微积分三大中值定理详解

1、微积分（一）微积分（一） calculus4.1微分中值定理微分中值定理4.2洛必达法则洛必达法则4.3用导数研究函数的单调性、极值、和最用导数研究函数的单调性、极值、和最值值4.4函数曲线的凹向及拐点函数曲线的凹向及拐点4.5曲线的渐近线与函数作图曲线的渐近线与函数作图4.6导数在经济学中的应用导数在经济学中的应用第四章第四章 中值定理及导数的应用中值定理及导数的应用微积分（一）微积分（一） calculus4.1 微分中值定理微分中值定理一、引言一、引言二、微分中值定理二、微分中值定理 1、罗尔、罗尔(Rolle)定理定理 2、拉格朗日、拉格朗日(Lagrange)定理定理 3、柯西、柯西

2、(Cauchy)定理定理三三 、小结、小结微积分（一）微积分（一） calculus一、引言一、引言(Introduction) 导数刻划函数在一点处的变化率，它反映导数刻划函数在一点处的变化率，它反映函数在一点处的局部变化性态；但在理论研究函数在一点处的局部变化性态；但在理论研究和实际应用中，还需要把握函数在某区间上的和实际应用中，还需要把握函数在某区间上的整体变化性态。整体变化性态。 中值定理揭示了函数在某区间上的整体性中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内某一点导数之间的关系。质与该区间内某一点导数之间的关系。 中值定理既是利用微分学解决应用问题的中值定理既是利用微分学解决应用

3、问题的模型，又是解决微分学自身发展的理论基石。模型，又是解决微分学自身发展的理论基石。微积分（一）微积分（一） calculus二、微分中值定理二、微分中值定理The Mean Value Theorem 在微分中值定理的三个定理中，拉在微分中值定理的三个定理中，拉格朗日格朗日(Lagrange)中值定理是核心定理，中值定理是核心定理，罗尔中值定理是它的特例，柯西中值定罗尔中值定理是它的特例，柯西中值定理是它的推广。理是它的推广。 下面我们逐一介绍微分中值定理。下面我们逐一介绍微分中值定理。微积分（一）微积分（一） calculus1、罗尔、罗尔 ( Rolle ) 定理定理(R-Th),ba

4、1) 在闭区间在闭区间 上连续上连续; 2) 在开区间在开区间),(ba 内可导内可导;有一点有一点则在则在),(ba内至少内至少),( ba 使使.0)(f若函数若函数)(xf满足：满足：),()(bfaf3)aboyABx)(xfy 微积分（一）微积分（一） calculus几何意义几何意义: 在两端点高度相同的连续光滑的曲线弧上在两端点高度相同的连续光滑的曲线弧上,若除端点外处处有不垂直于若除端点外处处有不垂直于x轴轴的切线的切线,则此曲则此曲线弧上至少有一点处的切线是水平的线弧上至少有一点处的切线是水平的.或者说切或者说切线与端点的连线线与端点的连线AB平行平行.aboyABx)(xf

5、y 微积分（一）微积分（一） calculus证明证明( ) , max(min) ( )M(m) , f xC a bf xa bxaboyAB)(xfy 1) 若若,mM 即即)(xf恒为常数恒为常数, 0)( xf可取可取(a, b)内任一点作为内任一点作为;2) 若若,mM 由由)()(bfaf知知,M , m 至少有一个要在至少有一个要在),(ba内取得内取得.不妨设不妨设 M 在在),(ba内点内点 处取得处取得,即即( )fM)(affxf( )( )xfxf)()(0000,xx ( )0( )0ff所以所以,. 0)(f证毕证毕.微积分（一）微积分（一） calculus3

6、11( 1)(1)0(0)0yxfff在在，端端点点的的函函数数值值不不相相等等，即即, ,但但存存在在 = = , ,使使如如, ,得得例例. .110 xy3yx注意：注意：罗尔定理的条件组是结论成立的充分条罗尔定理的条件组是结论成立的充分条件，任一条都不是必要条件。件，任一条都不是必要条件。 若函数不满足条件组，则不一定有罗尔定若函数不满足条件组，则不一定有罗尔定理的结论。理的结论。微积分（一）微积分（一） calculusxyo1 11再如再如, 1 011- )(2xxxxf0,(0)0f存在使得在右端点不连续在右端点不连续,但但微积分（一）微积分（一） calculus然而然而,;

