计算方法与实习第五期末复习资料

1、计算机在材料科学中的应用习题课第一章 误差等概念1. 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差2. 绝对误差（限）：e=x*-x，|e|x*-x|3. 相对误差（限）：er(x*-x)/x，|er|x*-x|/|x|r4. 有效数字：|e|5. 防止误差的危害：避免两相近数相减，多数作乘数或小数作除数，大数“吃”小数第二章 方程求根1. 根的存在及隔离2. 二分法：误差是 3. 迭代法：4. 加速法： 5. 牛顿迭代法：第三章 方程组求解1. 消去法：高斯消去法，列主元消去法，高斯-约当法，消元因子 消元公式 回代公式 2. 矩阵直接分解：紧凑格式3. 追赶法4. 迭代法：收敛条件 雅

2、可比法迭代格式：高斯-赛德尔法迭代格式： 第四章 插值法1. 插值多项式 2. 拉格朗日插值： 插值基函数 3. 差商： 4. 牛顿插值公式 f(x)=f(x0)+fx0,x1(x-x0)+fx0,x1,x2(x-x0)(x-x1)+ +fx0,x1,xn(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)5. 差分（等间距节点）6. 牛顿前插公式7. 样条插值：三次样条插值，要求光滑、连续第五章 曲线拟合最小二乘原理列表计算累加和如下j12n从正规方程组中解得拟合多项式的各个系数值ai (i=0,1,m)。第六章 数值积分、微分1. 积分的有限过程 a) 插值型求积公式用插值多项式代替被积函数， 从而在

3、有两个求积节点时得到梯形公式 有三个等距求积节点时得到Simpson公式 2. 柯特斯公式（等距节点情况）：柯特斯系数 柯特斯求积公式（有五个等距求积节点时） 3. 复化求积复化梯形公式 复化Simpson公式复化柯特斯公式4. 步长自适应5. 龙贝格求积公式6. 数值微分二点公式 三点公式 第七章 常微分方程的数值解法1. 边值问题和初值问题边值问题 初值问题 求解满足上述两式的近似值yi ，即在ax0x1xnb上的y(xi)的近 似值yi (i=0,1,2,n)。通常取等距节点，即h=xi+1-xi，有xi=x0+ih(i=0,1,2,n)。初值问题的数值解法特点：按节点顺序依次推进，由已

4、知的y0 , y1 , , yi ，求出yi+1，这可以通过递推公式得到。2. 单步法欧拉折线法 改进欧拉法 四阶龙格-库塔法 3. 多步法：阿当姆斯内插、外推预测校正公式4. 一阶微分方程组求解5. 高阶微分方程求解例1.求解超越方程 在区间0，1内的根，要求有二位有效数字。解：设f(x)= ,该函数是连续的，且f(0)=1，f(1)=e-1-10,因f(0)f(1) 0，f(x)=-e-x-/2cos（x/2）-（e-x+/2cos（x/2）0 0，1,单调递减，所以方程在0，1内只有1个根。用二分法求解，先求二分次数要求满足 1/2k+1 (1-0) 10-2/2则解得k后整k=6，用二

5、分法求解过程如下：kakbkxkf(xk)0010.5-0.100576100.50.250.39611720.250.50.3750.13171930.3750.50.43750.01125540.43750.50.46875-0.04577550.43750.468750.4453125-0.00320860.43750.44531250.44140625最后求得根为0.44。例2.用牛顿迭代法求出f(x)= x41+x3+10在x0-1附近的实根，要求迭代至| xk+1 -xk|0判断，f(x0)f(-1)（-1）41+（-1）3+1-10f(x)=41x40+3x2,f(x)=41*4

6、0x39+3*2x,f (x0) =41*40*（-1）39+3*2*（-1）0，迭代是收敛的。牛顿迭代格式为，取x0-1,计算如下kxk0-11-0.97732-0.96053-0.95344-0.95255-0.9525方程在x0-1附近的实根为-0.9525。例3.用高斯消去法解下列线性方程组： 2X1 +2X2+ 3X3 =3 4X1 +7X2 + 7X3 =1 -2X1 +4X2 + 5X3 =-7解：l21=2/4r2- l21r1将线性方程组写成增广矩阵的形式：r1 r22233477 1-2 4 5 -74 7 7 10-3/2 -1/2 5/20 15/2 17/2 -13/

7、2477 12233-2 4 5 -7 r2 r3X3 1得方程组的解X2 -2X1 2 47 7 10 15/2 17/2 -13/20 0 6/5 6/547 7 10 15/2 17/2 -13/20 -3/2 -1/2 5/2l32=-1/5r3- l32r2l31=-2/4r3- l31r1例4.用高斯-赛得尔迭代解方程组解：考察收敛性，收敛条件，10|-1|+|-2|=310|-1|+|-2|=35|-1|+|-1|=2因此满足收敛条件，有相应迭代格式取方程组初值为，计算如下： k 0 0 0 0 1 0.7200 0.9020 1.1644 2 1.04311.16721.282

8、1 3 1.09311.19571.2928 41.09911.19951.2997 51.09991.19991.2997 61.10001.20001.3000 所以方程组的解为X1 1.1，X2 1.2，X3 =1.3例5.对f(x)=e-x给出四点函数值x0.10.150.250.30e-x0.9048370.8607080.7788010.740818用插值法求e-x在x=0.20处的近似值。解：构造拉格朗日插值多项式通过四个节点（n3），在x=0.20处对应的插值基函数为所以 0.81873例6.已知实验数据如下Xj-3-2-10123Yj-0.71-0.010.510.820.8

9、80.810.49试拟合成的形式。解：要拟合的多项式次数m2，n7，有正规方程组列表计算累加和如下j1-39-2781-0.712.13-6.302-24-8160.010.02-0.043-11-110.510.510.51400000.8200511110.880.880.886248160.811.623.2473927810.491.474.4102801962.795.612.61得到正规方程组 解得方程组，a00.806，a10.200，a2-0.102，所以拟合式为例7.用四阶龙格-库塔法计算 取h0.2。解：有四阶龙格库塔法公式 计算如下xiyik1 k2k3k4 011.0000.918180.908640.843240.21.183230.845170.794470.787500.744040.41.341670.745400.710100.704810.673260.61.483290.674280.6479