配律，用单项式分别乘多项式的各项，从而归结为单项式乘法例2计算：（1）（-ab）·（ab2-12ab+b+1） （2）2x2(xy+y2)+(3x2y-2xy2)(-2x)点拨（1）题直接根据单项式乘以多项式的法则来计算，但要注意各项的符号。（2）题先按单项式乘以多项式的

31、法则运算，再合并同类项。解答 （1）（-ab）·（ab2-2ab+b+1） =（-ab）·（ab2）+（-ab）·（-2ab）+（-ab）·（b）+（-ab）×1=-a2b3+a2b2-ab2-ab（2） 2x2(xy+y2)+(3x2y-2xy2)(-2x)=2x2·xy+2x2·y2+3x2y·(-2x)+( -2xy2) · (-2x)=x3y+2x2y2-6x3y+4x2y2=-5x3y+6x2y2方法规律1、在确定积中的各项符号时，既要看多项式中每一项的符号，又要看单项式的符号，“同号得正，异号

32、得负” 2、不要漏乘任何一项，特别是常数项为±时，更不能漏乘考点3 多项式乘以多项式多项式乘以多项式，其实还是转化为单项式乘以单项式，这是体现了“转化”的数学思想例3计算：(1)（3x-2y）(4x+y); (2)(2a+b)(4a2-2ab+b2)(3)(3x4-3x2+1)(x4+x2-2) (4)(x-a)(x+a)(x2+a2)点拨按多项式相乘的法则进行，结果要合并同类项。三个多项式相乘，可先将其中两个相乘，把所得之积再与剩下一个多项式相乘解答 (1)（3x-2y）(4x+y) (2)(2a+b)(4a2-2ab+b2) =12x2+3xy-8xy-2y2 =8a3-4a2b

33、+2ab2+4a2b-2ab2+b3 =12x2-5xy-2y2 =8a3+b3 (3)(3x4-3x2+1)(x4+x2-2) =3x8+3x6-6x4-3x6-3x4+6x2+x4+x2-2 =3x8-8x4+7x2-2(4)(x-a)(x+a)(x2+a2) =(x2+ax-ax-a2)·(x2+a2) =(x2-a2)·(x2+a2) =x4+a2x2-a2x2-a4 =x4-a4温馨提示1、用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项时，要防止出现符号判断错误和漏乘现象。2、乘完后，有同类项的要合并同类项，使结果最简。金钥匙能力提高例1计算（a1+a2+an-1）（a

34、2+a3+an-1+an）-（a2+a3+an-1）·（a1+a2+an）点拨若用多项式乘以多项式的法则直接展开相当复杂，也是不现实的，但运用整体思想，结合题目的特点，设a2+a3+an-1=x则问题变得十分容易。解答设a2+a3+an-1=x则（a1+a2+an-1）（a2+a3+an-1+an）-（a2+a3+an-1）·（a1+a2+an）=（a1+x）（x+an）-x（a1+x+an）=x2+a1x+anx+a1an-a1x-x2-anx=a1an方法规律利用整体换元法求解，简化运算过程，收到事半功倍之效综合运用例2 甲、乙两人同时计算一道整式乘法题：（2x+a）&

35、#183;（3x+b） 甲由于抄错了第一个多项式中a的符号，即把+a抄成-a，得到的结果为6x2+11x-10乙由于抄漏了第二个多项式中x的系数，即把3x抄成x，得到的结果为2x2-9x+10。（1）你知道式子中a、b的值各是多少吗？（2）请你计算出这道整式乘法题的正确结果点拨甲抄错了a的符号，即甲的计算式为(2x-a)(3x+b)=6x2-(3a-2b)x-ab对比得到的结果可得-（3a-2b）=11 乙抄漏了第二个多项式x的系数，即乙的计算式为（2x+a）（x+b）=2x2+(a+2b)x+ab，对比得到的结果可得a+2b=-9 由、两式即可得出a、b的值解答 甲抄错了a的符号，（2x-a

36、）(3x+b)=6x2-(3a-2b)x-ab=6x2+11x-10,-(3a-2b)=11 又乙抄漏了第二个多项式x的系数，（2x+a）(x+b)=2x2+(a+2b)x+ab=2x2-9x+10,a+2b=-9 由、联立成方程组为 ，解得（2x-5）（3x-2）=6x2-19x+10方法规律解答此类错解题目，应从错解入手纠正其错，从而得到正确式子解题数形结合例3 小明设计两幅邮票，第一幅的宽是mcm，长比宽多xcm；第二幅的宽是第一幅的长，且第二幅的长比宽多2xcm。（1）求第一幅邮票的面积；（2）第二幅邮票比第一幅邮票的面积大多少？点拨根据题目所给的条件，易知两幅邮票的长，从而可得每一幅

