菱形证明专题训练

1、绝密启用前乐学教育菱形证明专题训练1.已知:如图，在四边形 ABCD中,AB/ CD,E,F为对角线 AC上两点，且AE=CF,DF/ BE,AC平分 /BAD求证：四边形ABCD为菱形.【答案】. AB/ CQZ BAE=Z DCF. DF/ BEZ BEF=Z DFEZ AEB=Z CFD.又A&CF,AAE Z CFQAB=CD. AB/ CD,四边形ABCD是平行四边形. AC平分 Z BAD,Z BAE=Z DAF.又 / BA±/ DCF?Z DAF=Z DCFAD=CD,四边形ABCD是菱形.2.如图，矩形ABCD中，点。为AC的中点，过点 0的直线分别与 AB

2、, CD交于点E, F,连 接 BF 交 AC 于点 M,连接 DE, B0.若/COB=60 , FO=FC.(1)四边形EBFD是菱形；【答案】连接OD；点O为矩形ABCD的对角线AC的中点,B,D,O 三点共线且 BD=DO=CO=AO.在矩形 ABCD中，AB/ DC, AB=DC, . . / FCO=/EAO.在CFO和AEO中，ACFOAAEO,FO=EO.又 BO=DO, 四边形BEFD是平行四边形. BO=CO, / COB=60 ;. ACOB是等边三角形. / OCB=60 :/ FCO=Z DCB/ OCB=30 : FO=FC,Z FOC=Z FCO=30 .

3、6;/ FOB=Z FOG/ COB=90 :EF± BD.-.平行四边形 EBFD是菱形.(2)MB : OE=3 : 2.【答案】BO=BC, .点B在线段OC的垂直平分线上. FO=FC, .点F在线段OC的垂直平分线上.BF是线段OC的垂直平分线./ FMO=/OMB=90 :/ OBM=30OF=BF. / FOC=30 ； FM=OF.BM=BF-MF=2OF-OF=OF.即 FO=EO, BM : OE=3 : 2.3 .如图,在4ABC中,/ ABO90°,BD为AC边上的中线，过点C作CE1 BD于点E,过点A作BD的 平行线，交CE的延长线于点 F,在A

4、F的延长线上截取 FG=BD,连接BGDF.求证：四边形BGFD是 菱形.【答案】 FG/ BD,BD=FG,/.四边形BGFD是平行四边形CF± BD.AG / BD,.1. CF±AG.又 ; Z ABC=90，点 D 是 AC的中点，. . BD=DF=AC,平行四边形BGFD是菱形.4 .如图，点O是菱形ABCD对角线白交点，DE/ AQCE/ BD,连接OE.求证:OE=BC【答案】 DE/ AQCE/ BD,四边形OCED是平行四边形.四边形ABCD是菱形，AC± BD,OB=OD,/ BOC=ZCOD=90 ;四边形OCED是矩形,/ ODE=90，

5、： OB=OD,Z BOC=ZODE=90 ;BC=,OE=,DE=OC ，OE=BC5. 2015 兰州中考,25（9 分）如图，四边形 ABCD中,AB/ CD,ABRD,BD=AC.M,则 / ACD=/ BMD.四边形ABMC为平行四边形.2分AC=BM. BD=AC，BM=BD./ BDM=Z BMD./ BDC=Z ACD.在ABDC和 ACD中,ABDCAACD.4 分BC=AD. 5 分(2)若E,F,G,H分别是AB,CDAC,BD的中点.求证:线段EF与线段GH互相垂直平分【答案】连接EGGFFHHE.6分. . E,H 为 AB,BD 的中点,. EH=AD.同理 FG=

6、AD,EG=BCFH=BC. BC=AQ，EG=FG=FH=EH. 8 分四边形EGFH为菱形,e EF与GH互相垂直平分.9分6. 2015长春中考，18（7分）如图，CE是4ABC外角/ ACD的平分线，AF/ CD交CE于点F,FG/AC 交CD于点G,求证：四边形ACGF是菱形.【答案】因为AF/ CD.FG/ AQ所以四边形ACGF是平行四边形, 又因为/ ACE=Z ECG/ ECG=Z AFC 所以 /ACE=/ AFG所以 AC=AFD, 由得四边形ACGF是菱形.7. 2010上海中考，23已知梯形 ABCD中，AD / BC, AB=AD（如图所示），/ BAD的平分线 A