7、1 , 1, xxyw注意：注意：零值定理求函数的零点零值定理求函数的零点(函数方程的实根函数方程的实根)，罗尔定理求导数的零点罗尔定理求导数的零点(导数方程的实根导数方程的实根)。w题型题型1：验证定理的正确性。定理结论中的：验证定理的正确性。定理结论中的 客观客观存在，且可能不唯一，但未给出其具体位置。令导存在，且可能不唯一，但未给出其具体位置。令导数为零，求解方程的根，可确定其具体位置。数为零，求解方程的根，可确定其具体位置。w题型题型2：找区间：找区间(比较复杂比较复杂)；w题型题型3：找函数：找函数(由结论入手，求解微分方程由结论入手，求解微分方程)yx101yx在在x=0处不可导处

8、不可导,也不存在结也不存在结论中的点论中的点0( ).f，使得微积分（一）微积分（一） calculus32( )2525, 1,1,( )( )0.1 f xxxxxf xRollef设验证是否满足定理的条件？若满足,求出使例定理中的322( )2525 ( )6102( ) 1,1( 1,1)( 1)(1)0.( ). f xxxxfxxxf xfff xRolle都是多项式；在上连续,在内可导且满足定理的三个条件解微积分（一）微积分（一） calculus21211( )61020 ( 11)537( 1,(1)65376( 1,1)(1,1) (0.) ff而得 ， 在内存在一点 ，使

9、得舍去微积分（一）微积分（一） calculus( )(2)(1)(1)(3)2,( )0f xxxxxfx已知不求导数，试确定有几个实根例及其所在范围.( ),( )( )-2 -1-1113( )(-2 -1) (-11) (13)( 2)( 1)(1)(3)0,( )-2 -1-1113Th. f xfxf xf xfffff xR都是多项式在闭区间， ， ，上连续， 在开区间， ， ，上可导;且在， ， ，上均满足条件解微积分（一）微积分（一） calculus112233123( 2, 1)( )0( 1,1)()0(1,3)()0. ( )0.ffffx在在内内至至少少存存在在一一

10、点点, ,使使；在在内内至至少少存存在在一一点点, ,使使；在在内内至至少少存存在在一一点点, ,使使即即、 、 是是的的三三个个实实根根( )0(-2 -1),(-11),(13) .fxQ又又为为三三次次方方程程它它最最多多只只有有三三个个实实根根这这三三个个实实根根，它它们们分分别别在在区区间间，内内注：注：本例中，应用定理的本例中，应用定理的关键关键是主动是主动找区间找区间。微积分（一）微积分（一） calculus( ) , (0)( , )( ),( , )( )( )(.3) xa baba bff abaa bf bff设在上连续，在内可导，且证明在内至少存在一得例点 ，使(

11、)( )( )( )0( )0;( )( )(0( )( )f xfxxfxf xxxf xF xxf xF xxf xFx 若令 则问题的结论就转化为证明构造辅助函数，就可以用 罗尔定理分析来证明。微积分（一）微积分（一） calculus( )( ),( )( )( )( ) , ( , )( )( )( ) , ( , )( )0,( )( )( )0( ). F xxf xF xxfxf xF xa ba bF aF babF xa ba bFffff令则在上连续，在内可导， 且端点值相等：,在上满足罗尔定理条件，于是至少存在一点，使得即证明微积分（一）微积分（一） calculus例

12、例4 设设f(x)可导，且可导，且f(a)=f(b)=0，试证在，试证在(a,b)内内至少存在一点至少存在一点 ，使，使f( )+f ( )=0证明：证明：构造函数构造函数 F(x)=f(x)ex则则 F(a)=f(a)ea=0 F(b)=f(b)eb=0由于由于F(x)在在a,b上连续，在开区间上连续，在开区间(a,b)内可导内可导且且 F (x)=f (x)ex+f(x)ex所以，在所以，在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，有，有F ( )=0即即 e f ( )+e f( )=0 f( )+f ( )=0微积分（一）微积分（一） calculus例例5 已知已知f(x)在区间在区

