次函数知识点总结及典型例题和练习极好

1、二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)知识点一：二次函数的概念和图像1 、二次函数的概念一般地，如果y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)，特别注意a不为零，那么y叫做x的二次函数。y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x 2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。2a抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点作图法：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M并用虚线画出对称轴(2)求抛物线y ax2 bx c与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两

2、个交点 A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到 点C的对称点Db将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次 函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y轴的交点C及对称点D。由 C M D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对 对称点A、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【例1】 已知函数y=x2-2x-3 ,(1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y轴的交点关于图象对称轴 的对称点。然后画出函数图象的草图；(2)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：(3)根据第(1)题的图象草图，说 出x取

3、哪些值时，y=0 ;y<0 ;y>0 知识点二：二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：(1) 一般式：y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)(2)交点式：当抛物线y ax2 bx c与x轴有交点时，即对应的一元二次方程ax2 bx c 0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2 bx c a(x x1)(x x2)，二次函数 y ax2 bx c可转化为两根式 y a(x x1)(x x2)。如果没有交点，则不能这样表示。(3)顶点式：y a(x h)2 k(a,h,k是常数，a 0)当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我们最好设顶点式，这样最简洁。【例1

4、】 抛物线y ax2 bx c与x轴交于A (1,0),B (3, 0)两点，且过(-1 , 16), 求抛物线的解析式。【例2】 如图，抛物线y ax2 bx c与x轴的一个交点A在点(-2, 0)和(-1 , 0)之间(包括这两点)，顶点C是矩形DEFGh (包括边界和内部)的一个动点，则：(1) abc 0(>或(或=)(2) a的取值范围是【例3】 下列二次函数中，图象以直线 x = 2为对称轴，且经过点(0, 1)的是()A, y = ( x ? 2) 2 + 1 B .y = ( x + 2) 2 + 1C. y = ( x ? 2) 2 ? 3 D . y = ( x +

5、2) 2 - 3知识点三：二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当b4ac b2x 时，y最值 。2a4a如果自变量的取值范围是x1 x x2,那么，首先要看b是否在自变量取值范围x1 x x2a内，若在此范围内，则当 x= 包时，y最值4ac b2 ;若不在此范围内，则需要考虑函数 2a4a在x x x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x x2时，y最大ax2 bx2 c,当x x1时，y最小ax； bx c;如果在此范围内，y随x的增大而减22小，贝当 x x1时，y最大 ax1 bx1 c,当x x2时，y最小 a

6、x2 bx2 c。y【例11已知二次函数的图像(0&x<3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内 下列说法正确的是()A.有最小值0,有最大值3 B.有最小值1,有最大值0C.有最小值1,有最大值3D.有最小值1,无最大值【例2】 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 l80元时，房间会全部 住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房 间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍).(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式

7、及自变量x的取值范围；(2)设宾馆一天的利润为 w元，求w与x的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大 ？最大利润是多少元？知识点四、二次函数的性质1、二次函数的性质函数二次函数图像a>0a<0y0xy0x性质(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸；(2)对称轴th x=, 2a顶点坐标是(包，4ac b2 );2a4a(3)在对称轴的左侧，即当x0 2时，y 2a随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x方 旦时，y随x的增大而增大，简记2a左减右增;(4)抛物线有最低点，当x= "b-时，y有 2a/u2日 1 /士4ac b取小值，y最小值4a(1)抛

8、物线开口向卜，并向卜无限延伸；(2)对称轴TH x=,2a顶点坐标是(上,4ac b2 );2a4a(3)在对称轴的左侧，即当x< -b"时，2ay随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x方 2时，y随x的增大而减小，2a简记左增右减；(4)抛物线有最高点，当 x= -b时，y2a有最大值，y最大值4a2、二次函数 y ax2 bx c（a,b,C1常数，a 0）中，a、b、c的含义:a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上a<0时，抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为x= 2ac表示抛物线与y轴的交点坐标：（0, c）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程

9、的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点横坐标。因此一元二次方程中的b2 4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点当>0时，图像与x轴有两个交点；当 =0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点。【例11抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是.【例2】二次函数y x2 2x 5有（）A. 最大值 5 B. 最小值 5C. 最大值 6 D. 最小值 6【例3】 由二次函数y 2（x 3）2 1,可知（）A.其图象的开口向下B .其图象的对称轴为直线x 3C.其最小值为1 D .当x 3时，y随x的增大而增大【例4】 已知函数y （k 3）x2 2x 1的图象与x轴有交

10、点，则k的取值范围是（）A. k 4B. k 4C. k 4且 k 3D. k 4且 k 3【例5】 下列函数中，当x>0时y值随x值增大而减小的是（）.2A. y = xB. y = x- 11D. y =x x【例6】 若二次函数y （x m）2 1 .当x&l时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A.m=l B . m >l C . m >lD. m < 1知识点五、二次函数图象的平移对于抛物线y=ax2+bx+c的平移通常先将一般式转化成顶点式y ax h2 k ,再遵循左加右减，上加下减的的原则化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶

11、点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。y ax2 bx c沿y轴平移：向上(下)平移m (m>0)个单位，y ax2 bx c变成 y ax2 bx c m (或 y ax2 bx c m)当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式y ax2 bx c:向左(右)平移 m (m>0)个单位，y ax2 bx c变成y a(x m)2 b(x m) c (或 y a(x m)2 b(x m) c)【例11将抛物线yx2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是()2222A.y (x 2) B.y x 2 C.y (x 2) D

12、. y x 2【例2】将抛物线y=x2 2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位等到的抛物线是 .【例3】抛物线y x2可以由抛物线y x 2 2 3平移得到，则下列平移过程正确的是()A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【补】抛物线y=2x2-3x-7在x轴上截得的线段的长度为 【公式】抛物线y=ax2+bx+c在x轴上截得的线段的长度为 知识点六：抛物线y ax2 bx c中，a、b、c的作用(1) a决定开口方向及开口大小，这与 y ax2中的a完全一样.(