7、E 交BC于点E,连结DE.（1）在图中，用尺规作 /BAD的平分线AE保留作图痕迹，不写作法 ），并证明四边形 ABED是 菱形；【答案】/ BAE= / DAE,/ DAE= / BEA,/ BAE= / BEA, AB= BE= AD,AD/ BE, 二.四边形ABED的平行四边形，又 AB= AD,四边形ABED为菱形(2)/ABC= 60 °, EC= 2BE,求证：ED± DC【答案】 过D作DF / AE,贝U DF= CF= 1 ,/ C= 30 ；而/ DEC= 60 ；/ EDC= 90 °,ED± DC.8. 2010沈阳中考，19

8、如图，菱形 ABCD的对角线AC与BD相交于。，点E, F分别为边 AB, AD的中点，连接 EF, OE, OF,求证：四边形 AEOF是菱形.【答案】点E, F分别为AB, AD的中点AE= AB, AF= AD（2 分）C又.四边形ABCD是菱形AB=ADAE= AF（4 分）又菱形ABCD的对角线 AC与BD相交于点 O.O为BD的中点2 .OE, OF是4ABD的中位线（6分）3 .OE/ AD, OF/ AB四边形AEOF是平行四边形（8分）4 AE= AF四边形AEOF是菱形（10分）9.2010 安徽中考，20如图，AD/FE 点 B,C 在 AD 上，/1 = /2, BF=

9、 BCA B C D（1）求证：四边形 BCEF是菱形；【答案】. AD/ FE,，/FEB=/2. / 1 = / 2,/ FEB= / 1.BF= EF BF= BC, .1. BC= EF.四边形BCEF是平行四边形 BF= BC, 四边形BCEF是菱形（5分）（2）若 AB=BC= CD,求证： AACFABDE【答案】EF= BC, AB= BC= CD, AD / FE 四边形ABER四边形CDEF均为平行四边形，AF= BE, FC= ED.（8分）又AO 2BC= BD, （9 分）AACFABDE（10 分）10. 2013长沙中考，24如图，在 ABCD中，M, N分别是

10、AD, BC的中点，ZAND =90°,连 接CM交DN于点O.BNC(1)求证：ABNCDM;【答案】/ ABN= / CDM, AB= CD,BN= BC= AD= DM ,AABNACDM(SAS).(2)过点C作CE! MN于点E,交DN于点P,若PE= 1, / 1 = / 2,求AN的长.【答案】 M , O分别为AD, ND的中点， .AN/ MO 且 AN= 2MO,Z MOD= Z AND=90 °,即平行四边形 CDMN是菱形，在 RtA MOD 与 RtA NEC 中,/1 = /2, MD=NC,RtA MOD RtA NEC,MO = NE.根据菱

11、形的性质可知，/MND=/CND, /1=/CND,所以/ MND= / CND= / 2= 30°,所以在 RtA ENP 中 NE= PE+ tan30=,即 AN=2.11.如图，在ABC中,/ A=90°AH，BC于点H,/B的平分线交 AC于点D,交AH于点E,DU BC 于点F,求证：四边形AEFD是菱形.B HF【答案】/ ABD=Z FBDBD=BQ/ BAD=Z DFB=90°, AB4 FBD, AD=DFAB=FB.又 / ABE=/ FBEBE=BEAABEAFBE./ BAE=Z BFE.又 / BAE=90°-/ ABC=Z

12、C, / BFE土 C,.,. EF/ AD.DF± BCAHL BC,.-. AE/ DF.四边形AEFD是平行四边形.又AD=DF,.四边形AEFD是菱形.12. 2012南宁中考，25如图，已知矩形纸片 ABCQAD= 2,AB=4,将纸片折叠，使顶点A与边CD 上的点E重合，折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.（1）如图1,求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形;【答案】证法一：h证明：在矩形 ABCD中,CD/ ABZ 1 = Z 3（1 分）由折叠可知：AG= EG / 1=/2/ 2= / 3 .EF= EQ2 分）EF= AG四边形AGEF是

13、菱形（3分）证法二：证明：连接AF,由折叠可知f）,O OAOA=OEAG=EG（1 分）在矩形ABCD中,AB/ CD/ AEF= / EAG / AOG= / EOFAAOGA EOF（ASA）（2 分）AG= EF四边形AGEF是菱形（3分）如图2,当AED的外接圆与BC相切于点N时，求证，点N是线段BC的中点;【答案】证明：连接ON,O是Rt ADE外接圆圆心 RtA EFO RtA AOM1 jT） 及; OO与BC相切于点N .ON，Bq4 分）在矩形 ABCD 中,DC，BCABX BC .CD/ ON/ AB= （5 分） OA= OECN= NB即N为BC的中点（6分）（3）