13、间(a,b)内存在二阶导数，内存在二阶导数，ax1x2x3b，且，且f(x1)=f(x2)=f(x3)，试证明，试证明在在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使f ( )=0证明：证明：f(x)在区间在区间(a,b)内二阶可导内二阶可导f(x)在区间在区间x1,x2，x2,x3内连续可导内连续可导 f(x1)=f(x2)=f(x3)由罗尔定理，存在由罗尔定理，存在 1(x1,x2) ， 2(x2,x3)使得使得f ( 1)=0，f ( 2)=0再由罗尔定理得，再由罗尔定理得，12( , )( , )a b Q3123( ,)( , ),()0. a b f 存存在在使使得得微积分（一

14、）微积分（一） calculus( )0,1(0,1)(1)0,:(0,1)2 ( )( )sin20.6xffff 在在上上连连续续，在在内内可可导导，且且证证明明 至至少少存存在在一一点点使使得得例例2 ( )( )sin20ff当当 （0 0，1 1）分分析析时时, ,有有( )( )sincos0ff1( )( )sin0cosff21( )( )tan0cosff ( )tan 0 xf xx解解答答微积分（一）微积分（一） calculus( )( )tan ,F xf xx证设明( )0,1(0,1)(0)(0)tan0(1)(1)tan10( )0,1F xFfFfF x显然，

15、在上连续，在内可导且有所以，在上满足罗尔定理的条件.( )0,2 ( )( )sin20.Fff于是，至少存在一点(0,1),使得即微积分（一）微积分（一） calculus解解答答2( )23, 1,3,( )( )0. f xxxxf xRollef 设验证是否满足定理的条件？若满足,求出定理中使的2( )23( ) 1,3( 1,3)( 1)(3)0.,( ).( )2(1)0( 13),1( 1,3)1( )0.f xxxf xfff xRolleff Q 是是一一个个多多项项式式在在上上连连续续, ,在在内内可可导导又又因因此此满满足足定定理理的的三三个个条条件件故故有有得得即即在在

16、内内存存在在一一点点，使使得得微积分（一）微积分（一） calculus解解答答.015有有且且仅仅有有一一个个正正实实根根证证明明方方程程 xx2）唯一性）唯一性, 1)(5 xxxf设设,1 , 0)(连连续续在在则则xf. 1)1(, 1)0( ff且且由零点定理由零点定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即为方程的正实根即为方程的正实根.,),1 , 0(011xxx 设另有设另有. 0)(1 xf使使01( ), ,f xx xQ在在之之间间满满足足罗罗尔尔定定理理的的 条条件件使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx . 0)( f015)(4 xxf但

17、但)1 , 0( x矛盾矛盾,.为唯一实根为唯一实根1）存在性）存在性注意：注意：在后面，本题还将用其他方法加以证明。在后面，本题还将用其他方法加以证明。微积分（一）微积分（一） calculus2、拉格朗日、拉格朗日 (Lagrange) 定理定理(L-Th)或或f bf afba( )( )( )(1), ba1) 在闭区间在闭区间上连续上连续; 2) 在开区间在开区间),( ba内可导内可导;至少有一点至少有一点 (),ab使 得若函数若函数)(xf满足：满足：aboyABx)(xfy C( )( )( )( - ) (2)f bf afb a则在则在),(ba内内定理定理微积分（一）微

18、积分（一） calculus几何意义：几何意义： 在连续、光滑的曲线弧上，除端点外处处有在连续、光滑的曲线弧上，除端点外处处有不垂直于不垂直于 x 轴的切线，则在曲线弧上至少存在一轴的切线，则在曲线弧上至少存在一点点C，在该点处的切线与连接两端点的弦平行，在该点处的切线与连接两端点的弦平行.aboyABx)(xfy C( )( )f af b当时，结论就是罗尔定理,即罗尔定理是拉格朗日中值定注：理的特例.微积分（一）微积分（一） calculus分析分析要证要证( )( )( ),f bf afba即证即证0)()() (abafbff即证即证( )( )( )()0f bf af xxaba

19、令令( )( )( )( )()f bf axf xxaba只须证只须证( )0, 只须证只须证)(x在在,ba上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件.微积分（一）微积分（一） calculus证明证明( )( )( )( )()f bf axf xx ab a易见易见)(x在在,ba上连续，上连续， 在在),(ba内可导，内可导， 且且( )a( ),f a即即( )( ).ab根据根据罗尔定理罗尔定理知，知，),(ba使使( )0, 即即( )( )( )0,f bf afba即即构造辅助函数构造辅助函数( )( )( ).f bf afba( )( )bf a微积分（一）微积分（一） ca

