计数方法三——几何图形计数WPS文字 文档

1、第二讲：计数方法（三）几何图形计数例1 你能数出下面共有几条线段么？解：_ _答案：15-专家点评：线段总数为n+(n-1)+2+1= （n表示段数）BACDEO例2 数一数，下面共有多少个角？解：_ _答案：10专家点评：与数线段类似。ABCDEFGHQPMN图中共有-个长方形例3 下图中共有多少个长方形？解：_答案：18专家点评：类似于这样的长方形，若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形mn个。例4 如图，图中平行四边形的个数为多少？ 解：_ _ _答案：72可以将图形分割成几部分，使每一部分都像例4那样的图形，但分割的块数越少越好。假设分为如下图所示的两块，那么每块

2、中的平行四边形的个数都是 思考：如最右侧的图形中也有30个平行四边形， 那么原图中平行四边形的个数是否是3×30=90？ 不是90，还应减去如下图所示的两个“田字格”中的各9个平行四边形，因为这18个平行四边形已经包含在前60个之中所以，原图形中平行四边形的个数是9018=72 专家点评：分部分计算，且注意在使用分类计数法时，一定要注意是否有遗漏或重复计数的。例5 如左、中、右三图，各包含多少个正方形？解：_ _ _答案：8、20、50为便于叙述，我们设一个小正方形的边长为1，那么左图中边长为1的正方形的个数是 3×2=6 边长为2的正方形的个数是 2×1=2 所

3、以左图中共有正方形 3×2+2×1=8（个）同理，数出中图和右图。专家点评：如果一横行有m个小正方形，一竖行有n个（假设mn）小正方形，那么图中正方形的个数是mn+(m1)(n1)+(mn+1)(nn+1) 例6 下图中一共有（ ）条线段.解：_ _ _答案： 30 图形中每边有3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有65=30条线段.专家点评：按照数线段的方法数。ADCB例7 下图中有_个三角形. 解：_ _ _ 答案： 15此题中的三角形可先分成含顶点C的和不含顶点C的两大类.含顶点C的又可分成另外两顶点在线段AB上的和在线段BD上的两小类.专家点评：这样的问题应该

4、通过分类计数求解.例8 下图中共有_个梯形. 解：_ _ _答案：18梯形一共有三行,每行都有3+2+1=6(个),所以一共有63=18(个)梯形.专家点评：按照分类计数求解。例9 在下图中,所有正方形的个数是_ 解：_ _ _答案：30整个图形中共有12+22+32+42=30个正方形.专家点评：按照正方形边长大小分别计数。例10 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上面有44个钉(如右图).以每个钉为顶点,你能用皮筋套出正方形和长方形共_个.hhhhhhhhhhhhhhhh 解：_ _ _答案： 44先考虑有一组对边平行于BC的长方形有多少个.这一类按其水平边的位置可分为6小类,即位置在B

5、F、FE、EC、FC、BE、BC.同样,其竖直边也分为6类.所以这一类有66=36个长方形.DACBB另一类是没有边平行于BC的.这一类又分类两小类,分解图如下页图所示,其中分别有6个和2个长方形.hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh所以，一共可套出正方形和长方形36+6+2=44个.专家点评：因为正方形是特殊的长方形,所以可以把正方形看成长方形,这样就不必分别求正方形和长方形的个数,仍用分类计数的方法求解.体验训练1. 数一数下图中有多少个三角形？解：_ _ _答案：15个2. 下图共有( )个长方形. 解：_ _ _答案：25个3. 下图一共有( )个梯形.解：

6、_ _ _答案：45个4.图中一共有多少个长方形?(含正方形).解：_ _ _答案： 1980个图中线段10×11÷2=55(条),边上共有线段8×9÷2=36(条),因此,图中共有长方形55×36=1980(个).内化训练1. 下图共有( )个平行四边形.解：_ _ _答案： 315个(个)2. 下图有( )个长方形.解：_ _ _答案：58个3. 数一数下图中有（ ）个长方形。DBBCA解：_ _ _答案：108(1)因为长方形是由长和宽组成的,因此可分别考虑所有长方形的长和宽的可能种数.按照前面所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段

7、条数,将它们相乘就是所有长方形的个数.因为AB边上有8+7+6+2+1=36条线段，AD边上有2+1=3条线段，所以图中一共有363=108个长方形.4. 数一数下图一共有( )个三角形. 解：_ _ _答案：36 三角形一共有6行,每行都有3+2+1=6(个),所以一共有66=36(个)三角形.内化训练1.数一数下图一共有( )个三角形.（三）数三角形解：_ _ _答案：30个DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形。2. 数一数图中长方形的个数 解：_ _ _答案： 90个 AB边上分成

8、的线段有：5+4+3+2+1=15. BC边上分成的线段有： 3+2+1=6.共有长方形：（5+4+3+2+1）×（3+2+1）= 15×6 = 90（个）3.数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形） 解：_ _ _ 答案：70个边长为1正方形个数共有： 6×5=30（个）.边长为2正方形个数共有： 5×4=20（个）边长为3正方形个数共有： 4×3=12（个）边长为4正方形个数共有： 3×2=6（个）边长为5正方形个数共有： 2×1=2（个） 正方形总数为： 6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70（个）4. 下图共有几个正方形? 解：_ _ _答案：10个5. 数一数图中三角形的个数 解：_ _ _ 答案： 246.一条直线上共有50个点,可以数出( )条线段.答案：50492=1225(条)7.数一数下图共有( )条线段.解：_ _ _ 答案：368.数一数下图共有( )条线段.解：_ _ _ 答案：27个9.下