37、邮票的面积及它们的面积差解答 （1）第一幅邮票的宽是mcm，则长是(m+x)cm面积为m(m+x)=(m2+mx)cm2（2）由题意知：第二幅的宽是(m+x)cm，则长是(m+x+2x)cm，第二幅邮票的面积为：（m+x）（m+3x）=（m2+4mx+3x2）（cm2）第一幅邮票面积是(m2+mx)（cm2），第二邮邮票比第一幅邮票的面积大（3mx+3x2）cm215.2 乘法公式15.2.1 平方差公式知能新视窗知识结构 平方差公式应用平方差公式 平方差公式逆用学点博览学点1 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差理解要点：（1）平方

38、差公式的结构特点：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方（2）公式中的a和b可以是数，也可以是单项式或多项式（3）平方差公式的一些常见变形式：位置变化（b+a）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2符号变化（-a-b）（a-b）=-（a+b）（a-b）=-（a2-b2）=b2-a2系数变化（ma+nb）（ma-nb）=（ma）2-（nb）2=m2a2-n2b2指数变化（a2+b2）（a2-b2）=（a2）2-（b2）2=a4-b4增项变化（a-b-c）（a-b+c）=（a-b）2-c2（4）平方差公式逆用

39、：a2-b2=(a+b)(a-b)，在进行某些具体运算与化简时，逆用平方差公式，往往能减少运算过程，减轻运算量，达到事半功倍的效果名师开小灶金考点考点1 直接运用平方差公式计算学习平方差公式要准确掌握公式的结构特征和公式中字母的广泛含义，公式中的字母a、b可以表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式例1 计算：(1)（-3a+5b）（-3a-5b） (2)(-m-1)(1-m)点拨 观察式子的特征，准确判断“准”相当于公式中的a、b解答（1）（-3a+5b）（-3a-5b） =（-3a）2-(5b)2 =9a2-25b2 （2）(-m-1)(1-m)=(

40、-m-1)（-m+1) =(-m)2-12 =m2-1方法规律 运用平方差公式时，关键是在两个二项式中，找出一项相同，一项相反，确定公式中a、b考点2 利用平方差公式进行简算通过对原式进行适当变形，运用平方差公式，可简便计算，提高计算速度和准确性例2 计算：（1）1008×992 （2）点拨经过仔细观察，在（1）中题，原式可变形为：（1000+8）（1000-8）在（2）题中，2002×2008+9可变形为（2005-3）（2005+3）+9，则可利用平方差公式解答 （1）1008×992 =（1000+8）（1000-8）=10002-82=1000000-64

41、=999936（2）=1方法规律此类题目，通过观察识别两个数，使它们向公式的形式转化，写成两数和与两数差的积形式，这是运用平方差公式的关键考点3 综合利用平方公式进行计算只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化运算，其余的乘法仍按法则进行例3计算：（1）（a+3）（a2+9）（a-3） （2）（a+5）（a-5）-（a+3）（a-4）点拨仔细观察，不难发现（1）题可先把（a+3）与（a-3）结合相乘后又与（a2+9）相乘，连续两次应用平方差公式（2）题中两个乘法运算，第一个可以利用平方差公式，第二个可根据多项式的乘法法则运算解答（1）（a+3）（a2+9）（a-3） =（a+3）（a-3）（a

42、2+9） =（a2-9）（a2+9） = a4-81 （2）（a+5）（a-5）-（a+3）（a-4） = a2-25-（a2- a-12） = a2-25-a2+a+12 = a-13方法规律观察式子的特点，符合公式要求的乘法，可运用公式简算，其余的乘法仍按法则进行金钥匙能力拓展例1计算：（1）（2y-x-3z）（-x-2y-3z） 点拨仔细观察发现，（1）题有两个特点：两项相同，一项相反，因此对两个因式中的项分别分组，使相同项为一组，相反项为另一组，再利用平方差公式。解答 （2y-x-3z）（-x-2y-3z）=（-x-3z)+2y（-x-3z)-2y=（-x-3z）2-(2y)2 =(-

43、x-3z)(-x-3z)-4y2 =x2+6xz+9z2-4y2综合运用例2计算：（1）a（ab+b）·b（a2-a）（2）（4y+3x-5z）(3x-4y+5z)点拨（1）题将a（ab+b）·b（a2-a）变形为（a2b+ab）（a2b-ab）后，就可以用平方差公式了；（2）题有两个特点：一项相同；两项相反，经过符号调节，将相同项看作公式中的“a”，相反项看作公式中的“b” 解答（1）a（ab+b）·b（a2-a）=（a2b+ab）·（a2b-ab）=a4b2-a2b2（2）（4y+3x-5z）(3x-4y+5z) =3x+(4y-5z)3x-(4y-

