抽象函数单调性、奇偶性的判断及其综合运用.doc

1、抽象函数单调性.奇偶性的判断及其综合运用抽象函数奇偶性、单调性的判断1 .对于抽象函数奇偶性的判断，通常用定义法（方法）。要充分利用所给条件想方设法寻找f X与f-X之间的关系。此类题 hl常用到f 0 ,可通过对式子中的变量进行 特殊赋值 （技巧），构造出0,把f 0求出来。利用特殊法求解，取特殊值时，要注意取值的合理性，有时取一组值不能得到合适的答案，还需尝试再取另一组。做题时，注意体会领悟。2 .对于抽彖函数单调性的判断， 也是利用定义法，就是耍注意作差（或作商）公式的变 形 应用(1)f xl(2) f x2X(3) fX(4) f x2xl x2x2 xlf 1x2f 2 xlf x

2、2ff xlfxl f x2f xlx2fx2xlfxlf x2 x2f xl xlX f 1 x2 f xl X (5)2fx2fx2 x 12 x2 f x2 X (6)2fxlfx用定义法证明抽象函数单-调性的步骤与技巧（1）取值取值技巧：取值时，要有方向性、H标性 若题干中出现暗示单调性的条件为“当 x 0时，f x 0”时，一般我们会按照“任取xl,x2A, Kxl x2,则xl x2 0 （A为题设所给定义域，下同）”的模式来操作。 若题干中出现暗示单调性的条件为“当A, Kxl x2,则xl x2 0的模式来操作。x 0时，f x时，我们可以按照 “任取xl,x2 若题干中出现暗

3、示单调性的条件为“当x 0时，f x时，按照"任取xl,x2 A,且xl x2,则x2 xl 0的模式来取值，那么在变形时就耍选择第二个变形公式了0”时，按照“任取若题干中出现暗示单调性的条件为“当x 0时，f xxl,x2 A,且xl x2,则x2 xl 0的模式来取值时，在变形时也要耍选择第二个变形公式。注： 不管怎么取值都可以，但是在选择变形公式时，必须要保证跟题干所给的暗示单调性否则将函数值作差后无法判断其符号，从而也就无法判断函数的单调性。（2） 作差变形利用变形公式f xl f x2 f xl x2 x2 f x2 进彳亍第一?次变形变形公式选择技巧：若按照“任取 xl,

4、x2 A, 且 xl x2, 则 xl x2 0 的模式取值，并”且题干所给的暗示单调性的条件为“当x 0时，f x a”时，则选择第二个变形公式f x2 f xl f x2 xl xl fxl , 因为 xl x2, 则 x2 xl 0, 这样就能保证跟题干所给的fl音示单调性的条件方向保持统一。（3） 利用题设所给的抽象表达式进行第二次变形（4） 定号利用题干所给的暗示单调性的条件“当 x 0 时， f x 0”判定差的符号（5） 下结论注： 抽象函数单调性的判断方法与步骤跟具体函数一模一样，只不过在作差变形和判定差的符号时会有细节上的不同。具休函数作差后在恒等变形时往往要用到“通分、配方

5、、因式分解、有理化”等具体化的技巧。然而抽象函数在恒等变形时要利用到变形公式和抽象表达式两个抽象变形技巧，并且判定符号时要根据题设所给出的暗示单调性的条件来判 断,因此在取值和选择变形公式时一定要有目标性、方向性。x y fx f y ,y f x是R上的增例1.已知函数y f x不恒为0,对任意x, y R梆有f 且当 x 0 时， f x 0.求证： （ 1） y f x 是奇函数；（ 2）函数 .导析：l ）灵活运用x, y 的任意性及关系式f x y f x f y ，寻找 f x 与 f -x Z 间的关系（ 2）根据单调性的定义，利用f x y f x f yR,?对任意x,y R

6、 都有寻找 f xl 与 f x2 的 关系解答：（ 1）函数f xf x y f x fy, 令 xyO 得 f0 二 f0+f0,2? f 0二0,令y:.x f x f 0 二 0, :.£? 函数f x是奇函数设 xl,x2 R,且 xl x2,贝 ijf xl f x2fxlx2f(xl x2) Vx 0 时，f X 0/.f (xl x2)0.即 f xl f x2/. f X 在R上是增函数.变式1.已知函数y f x 不恒为0,x -f xf xlx2f证明：令xl 0,f X fXxl x2 2f xlx2 x,则得2f 0 f Xx2 f x2而 xl x2 0,

7、9且对任意xl,x2f x2 .求证:=f (xl x2) f x2R都有fX是偶函数.f x2又令 xl x, x2 0xl=x, x2=0,得f X f X 2f x f 0rtl、得f X f x ) /.f x是偶函数.例2.函数y f x对任意a, b R都有f a b f a f b 1,当当x 0时，f x 1.(1) 求证：f x是R上的增函数.(2) 若f 45,解不等式f 3m2 m 23.(3) 若关于x的不等式f nx 2 f x x22恒成立，求实数n的取值范围.思路点拔：要证f x是R上的增函数，耍紧扣单调性的定义进行，解不等式f 3m2 m 23的关键是先给3 “

8、穿上f "，转化为两函数值大小关系，再根 3据函数单调性“脱掉f”，将其转化为一月不等式求解.规范解答：(1 )设 xl x2,则 x2 xl 0, f(x2 xl) 1,x2 xlxlf xl=f(x2 xl) f xl f xl? X是 R上 增函? f的f .数.2(2 )R4) (2 2) i ：(2)?.3m2 m 23 f 2 ,? f3m2 m 40 ,1 m 4 31 5,?&3,f(2)? : 3m2 m 2 2,即 3m2 in 4 0,令a bo, ? f 0 2f 01, :.fVf nx 2 f X x2 2? 八 nx 2f? c nx 2ff X