14、如图2,在第2问的条件下，求折痕FG的长.【答案】解法一：ftI ilIII JJ入过点O作OMLAB于点M,则四边形 OMBN是矩形设。O半径为x,则OA= OE= ON=x（7分） AB=4,AD=2AM = 4-x由第2问得,NB=OM= 1在 RtAAOM 中,OA2=AM2+ OM2x2= （4 x）2+ 12x= （8 分）AM = 4 = / FEO= ZOAM又 / FOE= ZOMA=90°= （9 分），OF=FG= 2OF= （10 分）解法二：延长NO交AD于点M，四边形ABNM是矩形AM= BN=AD=1O为Rt ADE外接圆圆心OA= OE= ON设 ON

15、 为 x,则 OM= 4-x（7 分）在 RtAAMO 中,AM2+ OM2=OA2即 12+（4-x）2 = x2x= （8 分）OM =4 =FG± AE,MN / DC . . / FEO= / MOA / AMO = / EO已 90AEOFAOMA= （9 分），OF= FG= 2OF= （10 分）13. 2013葫芦岛中考，20（本小题满分8分）如图，四边形 ABCD 中,AD/ BQBA，AD,BC=DQB已 CD 于点 E.求证：ABDEB口【答案】如图，B AD / BQ/ 1=Z DBC.,.BC=DC/2=/DBC.，/1=/2.2 分又 ZBAD=ZBED=

16、90°,BD=BD, ABg EBD.4 分(2)过点E作EF/ DA,交BD于点F,连接AF求证：四边形AFED是菱形.【答案】由第1问得,AD=ED/1=/2. EF/ DA,.1. / 1=7 3,.,. / 2=7 3.EF=ED.5 分EF=AD.6 分四边形AFED是平行四边形.又AD=ED.四边形AFED是菱形.8分14. 2013贵阳中考，20已知：如图，在菱形 ABCD中，F为BC上的任意一点，连接 AF交对角线BD于点E,连接EC【答案】.BD是菱形ABCD的对角线,ACBD垂直平分 AC. . AE= EC当/ABC= 60°, /CE已60°

17、;时，点F在线段BC上的什么位置说明理由【答案】点F是线段BC的中点.理由：二.菱形ABCD中，AB= BC,又 ZABC= 60°. ABC是等边三角形， / BAC= 60 :,. AE= EC /CE曰 60； . / EAC= 30：.AF是 ABC的角平分线. AF交BC于点F,.AF是ABC的BC边上的中线.点F是线段BC的中点.15. 2012上海中考，23已知：如图，在菱形 ABCD中，点E,F分别在边 BQCD上,/ BAF= / DAE.AE 与BD交于点G(1)求证：BE= DF;【答案】四边形ABCD为菱形，ab=ad= bc= cd,/ ABD= / ADB

18、= / CBD= / CDB/ ABE= / ADF Z BAF= / DAE,且 / BAF= / BAE+ / EAF,/ DAE= / DAF+ / EAF/ BAE= / DAF.AABEAADF(ASA).BE= DF.(2)当=时，求证：四边形 BEFG是平行四边形【答案】 在菱形ABCD中,ADBGZ DAE= Z BEA / ADB= Z EBD.AAGDAEGB又丁 =,BE=DF,.GF/ BEZ DGF= Z DBGZ DBC= Z CDBZ DGF= Z GDF,GF= DF,BE= GF.BEGF二四边形BEFG是平行四边形16. 2013乌鲁木齐中考，19如图，在4

19、ABC中，/ACB=90：CD，AB于D,AE平分/ BAQ分别与 BQCD交于EEEFUAB于H,连接FH求证：四边形 CFHE是菱形.【答案】 AE平分 / BAG，z CA Z EAH.MZ ACB= 90°,CD± AB, / CEA+ / CAE= / AFD+ / EAH= 90，又 / APD= / CFE/ CFE= /CEF，CF= CE又 AE 平分 / BAQ/ ACB= 90 .EHIX AB,，CE= EHCF= EH= CECD±AB,EH±AB,.1. CF/ EH,四边形CFHN菱形.17.如图所示，在菱形 ABCD中,C