20、lculus2) 定理结论肯定中间值定理结论肯定中间值 的客观存在的客观存在,但但未指明确切位置未指明确切位置,可通过求解导数方程确可通过求解导数方程确定。定。(题型题型1：验证定理的正确性：验证定理的正确性)1) 定理的条件组是充分条件定理的条件组是充分条件。.注意注意3)题型题型2：找区间；：找区间；4)题型题型3：找函数；：找函数；5)题型题型4：证明等式；：证明等式；6)题型题型5：证明不等式：证明不等式。微积分（一）微积分（一） calculus1) (1)或或(2)式对于式对于ab 时也成立时也成立.拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.2) 若令若令,aba则则10,于是拉格朗日公式

21、可写成于是拉格朗日公式可写成:( )( )( )()f bf af ababa) 10(3)3) 若令若令,xxbxa则得有限增量公式则得有限增量公式:)()(xfxxfyxxxf)() 10(4)说明说明( )( )( )()f bf afba（2）注注 式中的式中的可能不止一个可能不止一个,这并不影响它在理论上的应用这并不影响它在理论上的应用微积分（一）微积分（一） calculus 4） 是函数增量是函数增量 的近似表达式的近似表达式 是函数增量是函数增量 的精确表达式的精确表达式yy()fxxx ( )dyfxx微积分（一）微积分（一） calculus( ) , ( , )( )0,

22、( )1,f xa ba bfxf xa b如果函数在闭区间上连续，且在开区间内恒有则在闭区间上恒推论为常数.证明证明 不妨设不妨设12,xx在在,21xx上应用中值定理上应用中值定理,),(21xx使使)()()(1212xxfxfxf0)()(12xfxf所以所以, 由由21,xx的任意性知的任意性知,( )f x 恒为常数.),(,21baxx 对对微积分（一）微积分（一） calculusarcsinarccos.27xx例证明等式:( )arcsinarccos( ) 11( 1,1)( )0;1, 11( ),arcsinarccos.f xxxf xfxf xc cxxc令;显然

23、，在，上连续,在内可导,且由推论 知 在，上 ( 为常数）即证明0;2arcsinarccos.2xcxx令,得故有微积分（一）微积分（一） calculus例例8 已知函数已知函数f(x)在在(,+ )内满足关系式内满足关系式f (x)=f(x)，且，且f(0)=1,证明：证明：f(x)=ex 。证明：证明：构造函数构造函数( )( )xf xF xe2( )( )( )()xxxfx ee f xF xe( )( ),( )0;( )fxf xF xF xQ为为常常数数. .0,(0)1,( )1.x FF x 取取( ).x f xe从从而而微积分（一）微积分（一） calculus(

24、)( ) , ( , )( )( ),( ) , ( )( )2f xg xa ba bfxgxf xa bf xg xcc如果函数与在闭区间上连续，且在开区间内恒有则在闭区间上恒有推论（ 为常数）证明证明( )( )( )F xfxg x有, 0由推论由推论1知知,)(cxF即即( )( ).f xg xc( )( )( ),F xf xg x令微积分（一）微积分（一） calculus解解在闭区间在闭区间0，1上连续上连续,在开区间在开区间(0,1)内可导内可导,满足拉格朗日中值定理的条件满足拉格朗日中值定理的条件, 2( )f xx)0() 1 (ff)01)(f即即201) 1 , 0

25、(21即的确在即的确在 (0,1) 内找到内找到12使定理成立使定理成立.应用定理知应用定理知例例9 验证拉格朗日中值定理对函数验证拉格朗日中值定理对函数2( )f xx在区间在区间 0,1 上的正确性上的正确性,并求并求.微积分（一）微积分（一） calculus的的值值。论论求求拉拉格格朗朗日日定定理理，并并由由结结上上满满足足，在在验验证证函函数数 10arctan)(xxf解解答答).10(4411)(11)(40arctan1arctan01)0() 1 ()() 1 , 0() 10( 10arctan)(22fxxffffxxf又又，使得，使得点点内至少存在一内至少存在一所以在所

