解不等式习题精选精讲

1、解简单的不等式1解不等式：(x2x+1)(x+1)(x4)(6x)>0解：对于任何实数x，x2x+1>0恒成立，所以原不等式等价于：(x+1)(x4)(6x)>0 (x+1)(x4)(x6)<0所以原不等式的解为：x<1或4<x<62 解不等式：0解：原不等式即0 它相当于 (2x+1)(x-3)(4x+3)(x-4)0x 或3x43 解不等式：|x5|2x+3|<1解法一：当x时，5x+2x+3<1 x<7 当<x<5时， 5x2x3<1 此时不等式的解为： 当x5时，x52x3<1, x>9, x5

2、由可知原不等式的解集为： 即x<7或x>。解法二：原不等式化为:|x5|<|2x+3|+1两边平方得：x210x+25<4x2+12x+10+2|2x+3|即：2|2x+3|>3x222x+154x+6>3x222x+15 3x+26x9>0 x<9或x>或4x+6<3x2+22x15 x2+6x7>0 x<7或x>1原不等式的解集为： 即：x<7或x>4 已知不等式与不等式同解，解不等式。解：， 的解为 中 解 由题意 代入所求： 5 (1998年全国高考)设ab，解关于x的不等式 a2x+b2(1-x

3、)ax+b(1-x)2.解析 将原不等式化为 (a2-b2)x-b2(a-b)2x2+2(a-b)bx+b2， 移项，整理后得 (a-b)2(x2-x)0， ab 即(a-b)2>0， x2-x0， 即 x(x-1)0. 解此不等式，得解集 x|0x1.6 (1995年全国高考) 的解集是_.解析 这是一个指数不等式，基本解法是化为同底的指数形式，然后利用指数函数的单调性转化为整式不等式. 原不等式即，也就是x2-2x-8<0，解得-2<x<4.故原不等式的解集为x| -2<x<4.7 (北京2003年春招)解不等式：解析 这是一个对数不等式，基本解法是化为

4、同底的对数形式，然后利用对数函数的单调性转化为整式不等式.原不等式变形为.所以，原不等式.故原不等式的解集为. 8 解不等式解析 这是个无理不等式，基本解法是去根号化为整式不等式，怎样去根号？一般有三种情况，一是；二是；三是.原不等式等价于() 或（） 解()得 x ()得x 故原不等式的解集为xx.9 已知f(x)=,则不等式x+(x+2)·f(x+2)5的解集是_. 解析 这是个分段函数型不等式，基本解法是转化为若干个不等式组.原不等式等价于或，解得或，故原不等式的解集为，填.解含参不等式例1 解不等式：，aR分析：这是基本的一元二次不等式，左边x2(a+1)x+a可分解为(xa

5、)(x1)，下面关键的就是要比较a 与1的大小关系，因此以a与1的大小为分类的标准，分三种情形讨论就可以了。解：(xa)(x1)>0（1） 当a>1时，解为x<1或x>a（2） 当a=1时，解为xR且x1（3） 当a<1时，解为x<a或x>1 例2. 解： 例3 若a0,解不等式x+2a(+1).解析 怎样对参数a进行分类讨论？必须先对原不等式等价变形：x+2a(+1)<0x(x+2)(xa)0. 于是得到必须将a与-2,0进行比较分类：当a0时，解集为x|x2或0xa 当2a0时，解集为x|x2或ax0 当a=2时，解集为x|x0且x2 当a2

6、时，解集为x|xa或2x0  例4 解关于x的不等式：(m+1)x24x+10 (mR)分析：此题是含参数m的不等式，首先应根据m+1是否取0确定原不等式是一元一次不等式还是一元二次不等式；若m+1不等于零，还要按m+1的值为正或负及关于x的二次三项式的判别式的符号为分类标准对m取一切实数的情形进行分类，求出原不等式的解.解：当m=1时，4x+10 x当m1时，=164(m+1)=4(3m),当m3时，方程(m+1)x24x+1=0才有解下面以m与1和3的大小关系作为分类标准来讨论：当m<1时， m+1<0，且<此时原不等式的解集为：(, ,+)当1<m<