44、5z) =9x2-(4y-5z)2 =9x2-(4y-5z)(4y-5z) =9x2-(16y2-40yz+25z2) =9x2-16y2+40yz-25z2观察与发现例3计算：（1）1002-992+982-972+962-952+22-12 点拨直接计算显然太复杂，仔细观察，不难发现可逆用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行计算解答（1）原式=（1002-992）+（982-972）+（962-952）+（22-12） =（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+（2+1）（2-1） =100+99+98+97+2+1 =（100+1）+（99+2）+（51

45、+50） =101×50 =505015.2.2 完全平方公式知能新视窗知识结构 完全平方公式在计算中的应用完全平方公式 完全平方公式在实际生活中的应用 学点博览学点1 完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍理解要点：（1）完全平方公式的结构特点：两个公式的左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中（首末）两项是公式左边二项中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅差一个“符号”不同（2）公式中的a、b可以是数，也可以是单

46、项式或多项式（3）完全平方公式的一些常见变形式：a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab；ab=(a+b)2-(a2+b2);(a+b)2-(a-b)2=4ab;(a+b)2=(a-b)2+4ab;(a-b)2=(a+b)2-4ab;ab=()2-()2;a2+b2+c2+ab+ac+bc=(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2学点2 添括号法则如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号理解要点：（1）添括号问题，首先要明确把哪些项放在括号内，以及括号前添“十”号，还是添“-”号，其次应弄清括进括号里面的项是都变号，还是都不变

47、号。（2）添括号时要注意的问题添括号与去括号法则一样，要变都要变，要不变都不变。添括号与去括号正好相反，添括号是否正确，可用去括号检验，反之亦然. 名师开小灶金考点考点1 直接运用完全平方公式计算完全平方公式是整式乘法中的一个基本公式，除了理解、掌握并运用它们进行计算外，还要有与平方差公式一起综合运用的能力。例1计算：（1）（3a+2b）2 （2）（-x+2y）2 （3）（-2m-n）2点拨（1）题应选用“和”的完全平方公式，其中3a、2b分别是公式中的a、b；（2）（-x+2y）2=（2y-x）2=(x-2y)2，应选用“差”的完全平方公式计算；（3）题（-2m-n）2=-（2m+n）2=（

48、2m+n）2，应选用“和”的完全平方公式计算。解答 （1）（3a+2b）2=（3a）2+2·3a·2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2(2)(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2·2y·x+x2=4y2-4xy+x2（3）（-2m-n）2=-（2m+n）2=（2m+n）2=4m2+4mn+n2方法规律当二项式中两项的符号相同时，一般选用“和”的完全平方公式；当二项式中两项的符号相反时，一般选用“差”的完全平方公式。考点2 用完全平方公式进行简算利用完全平方公式，可以使一些计算简便，对于一些形式上不符合公式的可进行适当的变形，使之符合公式的

49、应用。例2计算：（1）999.92 （2）（100）2点拨这两道题直接计算，耗时费力，且易错，因此可对原式分别变形为（1000-0.1）2、（100+）2，则可以简化计算量。解答（1）999.92=（1000-0.1）2 =（103）2-2×103×0.10.12 =1000000-200+0.01 =999800.01 （2）（100）2=（100+）2 =1002+2×100×+（）2 =10000+40+ =10040方法规律当求一个数的平方较困难时，可把这个数化为一个较整的数与另一个数的和（或差），然后运用完全平方公式计算考点3 乘法公式综合运用

50、综合运用完全平方公式与平方差公式时，要严格分清公式的各自结构特点，以防混淆例3运用乘法公式计算：（1）（2a+b-c）2 (2)(2x+3y)2-(4x-9y)(9y+4x)+(2x-3y)2 (3)(x+3)2-x2点拨(1)题将2a+b-c中任意两项结合添加括号变为两项和，便可应用完全平方公式（2）题用完全平方公式和平方差公式计算，但要注意运算顺序，减号后面的积算出来一定先放在括号里，再用去括号法则进行计算，避免符号上出现错误（3）题既可用完全平方公式计算，也可逆用平方差公式计算解答（1）（2a+b-c）2=(2a+b)-c2=(2a+b)2-2(2a+b)·c+c2 =4a2+

51、4ab+b2-4ac-2bc+c2 =4a2+b2+c2+4ab-4ac-2bc(2) (2x+3y)2-(4x-9y)(9y+4x)+(2x-3y)2 =4x2+12xy+9y2-(16x2-81y2)+4x2-12xy+9y2 =4x2+12xy+9y2-16x2+81y2+4x2-12xy+9y2 =-8x2+99y2(3)方法一：(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2=6x+9 方法二：(x+3)2=(x+3+x2)(x+3-x) =(2x+3)×3 =6x+9方法规律根据题目结构特点，选择适当的公式是简算的关键考点4 添括号法则对于多项式的乘法，有时需要适当变形，然后才可以运用公式例4 运用乘法公式计算：（a-2b-3