经济数学2011秋讲义实用精品资料(00001)

1、第一部分 基础知识： 第一章函数一 函数： 定义、符号y=f（x）及其含义、表示法（公式、图象）、函数值 两个要素（用于判断两个函数是否相同）：对应规则、定义域（自变量的取值范围） 定义域的确定原则：使得函数表达式有意义的自变量的取值范围。 奇偶性及其图形特点 有界性。主要是正弦函数和余弦函数有界二 基本初等函数 常数函数：y=c 幂函数:（为常数）例， 指数函数:， y=ex 对数函数: 自然对数 三角函数:y=sinx、y=cosx、y=cotx，常用关系， y=sinx、y=cosx有界以上函数表达式中，X的位置必须是自变量本身。三 初等函数：基本初等函数经有限次四则运算所得函数（简单函

2、数）和复合运算所得函数（复合函数）统称为初等函数。由y=f(u)、u=u(x)复合而成的函数为y=fu(x)四 经济分析中常见的函数 需求函数：需求量q是价格p的函数。记为q=q(p) 供给函数 成本函数：总成本C是产量q的函数。记为C=C(q) 平均成本=C/q 注：总成本=固定成本可变成本 收入函数：销售收入R是销售量q的函数.注：R=pq 利润函数：利润L是销售量q的函数. 注：L=R-C第二部分 微分学一、导数的计算（一）预备知识1） 基本初等函数2） 简单函数3） 复合函数 如果在基本初等函数表达式中，X的位置不是自变量本身，而是一个函数的，那么就是函数的函数，是复合函数了（二）求导

3、公式微分注：基本初等函数的求导公式要求做到熟练掌握。（三）导数的计算：1）简单函数直接代公式求出导数例1 ： 例2 ：例3 ：例4 ：例5：例6：2）复合函数的求导步骤：先将复合函数分解成若干个简单函数，再用链式法则。 例8： 例9： 例10： 例11： 例 解：例 解：三、 经济函数求最值 解题步骤：（重点）列出要求最值问题的函数表达式，确定其定义域（按实际问题定）求导令导数等于零，求出驻点若驻点仅有一个，则由实际问题可知，该驻点即最值点若需要，就求出最值注1：本章常用经济函数之间的关系：设总成本函数为 ，则平均成本函数为销售收入函数 ，其中为销售量，为价格。利润函数 注2：导数在经济学中称

4、为边际如，分别称为边际成本，边际收入和边际利润例1：总成本为，收入为。问产量多少时，能使利润最大？最大利润是多少？解：例2：生产某种产品单位的生产费用为：。问为多少时，能使平均费用最低？最低的平均费用是多少？解：例3. 生产某产品的成本函数为（单位：元，其中产量的单位：件），求：当产量时的平均成本和边际成本；当产量为多少时平均成本最小？解：平均成本函数为由此得（元件）又因为 所以即当产量时的平均成本是每件10元边际成本为每件4元令，解出（舍去），易知其为最小值点即当产量为件时平均成本最小例4. 设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元。又已知需求函数，其

5、中为价格，为产量，这种产品在市场上是畅销的，问价格为多少时利润最大？并求最大利润.解 C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400pR(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2利润函数L(p) = R(p) -C(p) =2400p-4p 2 -250000， 且令=2400 8p = 0得p =300，该问题确实存在最大值.所以，当价格为p =300元时，利润最大. 最大利润 （元）例5. 生产某产品的边际成本为(万元/百台)，边际收入为（万元/百台），其中x为产量，问：(1) 产量为多少时，利润最大？ (2) 从

6、利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解 （1）令 得 （百台）又是的唯一驻点，根据问题的实际意义可知存在最大值，故是的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大（2）因为 ， 所以 ， 其中 为固定成本 所以，利润 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元例6. 生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为30元，试求：(1) 生产件该种产品的总成本和平均成本； (2) 售出件该种产品的总收入； (3) 若生产的产品都能够售出，则生产件该种产品的利润是多少？解 （1）生产件该种产品的总成本为；平均成本为：（2）售出件该种产品的总

7、收入为：（3）生产件该种产品的利润为：=三、计算极限1）能直接运算的，代入计算出结果例：例：= 0，= -1= 1 ， =1 2） 型无穷小量：趋向于0的变量，即极限为0的量。例：例：3） 型无穷大量：绝对值无限增大的量。记为例：例：4）（1 + 无穷小）无穷大 型 公式：5） 型 公式：例： =6）无穷小*有界的还是无穷小，极限为0常用的有界函数：正弦函数，余弦函数四、其它（常见的，并不完全。选择题或填空题）1） 求函数的定义域：自变量X的取值范围例：函数的定义域是.例：若函数的定义域是0，1，则的定义域是 ( ).A.B.C.D.2） 判断两函数是否相同。相同要求：定义域同、相同的X对应的

