数列知识框架

1、高中数学第三章数列 考试内容：数列.等差数列及其通项公式.等差数列前 n项和公式.等比数列及其通项公式.等比数列前 n项和公式.考试要求：(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并 能根据递推公式写出数列的前几项.(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式，并能解决简单的实 际问题.(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式，井能解决简单的实 际问题.§ 03.数列知识要点an _m+ an -|m性 质1若 m + n = p+q® am +an =ap +aq若 m + n = p+q 贝

2、U aman =apaq。2若kn成A.P （其中kn W N ）则akn也为 A.P。若kn成等比数列（其中kn N ）,则akn成等比数列。3, sn , s2n sn,s3n s2n 成寸屋列。sn , s2n 一 sn , s3n - s2n 成等比数列。4n _1 ann_m anq = , q =a1am（m 丰 n）5看数列是不是等差数列有以下三种方法： an -anj =d（n 22,d为常数）2 an =an 1 an d （ n 2 ） an =kn +b （ n, k 为常数）.看数列是不是等比数列有以下四种方法：an =an/q（n至2,q为常数，且第0） a2 =an

3、+ an（n 22 , anan+an #0）注：i. b=VaC,是a、b、c成等比的双非条件，即b=VOC=a、b、c等比数歹!J.ii. b=VOC （ac>0） 一为a、b、c等比数列的充分不必要.iii. b=±后'一为a、b、c等比数列的必要不充分.iv. b =±而且ac0一为a、b、c等比数列的充要.注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac>0,则等比中项一定有两个.an =cqn（ c,q为非零常数）.正数列 an成等比的充要条件是数列 lOgxan （ X>1）成等比数列.s1 = a1 （n =1）数列 an的前n项和

4、Sn与通项an的关系：an = ： o 2小snsn（n 之 2）注:an印i*n1d =nd+(a_d ) ( d可为零也可不为零一为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列)一若d不为0,则是等差数列充分条件).等差 an前n项和Sn=An，Bnd n2+'ai- n 一 °可以为零也可不为零一为等差的充2 2 2要条件一若d为零，则是等差数列的充分条件；若 d不为零，则是等差数列的充分条件.可与常数列既可为等比数列，也可为等差数列.(不是非零，即不可能有等比数列)2 .等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍sS2kSk,S3ks2k；c cs 奇 an

5、若等差数列的项数为2ngN+),贝U S偶-$奇=nd，丁-;s偶 an书若等差数列的项数为2n -1(nN+), WJ S2n,=0n1 an ,且S奇S偶-£1 S偶"n_1二代入n到2n-1得到所求项数.3 .常用公式：1+2+3+门=啦上)2 12 22 32n2=nn 1 2n 162 13 .23 33 ngn一 2注:熟悉常用通项：9,99,999, => an =10n-1; 5,55,555,nan =3(10n1194 .等比数列的前n项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a,年增长率为r,则每年的产量成等比数列，

6、公比为1+r.其中第n年产量为a(1+r)n，且过n年后总产量为：银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r,每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1+r)n元.因此，第二年年初可存款：a(1 r)12 a(1 r)11 a(1 r)10 . a(1 r) =a1-r)1 -(1r . 1 -(1 r)分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.5 .数列常见的几种形式：and2 = pan+qan (p、q为二阶常数)t用特证根方法求解.具体步骤：写出特征方程x2 = Px+q (x2对应an七，X对应an+),并设二

7、根x1, x2若x1 #x2可设an.否xn、2X2 ,若x1=x2可设an =(c 用2n)xn ;由初始值 a1,a2确定c1 ,c2.an=Pan/4r (P、r为常数)t用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数 n转化为an节 = Pan44qan的形式，再用特征根方法求an ； an=c1%Pn(公式法)，c1,c2由a1,a2 确定.转化等差，等比： an 1 x =P(an x)=.an 1 = Pan Px _x=. x =.P -1选代法： an =Pan JL r =P(Pan/ r) r = -an=(a1 )PnJ_- =(a1 x)Pnx P -1P -1=Pn71

8、Pn 2 r+- 4Pr r .用特征方程求解：*n*n 4r炉目减，二an书-an = PanPan户an卡=(P+1) an-Pan. an =Panr由选代法推导结果： c1=-, c2 =a1 +-, an =c2 Pn1 = (a1+-) Pn'+-.1 1 -P 2 1 P -1 n 211 P -11 -P6.几种常见的数列的思想方法：等差数列的前n项和为Sn ,在df0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有 两种方法：一是求使an之0,an书Y0,成立的n值；二是由Sn = n2+(a1-d2)n利用二次函数的性质求n的 值.如果数列可以看作是一个等差数列与一

9、个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：1 L3L.(2n-1)工，2 42n两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1, d2的最小公倍数.2.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证an -an/')为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法：验证2a0书=a0+ aq an 122(an -1 = anHn 也)n 匚 N 都成乂°一一、一，Zm 2 0 一一一3.在等差数列 an中，有关Sn的最

10、值问题：(1)当a1>0,d<0时，满足m 的项数mLam 书0一 .一 .一 Ze M0 一 使得sm取最大值.(2)当a1<0,d>0时，潴足m 的项数m使得Sm取最小值。在解含绝©m书至0对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。(三)、数列求和的常用方法1 .公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法：适用于其中 a。是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法：适用于留。其中 a。是等差数列，>是各项不为0的等比数列4. 倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论n(n 1)