9、 x2 11X X2 f 0 由C 1)知 nx 2 X x2 0恒成立?(n x2? ? (n f(x2 xl)l)x1)1恒t2 0 .戈立4 20 . 22 n 1V22,即一2 21 nV2(1)单调性的定义实质上给出自变量与函数值人小关系的转化？女噪 在D上为增 苗数，则xl,x2 D,xl x2 f xl f x2 .如果f x在I)上为减函数，贝ij xl,x2 D,xl x2 f xl f x2 .以上也是 脱去符号“f的重要手段.(2)解含有抽彖符号“f的不等式时，关键是符号 “那J “穿”和“脱” ? 212121212 4变式2:函数y f x对于x 0有意义，且满足：f

10、 21; f x y f x f y : x y 时，f x f y ;( 1)求证：fl 0;(2 ) f xy f x f y ;求彳4的值；(4)如果f x f x 32,求x的取值范围.解析：(1 )由，令 x y 1 得 f1 =f 1 +f 1, /.f 1=0 ( 2 ) Vx x2 1拓展提升:Af由，+f 2 ?(4 )由和fx (x 3)0, x 3 0, x (x 3) 0解得 3x4.例3.已知函数y的定义域是(0,)，当当 x 1 时， f xx y f(1) 求：f(2) 求证:(3)证明f x在定义域上为增函数；5 1(4)如果fb求满足不等式x 31 f 2的x

11、的取值范围. x 2解析 :(1) 令 x y 1, 可得(2) 令 y(3)(4)例 4.设函数 y f x 定义在 R 上，对任意R 都有 f m n f m f n , 且当 x 0 时， 0 f x 1.1;(1)求证：f 0(2)证明f x在R上单调递减;(3)设集合 A x,y f x2 f y2 f 1 ,集合B x, y f ax y 21, a R，若AQB=C>,求a的取值范围.1 x例5.定义在R上的函数f x满足：对任意 m, n R总有f m n f m f n ,且当x 0时，0 f x 1.(1)试求f 1的值；(2)判断f x的单调性并证明你的结论；1 设

12、 A x,y f x f y f 1,B x, y f ax y 221, a R ,22若A B ,试确定a的取值范围；(4)试举出一个满足条件的函数f x .答案：(1 ) f 1 =0;(2 )函数f x在R上单调递减；(3 )1 a 1;x ( 4 )如 f x ? 26例6.若f x是定义在(0,)上的增函数，且对一切 x,y 0,满足f xyf x f y ?(1)求f1的值；(2)若f 6二1,解不等式f x 3 f 132.解答：(1)在£ xy f x fy中，令x y 1,则有f 1 =f 1 f 1,? f 1 二 0.(2) Vf 6 =1,? f x 3 f

13、 1? 3x 9 f 6 f 6 , 即 f x 32 f 6?Vf X 是(0,)上的增函数，? ? x 30 X 3 ,解得 3x92 6,即原不等式的解集为(3,9).7函数奇偶性与单调性的综合运用一、利用奇偶性求分段函数的解析式(代入法)1、 此类问题的一般做法是：(1) “求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间内.(2) “区间转移”，通常利用对称性，将所求区间上的x转移到其对称区间x上，再利用已知区间的解析式进行代入，求出 f x .(3)"求出f x "，利用f x f x或fx f x,解出fx.2、 这类问题的一般悄形是：已知x 3, b时，

14、f xx，求x b, a时f x的解析式.例1.已知f x是定义在R上的奇函数，当xO时，fx x 1 x,求f X.导析：只需求x 0的解析式，可把x 0的解析式转移到x0上求解.解：例2.设f (x)是偶函数，当x 0时，f(x) e x2 ex,求当x 0时，f(x)的表达式.解：山 x 0 时，f (x) e x2 ex,则彳(x) e(x)2 e x ex2 e x 山f X为偶函数，得f Xf X .当X 0时，f(x) ex2 e xex2 ex, x 0 故 f x2 x ex e, x 0练习 1?对 X R, f(x)满足 f(x)f(x1),且当 x 1,0 时，f (x

15、) x2 2x求当x二、奇偶性与单调性的综合运用1、对于含“f的不等式，求解时首先根据奇偶性把不等式转化为f xl f x2或f xl f x2要注意不能漏掉函数定义域对参数的限制(定义域优先原则)2、解含“f的不等式，应具备两个方面：一是能转化为f xl f x2或f xl f x2的形式，二是f x的单调性已知.特别是f x为偶函数时，应把不 等式f xl f x2 (或f xl f x2 )转化为 f xl f x2 (或f xl f x2 )的形式，利用x 0,的单调性求解.例.已知f x ax b是定义在 1,1上的奇函数，R21 x 1 2f ,2 5(1)确定函数f x的解析式；(2)用定义证明在上是增函数；(3) 解不等式f t 1 f t 0.导析：求a, b确定f x的解析式证明单调性解不等式解答：(1) Tf x是定义在1,1上的奇函数./.f xf x , H|J ax b ax b ? .*.b b, Ab 0? 1x21 x2? ?,/>a 1,/>f X 21 x5 2 514, t f t , T f x在 1, 1