13、2) b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线x 旦，故：b 0时，对称轴为y轴；b 0 (即a、b同号)时，对称轴在y轴左 2aa侧；b 0 (即a、b异号)时，对称轴在y轴右侧.口诀-左同，右异 (a、b同号， a对称轴在y轴左侧)(3) c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c, 抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点(0, c):c 0 ,抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b 0. a【例1】如图为抛物

14、线y ax2 bx c的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1,则下列关系中正确的是（）A. a+ b=- 1B. a b=- 1C . b<2aD. ac<0【例2】 已知抛物线y = ax2+bx+c（a w0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A. a>0 B . b<0 C . c<0 D . a+b+c>0【例3】如图所示的二次函数y ax2 bx c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1） b2 4ac 0 ; （2） c>1; （3） 2a- b<0; （4） a+b+c<0。

15、你认为其中附送的有（）A . 2个 B. 3个C. 4个D. 1个【例4】 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为 -,1 ,下 2列结论：ac<0;a+b=0;4acb2=4a；a+b+c<0.其中正确的个数是（）A. 1B. 2 C. 3 D. 4【例5】 如图，是二次函数y=ax2+ bx+c （aw0）的图象的一部分，给出下列命题：a+b+c=0;b>2a；ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;a-2b+c>0.其中正确的命题 是 .（只要求填写正确命题的序号）【例6】如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的.对称轴，则下列

16、关系正确的是（A. nn= n, k>hB . nn= n , k<hC. m>n, k=hD . mKn, k = h知识点七：中考二次函数压轴题中常用到的公式1、两点间距离公式：如图：点 A坐标为（x1，y1）,点B坐标为（x2, y2）,则 AB间的距离，即线段AB的长度为Jx x2 2 % y2 2（这实际上是根据勾股定理得出来的）2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（o y1）, B（x2,y2）,AB 中点 P 的坐标为（xp,yp）.由 xpx1x?xp ,得 xp1一x2,同理yp所以点坐标为）.3、两平行直线的解析式分别为：y

17、=k1x+b1, y=kzx+b2,那么k1=k2,也就是说当我们知道一条直线的k值，就一定能知道与它平行的另一条直线的 k值 4、两垂直直线的解析式分别为：y=k1x+b1, y=k2x+b2,那么k1 x k2=-1 ,也就是说当我们知道 一条直线的k值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的 k值。(对于这一条，只要能灵活 运用就行，不需要理解)以上四条，我称它们为坐标系中的“四大金刚”【例11如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= - x2+2x+3与x轴交于A . B两点，与y 轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求直线AC的解析式及B. D两点的坐标；(2)点P是x轴上一个动点，过

18、P作直线l/AC交抛物线于点Q,试探究：随着P点的运 动，在抛物线上是否存在点 Q,使以点A . P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.(3)请在直线AC上找一点M,使4BDM的周长最小，求出M点的坐标.【例2】 如图，已知抛物线y= - x2+bx+c与一直线相交于A (T, 0), C (2, 3)两点，与y轴交于点N.其顶点为D. (1)求抛物线及直线AC的函数关系式；(2)设点M (3, m),求使MN+MD的值最小时m的值；(3)若抛物线的对称轴与直线 AC相交于点B, E为直线AC上的任意一点，过点E作EF /BD交抛

19、物线于点F,以B, D, E, F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由；(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求 APC的面积的最大值.1 c 3【例3】 如图，抛物线y -x2 -x 4与x轴父于A, B两点(点B在点A的右边)，与y 42轴交于C,连接BC,以BC为一边，点。为对称中心作菱形BDEC点P是x轴上的一个动点， 设点P的坐标为(m, 0),过P作x轴的垂线l交抛物线于点Q(1)求点A、B C的坐标；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD BC于点M M试探究m为何值时，四 边形CQMD1平行四边形，此时,请判断四边形 C

20、QBMJ形状，并说明理由。(3)当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q,使，BDM直角三角形，若存在，请直接 写出Q点坐标；若不存在，请说明理由。【练习】1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示，正在甩绳 的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手 水平距离1m 2. 5 m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生内的身高是1. 5 m,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)()A. 1. 5 m B . 1. 625 mC. 1. 66 m D . 1. 67 m2. x 11 x0 32、已知函数

21、y2,则使y=k成立的x值恰好有二个，则k的值为()1 x> 3A. 0B. 1C. 2D. 33.二次函数y ax2 bx c的图象如图所示，则反比例函数 y9与一次函数y bx c在同 xy随x的增大而增大时,5.在平面直角坐标系中，交点旋转180。，所得抛物2A . y （x 1）2 2x的取值范围是.将抛物线y x2 2x 3绕着它与y轴的线的解析式是（）.2B. y （x 1）422C. y (x 1)2 D . y (x 1)46.已知二次函数yax2bx c的图像如图，其对称轴x1 ,给出下列结果b2 4ac法中正确的是 .（填写序号）抛物线与x轴的一个交点为（3,0）;函数y ax2 bx c的最大值为6;1抛物线的对称轴是x -;在对称轴左侧，y随x增大而增大.28 .如图，在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点A的坐标是（一2, 4）,过点A作AB,y 轴,垂足为B,连结OA（1）求4OAB的面积；（2）若抛物线yx2 2x c经过点A.求c的值；将抛物线向下平移 m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在 OAB勺内部 （不包括。朋的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）.9 、 “已知函数yx2 bx c的图象经过点 A （cj 2）,）,这个二次函数图象的2对称轴是x=3。”题目中的矩形