20、EL AB于点E,CF± AD于点F,求证:AE=AF.【答案】证?t 1:如图所示，连接AC,V 四边形ABCD是菱形，AC平分 / BAD,即 / BAC=Z DAC.在4ACE和4ACF中，/ AEC玄 AFC=90，/ BAC=Z DAQAC=AC ACE ACRAAS),，AE=AF.证法2: 四边形ABCD是菱形，BC=DC=AD=ABZ B=Z D.又.在 BCE和 DCF 中，/ BEC=Z DFC=90°,ABCEADCFAAS),.,- BE=DF，AE=AF.18. 2013南宁中考，23如图，在菱形 ABCD中，AC是对角线，点 E, F分别是边BC

21、, AD的 中点.A F DHEC(1)求证：ABECDF;【答案】 在菱形 ABCD中，AB= BC= CD= DA(或 AB= CD, BC= DA)./ B= / D. 点E, F分别是边BC, AD的中点，BE= DF.ABECDF(2)若/B=60°, AB= 4,求线段 AE的长.【答案】 解法一：. AB=BC, /B=60°, 4ABC是等边三角形. 点E是BC边的中点.AE± BC在 RtABE 中，sinB=.AE= ABsinB = 4- .解法二：AB=BC, /B=60°,，4ABC是等边三角形. 点E是BC边的中点，AE

22、77; BC./ BAE= 30 :在 RtAABE 中,BE= AB= 2.19. 2012温州中考，19（本题8分）10cm,得到如图， ABC中,/ B= 90 ,AB= 6cm, BC= 8cm,将 ABC沿射线BC方向平移 DEF,A,B,C的对应点分别是 D,E,F,连接AD.求证：四边形 ACFD是菱形.AC= 10cm.由平移变换的性质得 CF= AD= 10cm,DF= AC,ad=cf= ac= df,四边形ACFD是菱形.法二：由平移变换的性质得AD/ CFAD=CF= 10cm,四边形ACFD是平行四边形， / B=90 ；AB= 6cm,BC= 8cm,AC= 10c

23、m, . AC= CF,.ACFD是菱形.20. 2011兰州中考，27（本小题满分12分）已知：如图17所示的一张矩形纸片 ABCD（AD>AB）,将纸片折叠一次，使点 A与点C重合, 再展开，折痕 EF交AD边于点E,交BC边于点F.分别连接AF和CEBF（图 17）（1）求证：四边形 AFCE是菱形；【答案】由题意可知OA= OC, EFl AO. AD/ BC, ，/AEO=/ CFO, / EAO= / FCQ.AOEACOF, AE= CF,又 AE/ CF,四边形AECF是平行四边形（2分）. AC± EF,四边形AECF是菱形.（4分）2若AE= 10cm, 4

24、ABF的面积为24cm,求ABF的周长;【答案】四边形AECF是菱形，.AF= AE= 10cm.设 AB=a, BF= b,. ABF的面积为 24cm2,a2+b2= 100, ab = 48（6 分）（a + b）2=196, a+b=14 或 a+b=14（不合题意，舍去）（7 分） ABF的周长为 a + b+10=24cm（8 分）（3）在线段AC上是否存在一点 P,使得2AE2= ACAP若存在，请说明点 P的位置，并予以证 明；若不存在，请说明理由.【答案】存在，过点E作AD的垂线，交AC于点巳点P就是符合条件的点（9分）证明：. /AEP= / AOE= 90°,

25、Z EAO= Z EAP, .AOEAAEP, .AE2 = AOAR11 分） 四边形AECF是菱形，.AO=AC,AE2= ACAP, ,仁 ACAP（12 分）21. 2013营口中考，19如图,ABC中,AB=ACAD是 ABC一个外角的平分线，且/ BAC=Z ACD.上8 C£求证:AB8 4CDA【答案】AB=AC；.-. ZB=ZACB又 / FAC是 ABC的一个外角， / FAC玄 B+/ ACBZ FAC=2Z ACB2 分又AD 是 / FAC的角平分线，/FAC=2/CAD, / ACB玄 CAD 3 分又 AC=CA/ BAC=Z DCAAABCACDA4 分(2)若/ ACB=60 ：求证：四边形ABCD是菱形.【答案】一/BAC=/ ACD .AB/CD 5 分 又 /ACB=/ CAD, .AD/ BC.四边形ABCD是平行四边形.6分 , AB=AC/