7、;3时，m+1>0且此时原不等式的解集为：,当m=3时，解集为： 当m>3时，解集为空集.例5. 解：原不等式等价于 例6 (2000年全国高考题)设函数，其中.（）解不等式1； (2)略.解析 不等式即，由此得，即，其中常数.所以，原不等式等价于即 所以，当时，所给不等式的解集为；当时，所给不等式的解集为. 解抽象函数型不等式所谓抽象函数型不等式，即不等式与一个抽象函数有关，同时已知抽象函数的定义域、奇偶性或单调性等. 这一类不等式的解法是先根据单调性去掉函数符号，转化为一般不等式来解，但一定要注意定义域.例15 设f(x)是定义域为(-，0)(0，+)的奇函数，且在(0，+)上

8、为增函数. 若f(1)=0，解关于x的不等式 floga(1-x2)+1>0，其中a>1.解析 由于f(x)是奇函数，且在(0，+)上为增函数，所以它在(-，0)上也为增函数.又由于f(1)=f(-1)=0. 于是原不等式等价于或由得x2<0，所以解集为；由解得. 故原不等式的解集为x|或.例16 已知偶函数f(x)在上是增函数，求解不等式f(2x+5)<f(x2+2).解析 由题意知f(x)在上单调递增，在上单调递减. 由偶函数定义知不等式f(2x+5)<f(x2+2)即f(|2x+5|)<f(|x2+2|)，也就是|2x+5|<|x2+2|，等价于

9、或解(1)得或x>3；解(2)得. 故原不等式的解集为.例17 已知函数f(x)是定义在上的函数，且f(1)=1，f(-x)=-f(x)，若a、b，a+b0，有. 试解不等式.解析 先要由已知条件判断函数f(x)的单调性，因为当x时，f(1)=1，f(-x)=-f(x)，所以f(x)在上是奇函数，且令中b为-b，得，从而知函数f(x)在上为增函数，于是，故原不等式的解集为.含参不等式的解法举例当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响

10、。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。一， 含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x不等式分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当m+11时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：当m<-1时，=4（3-m）>0，图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。当-1<m<3时，=4（3

11、-m）>0, 图象开口向上，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。当m=3时，=4（3-m）=0，图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式的解为方程的根。当m>3时，=4（3-m）<0,图象开口向上全部在x轴的上方，不等式的解集为。解： 当m=3时，原不等式的解集为；当m>3时, 原不等式的解集为。小结：解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。利用函数图象必须明确：图象开口方向，判别式确定解的存在范围，两根大小。二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。牛刀小试：解关于x的不等式思路点拨：先将左边分解因式

12、，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。二， 含参数的分式不等式的解法：例2：解关于x的不等式分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax-1中的a进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。解：原不等式等价于当=0时，原不等式等价于解得，此时原不等式得解集为x|；当>0时, 原不等式等价于,则：当原不等式的解集为；当0<原不等式的解集为；当原不等式的解集为；当<0时, 原不等式等价于，则当时, 原不等式的解集为；当时, 原不等式的解集为；当时, 原不等式的解集为；小结：本题在分类讨论中容易忽略=0的情况以及对，-1和2的大小进行比较再结合系轴

13、标根法写出各种情况下的解集。解含参数不等式时，一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0，再转化为乘积不等式来解决。牛刀小试：解关于x的不等式思路点拨：将此不等式转化为整式不等式后需对参数分两级讨论：先按>1和<1分为两类，再在<1的情况下，又要按两根与2的大小关系分为三种情况。有很多同学找不到分类的依据，缺乏分类讨论的意识，通过练习可能会有所启示。具体解答请同学们自己完成。三， 含参数的绝对值不等式的解法：例3：解关于x的不等式分析：解绝

14、对值不等式的思路是去掉绝对值符号，本题要用到同解变形，首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式，然后就、两个参数间的大小关系分类讨论求解。解：当时，此时原不等式的解集为；当时，由，此时原不等式的解集为；当时， 此时此时原不等式的解集为；综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为。小结：去掉绝对值符号的方法有定义法：平方法：利用同解变形：;牛刀小试：（2004年辽宁省高考题）解关于x的不等式思路点拨：将原不等式化为然后对进行分类讨论求解。要注意空集;抓住绝对值的意义，在解题过程中谨防发生非等价变形造成的错误。具体解答请同学们自己完成。求参数的值或范围已知含参不等式的解集，求参数的值或范围也是高考中不等式问题中的一种常见题型. 基本解法是先将参数看成常数，按常规方法来解不等式，然后再根