罗尔定理论文

1、浅谈罗尔定理及拉格朗日定理推广及应用摘 要：微分中值定理是导数应用的理论基础.本文在罗尔定理及拉格朗日定理原有描述的基础上，对其进行了推广，使其定理的适用范围更加广泛；同时，对罗尔定理在讨论方程根的存在性问题中的应用及拉格朗日定理在证明不等式和求极限问题中的应用进行了讨论，证实所得推广定理的有效性及实用性.关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；极限；导数一、罗尔定理推广及应用（一）罗尔定理推广1.罗尔定理描述若函数满足下列条件：在闭区间连续；在开区间可导；则在内至少存在一点，使.2.罗尔定理的推广2.1罗尔定理推广1 设为有限或无限区间，在内可微，且（A可为有限也可为），则至少存在一点，使. 证

2、明：(1)设为有限区间.若A是有限值，令容易验证在上满足罗尔定理的条件，故，使.(2)若A为， 为有限区间或无限区间，由在内的连续性知，当充分大时，直线与曲线至少有两个焦点与，即且.不妨设，对在上应用罗尔定理，使得；(3)若A为有限值，为无限区间.做变量替换，即选择函数，满足如下要求：，（这里是有限区间），存在且不变号.然后对符合函数在应用(1) 的结果.1)当，即.做变换，令，则在上满足(1)式的全部条件.故，使，而， ，于是取，就是；2)若当有限，即，作变换，（其中为正数）令，则在上满足(1)式的全部条件.故，使，而，于是取，就有.3)当，为有限，即，做变换 ，其中为负数，同理可得，取，就

3、有.2.2 罗尔定理推广2 任意个函数的微分中值定理 设在闭区间连续；在开区间可微；，则，使得 (1)证明：根据题设，函数,在闭区间连续；在开区间可微； ,即，所以由罗尔定理知道，使得. 2.3罗尔定理推广3设，在上连续，在内可导，则，使得.证明：设.由行列式性质知，则由于满足罗尔定理，则，使得，则问题得证.（二） 罗尔定理的应用1.在讨论方程根的存在性问题时，可以应用罗尔定理.罗尔定理的条件很宽松，给一个定义在闭区间上的函数，只需函数在这个区间连续，可导（并不要求区间端点可导），在要求满足条件.因此，可以应用罗尔中值定理解决一些复杂的代数方程的判根问题.其步骤一般是：分析命题条件构造辅助函数

4、验证满足罗尔定理的条件应用罗尔定理命题结论.例1：若在上连续，在内可导，证明:在内，方程至少存在一个根.证明：令，显然，在上连续，在内可导，而且，根据罗尔定理，至少存在一个，使得，则有，故在内，方程.至少存在一个根.2.罗尔定理的推广也有广泛的应用.在证明不等式时，首先我们可以根据不等式俩边的代数式选取不同的；其次，验证是否满足罗尔定理推广中的某种形式的条件；最后，应用定理进行解题，下面通过举例说明其应用.例2：设在内可微，且满足不等式， ,证明存在一点，使得，证明:由已知不等式知 ，.令，则，则由推广的罗尔定理，使得，即.二、拉格朗日中值定理推广及应用（一）拉格朗日中值定理推广1.拉格朗日中

5、值定理描述若函数满足下列条件：在闭区间连续；在开区间可导.则在开区间内至少存在一点，使.2.拉格朗日中值定理推广2.1 推广1在上述罗尔定理推广三中若令，并代入上式即得拉格朗日中值定理.则就有下面推广：设在上连续，在内可导，则至少，使，容易得到.2.2 推广2 拉格朗日推广到更一般的形式如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则对于任意给定的一组实数，且，必存在，使得，其中，特别地，当，上式可写.证明：令.显示在上均满足罗尔定理的条件，由罗尔定理即可得证结论成立.2.3 推广3 对于拉格朗日定理，若把条件减弱的话，定理应用将更加广泛.命题 设函数在闭区间，在开区间内除了有限个点外可微，则存在使

6、得.证明：不妨设在仅在不可微，分别在应用拉格朗日定理中值定理，则得到， ， .令，使得.2.4 推广4 设函数在区间上连续，若在内除了n个点处可微，则存在个点，及个正数使得且.证明：不妨设在仅在不可微，则由上述推广3得， ， ，取使则且.这个证明方法可以推广到在n个点上不可微得情形，可以的以上的推论.2.5 推广5 若函数在闭区间连续，在开区间内存在左，右导数，则存在及，使得.证明：（1）先证明若在闭区间连续，在开区间内存在左，右导数，且，则存在，使得.事实上，由在连续，得使得又，故必在区间内取得至少一个最值，不防设最值点为，或，.（2）作辅助函数，则由在闭区间连续，在开区间内存在左，右导数知

7、在闭区间连续，在开区间内存在左，右导数，且有因为，故由上面的结论使得.不妨设则，即，又在上连续函数.且，有介值定理，使得，即，又，则.(二) 拉格朗日中值定理应用1.利用拉格朗日定理证明不等式拉格朗日中值定理中只肯定了在内至少有一点，使得等式成立，但对的确切位置未作任何断定，这并不影响定理在做理论探讨和解决具体问题中所起的作业. 利用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是选择适当的函数和对应的区间，使它满足拉格朗日中值定理，使得，在用不等式的性质可证明数学不等式.具体步骤如下：第一步，选择适当的函数和对应的区间；第二步，对所取的函数和对应的区间，写出拉格朗日中值公式，第三步，确定导函数在所讨论的区

8、间上的单调性；第四步，分别，确定在区间端点上的导数值，由的单调性得出的范围：， （当单调增加时）， （当单调减少时）由 ，这个等式就得到数学不等式；若当单调增加时则有，或有.等,以下举例说明.例3 当时，则有证明：设， ，并满足中值定理条件，且有 ， ，所以在是单调递增的.故当时，则有.2.拉格朗日定理在为求极限提供一种简单而有效的方法对于有些求极限的题，如果使用罗比达法则，则求导数的计算量很大.微分中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效地方法.其方法是对极限题中的某些部分构造辅助函数，使用微分中值定理，然后求出极限.例4 求，其中.解：对应用拉格朗日定理，有，其中.参考文献：1 数学分析（上）（第三版）M. 北京：高等教育出版社. 2001 2 刘玉琏 傅沛仁.数学分析讲义（上）（第