26、以在满足拉氏定理的条件，满足拉氏定理的条件，内可导，内可导，上连续，在上连续，在，在在由于由于4(0,1) () 舍去微积分（一）微积分（一） calculus0 x时时,例例10 证明证明: 当当.)1ln(1xxxx证证 设设( )ln(1),f xx0 x对对)1ln()(xxf在在0, x上应用上应用拉氏中值定理拉氏中值定理,), 0(x, 使使)0)()0()(xffxf)01ln()1ln( x即即,1x因因0, x 所以所以1x xx1. x即即.)1ln(1xxxx微积分（一）微积分（一） calculus( ) , ( , )( , ),( )( )( )( )11f xa

27、ba ba bbf baf affba已已知知在在上上连连续续, ,在在内内可可导导, ,证证明明在在内内至至少少存存在在一一点点使使得得例例( )( ),( ) , ,( ) , ( )( )( )()F xxf xF xa ba bF xa bF bF aFabba设根据已知可得：在上连续,在()内可导；在上满足拉格朗日定理条件.明故有证微积分（一）微积分（一） calculus( )( )( ),( )( )( )( , )( )( )( )( )FxfxxfxFffa bbf baf affba又因 此 ， 在内 存 在 一 点， 使微积分（一）微积分（一） calculus( ) ,

28、 ()( , )( , )1()aba bxa b aba bfa bbeaeba ee 设在上连续，在内可导，试证在内存在一点 ，使得()()baxxbeaeeexeba改写为：析式分等证证明明微积分（一）微积分（一） calculus( , )( )( )( )a bF bF aFba由拉格朗日定理知，至少存在一点使得1,()babeaeeba即（）1().aba bbeaeba ee故( ),( ) , ( , )( )xxxF xxeF xa ba bF xexe设则在上连续,在内可导,且证明；微积分（一）微积分（一） calculusarcsinarcsin,1,1证明若，不等式显然

29、成立.( )arcsin ,( ) ,( )( )( )()()f xxf xfff 若，不妨设;令显然在上满足拉格朗日中值定理的条件，于是有证证明明微积分（一）微积分（一） calculus21arcsinarcsin.1在上式两边取绝对值得arcsin- arcsin.对的 情 形 ， 证 法 类 似 .故21arcsinarcsin(),()1即2211,1,0 111.1 注意到因此微积分（一）微积分（一） calculus若函数若函数)(),(xgxf满足满足:,则在则在 ),(ba内至少存在一点内至少存在一点使得使得,ba1) 在闭区间在闭区间上连续上连续;()()()()()()

30、fbfafg bg ag 2) 在开区间在开区间),(ba内可导内可导;( )0,g x且且( )THg xxL柯柯西西中中值值定定理理是是拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的推推广广，当当时时，即即为为注注- -意意：. .3、柯西、柯西(Cauchy)中值定理中值定理(C-Th)定理定理微积分（一）微积分（一） calculus2( )1( )ln1221f xxg xx验证与在 ，上满足柯西中值定理条件，并求相应例的值.2( )1, ( )ln1 2,1(1,2),( )0 (1,2);( )( )1 2,(1,2)(2)(1)( )(12)(2)(1)( )f xxg xxg xxxf

31、 xg xfffggg由由于于在在 ，上上连连续续在在内内可可导导 且且所所以以与与在在 ，上上满满足足柯柯西西定定理理条条件件因因此此在在内内至至少少存存在在一一点点 ，使使解解微积分（一）微积分（一） calculus52( )2ln2ln1( )133;(1,2)2ln22ln2xxfxxg xx 22取2( )1( )ln12f xxg xxx ，(2)(1)( )(12)(2)(1)( )fffggg由得微积分（一）微积分（一） calculusZ 思考思考 1 1、如如果果)(xf在在,ba连连续续，在在),(ba可可导导，c为为介介于于 ba,之之间间的的任任一一点点，那那么么在在),(ba（ ）找找到到两两点点 12, xx，使使)()()()(1212cfxxxfxf 成成立立. . （A A）必必能能； （B B）可可能能； （C C）不不能能； （D D）无无法法确确定定能能 . .2、证明、证明bbabaaba ln微积分（一）微积分（一） calculus解答解答2o 对对f(x)在在b, a上用拉格朗日公式上用拉格朗日公式 ,即即),(1lnlnbaba 111,.baabQ)(1lnln)(1babbabaa 2、证明证