构造“三垂直”模型,求解“构成已知角度的直线”解析式

1、构造“三垂直”模型，求解“构成已知角度的直线”解析式【例1】如图1,在坐标系中， A (0, 4) , B (-2, 0) , OCX AB于点 C,求 OC【解析】(方法一)直线 AB的斜率为 2,故直线 OC的斜率为-1/2 ,所以OC解析 式为：y=-x/2 ;(方法二) 过点C作CD± y轴于点 D,过点B作BE，CD ,交DC延长线于点 E (如则4 BCEA DCOA ACO ABO bco ,BC : CO=BE : CD=BO : AO=1 : 2,设 C ( m, 2m+4 )，则：2(m+2) ： (0-m)=1 : 2,解得：m= -8/5 ,C ( -8/5

2、, 4/5) , OC 解析式：y=(4/5)/(-8/5)x=-x/2。方法二构建了土垂直”模型，利用比例关系解得点C坐标，再用 两点式”求解直线解析式，在此题中显得繁杂，但是揭开了解决此类问题的通用方法”。【例2】如图2,在坐标系中， A (-1, 0) , B (0, -3),直线 BC / ABC=45。，求 BC的函数表达式。泄产甲叼寺起手H作罡【思路】坐标。【解析】禾IJ用/ABC=45o构建等腰直角三角形，再构建三垂直模型过点 A作AD，BC于点D ;过点D作DE，x轴于点 E,过点”求出直角顶点B 作 BF ± ED,交ED延长线于点 F (如图2-1 )。图2；则4

3、 ABD为等腰直角三角形， AED BDF , DE=BF , AE=DF ;设 D (x, y),则：0-y=x ,x+1=y+3 ,解此方程组，得：x=1 , y=-1 , 1- D (1 , -1),直线BC解析式：y=(-1+3)/(1-0)x-3,化简得：y=2x-3.AC ± AB与x轴【练习1】如图L1 ,在坐标系中，A (-1 , 2) , B (5, -1),直线交于点C,求直线 AC的解析式。肉I11二弓仍国库*手工谆度【提示】用 斜率法”。【练习2】如图L2 , A ( 0, 1) , B ( 3, 0),直线 BC交y轴于点 C, / ABC=45 o , 求

4、BC的函数表达式。【例3】如图 3, A (-2, -4) , B (4, 0)，直线 BC交y轴于点 C, / ABC=60o , 求BC的函数表达式。: 揖的谬立亍工片呈【思路】利用特殊角构建直角三角形，再利用三边关系构建土垂直模型”。【解析】过点 A作AD，BC于点D ,过点 D作DE / x轴，过点 A作AE，DE于点 E,过点 B作BF, ED,交ED延长线于点 F (如图3-1 )。 .AD : DB=/3 : 1,易知 ADE s' BDF ,ED : FB=AE : DF"3 : 1 ;设 D (x, y),则：(x+2 ) : y=，3 : 1,(y+4)

5、: (4-x)=，3 : 1 ,解得：x=5/2-，3, y=3,3/2-1 ;D ( 5/2- V3, 3V3/2-1 ), BC 解析式：y=(3，3/2-1)/( 5/2- v/3-4)(x-4),化简得：【练习 3】如图L3, A ( 0, 1) , B (3, 0),直线 BC交y轴于点 C, / ABC=30o ,【提示】如图 L3-1 ,构建 三垂直模型”，求出点 D坐标。【例4】如图 4, A (0, -4) , B (4, 0),直线 y=-3x和直线 AB交于点 C,点P 是y轴上一点，且/ OCP=3 / OAB , ( 1)求点 C的坐标；(2)求直线 BP的函数表 达

6、式。土垂直【思路】易知/ OAB=45o ,所以/ OCP=135o , / OCP的邻补角为 45。构建 模型”求解点P坐标。【解析】(1)略。C (1 , -3);CG±y(2)过点P作PEXCP,交OC于点E,过点E作EFy轴于点 F,过点C， 轴于点G (如图4-1 )。 . / OAB=45o , ./ OCP=135o , / PCE= / PEC=45o；易知 PEFA PCG,G (0, -3)设 P (0, p) , E (e, -3e),则 p+3e=1 ,-3-p=e ,解得：p= -5 ,BP 解析式：y=5x/4-5 。【备注】也可以如图4-2那样构造 土垂

7、直”，求得 P坐标。【例5】(综合运用，2018天津中考第 25题)在平面直角坐标系中，点O (0, 0),点A (1 , 0)。已知抛物线y=x2+mx-2m(m 是常数)，顶点为 P。(1)当抛物线经过点A时，求顶点 P的坐标；(2)若点P在x轴下方，当 /AOP=45o时，求抛物线的解析式；(3)无论m取何值，该抛物线都经过定点H。当/AHP=45o时，求抛物线的解析式。【解析】(1)略。解析式：y=x2+x-2 , P (-1/2, 9/4);(2) P (-m/2 , - ( m2+8m )/4), P在x轴下方，- ( m2+8m ) /4 < 0,. . m > 0

8、或 m v -8 ; / AOP=45o ,OP 解析式：y= -x ,- ( m2+8m ) /4=m/2 ,解得m= -10 ,或m=0 (舍去)。，抛物线解析式：y=x2-10x+20 ;(3)易知 H (2, 4)。当点 P在AH下方时，过点 A作AB XHP于点B,过点 B作BC，x轴于点 C,过 点H作HD ± CB,交 CB延长线于点 D (如图5-1 )。初朝除娉工俏|图5-21物不偌需工田则4 ABH 为等腰直角三角形，ABCA BHD ,. HD=BC , AC=BD ;设 B (x, y),贝U D (x, 4) , C (x, 0),故：x-1=4-y ,x-

9、2=y ,解得：x=7/2 , y=3/2，.二 B (7/2, 3/2), 直线BH解析式为：y=(4-3/2)/(2-7/2)(x-2)+4,化简得：y= -5x/3+22/3 , P在直线 HB上，- (m2+8m) /4=(-m/2) (-5/3)+22/3 , 化简彳导:3m2+34m+88=0 ,解得： m=-22/3(m=-4 舍去)；.此时抛物线解析式为：y=x2 -22x/3+44/3 ;当点P在AH上方时，由知：斜率为 3/5, 故解析式为：y=(3/5 ) (x-2)+4 ,化简得： y= 3x/5+14/5 , P在直线 HB上，- (m2+8m) /4=(-m/2) (3/5)+14/5 ,化简彳导:3m2+34m+88=0 , 解得： m= -14/5(m=-4 舍去)； .此时抛物线解析式为：y=x2-14x/5+28/5 ;综上所述，当/AHP=45o时，抛物线的解析式为：y=x2 -22x/3+44/3 ;或 y=x2-14x/5+28/5 。【练习4】如图L4, A