8、Y值应相同例：下列各对函数中，（）中的两个函数相等.A.与B.与 C.与D.与3） 分段函数连续问题。连续要求：（左、右）极限 = 函数值例： 若在点处连续，则（ C ）A BCD例：函数，在处连续，则 B A. B. C. 1 D.24） 函数单调性。 单调增加：导数 0单调减少：导数 0例：求函数的单调区间 。 求极值。 解：令得：的符号为：所以函数单调增加的区间为和；单调减少的区间为。函数极大值为 ，极小值为5） 微分 例：例：设是可微函数，则（ D ）A B C D 例：下列等式不成立的是（ A ） A BC D6） 二阶导数 例：7） 需求弹性设需求函数为，为价格，为需求量，则需求弹

9、性例：某种商品的需求量（单位：百件）与价格（单位：千元）的关系为。求当价格为9千元时的需求弹性。解：例：8） 切线斜率、切线方程。（1）切线斜率 = 导数；（2）切线方程用点斜式方程： 其中 分别为切点坐标和切线斜率例： 曲线在点（1，0）处的切线是（ A ）A B C D 例：曲线在处切线的斜率是（ C ）A B C D 9） 函数的奇偶性：例：下列函数中，（）是偶函数：. x3sinx . x3+1 . ax-a-x. x2sinx10） 其它：例：若函数的定义域是0，1，则的定义域是( ) .A.B.C.D.例：若函数，则 = ( ) .A.B.C.D.第三部分 线性代数一、 mn矩阵定

10、义 P50定义（矩形数表、元素、符号）二、 特殊矩阵：1） 方阵2） 零矩阵3） 单位阵I4） 对称矩阵（P65）5） 阶梯形矩阵P866） 行简化阶梯形矩阵（P127）三、矩阵的运算：P55 相等 加、减A+B，A-B（两个同形的矩阵，对应位置元素相加，减） 数乘：kA 一个数乘以一个矩阵（A中每一个元素都要乘以k。） 乘法：AB 两个矩阵相乘 （左矩阵的行与右矩阵的列的元素对应乘积的和。称为行乘列法则）例 注意矩阵乘法不符合交换律。两矩阵相乘的前提条件：必需n=s 转置AT：（A的行、列元素顺序调换）注：乘法不符合交换律。其他运算律与数的运算律相同；当AB=BA时，称A与B可交换；转置的运

11、算律：（AT）T = A（A+B）T = AT+BT（AB）T = BT AT若 AT = A，称A为对称矩阵P55 62 各例P62练习四、逆矩阵定义P70：对于矩阵A，若存在矩阵B，使AB = BA = I ，称A可逆，且称B 为A的逆矩阵。记为.五、线性方程组定义P118；线性方程组的矩阵表示法P118，系数矩阵，常数矩阵，未知数矩阵，增广矩阵 P119例1六、矩阵的初等行变换：P77有三种：对换、倍乘、倍加。应用： 求矩阵A的秩：将A化为阶梯阵，阶梯阵的非零行数称为A的秩。记为 例求A的阶梯形矩阵及解=3上述阶梯形矩阵的主元化为1，主元所在列的其他元素化为0，即得行简化阶梯形矩阵：P8

12、6例3、4P87练习：1（1、2、3）、2 求A的逆矩阵：方法是将（AI）（IB），则A-1=B注：1）若A可化为I（或n阶方阵A的秩等于n，即A 满秩）,则A可逆。 2）另一种方法需要用到行列式，不要求。逆矩阵性质：（A-1）-1 = A（A-1）T =（AT）-1（AB）-1 = B-1A-1例 求的逆矩阵解：练习：求的逆矩阵答案P82例2、3, 解矩阵方程:1) AX = B, 则 X =2) XA = B, 则 X =练习2。6/1（1，2）、3P83练习：1（1、2、3）、2 求线性方程组AX = B的解：先将增广矩阵（AB）化为阶梯阵；判断其解的情况；若有解，进一步将阶梯阵化为行简

13、化阶梯阵；写出解注：方程组解的判定：若r(A)r(AB)，则方程组无解；若r(A)=r(AB)=n (未知数的个数)，则方程组有唯一解；若r(A)=r(AB)n，则方程组有无穷多解例 P132已知线性方程组的增广矩阵分别如下，判断方程组是否有解；有解的话，请求出解。 （1） 方程组无解（2）（）所以， 方程组的解为：，（3）（）所以， 方程组的解为：， ， 例P134例2、3齐次线性方程组AX = O的解的判定：若r(A)=n ，则方程组只有零解；若r(A)n，则方程组有非零解线性代数重点：矩阵的运算 求逆矩阵 解线性方程组练习1）设矩阵，求解 所以，=2）求线性方程组的一般解解：于是方程组的一般解是 （其中是自由未知量）3）设矩阵，计算解：由此得4）求当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的一般解 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组有解当时，方