上海数学初三中考冲刺讲义5(几何证明)培优(教案)【陈玉婷】

1、志航教育学科教师辅导讲义学员编号：年 级：课时数:学员姓名：辅导科目：学科教师：教学内容限速训练但下列计算正确的是（）选：（本豺叫6题,4每题4加满含24介）223 n , 2、35A.a a a； B.a a a； C.aa a； D.（a） a.2.关于x的万程x mx 1 0根的情况是（）A.有两个不相等的实根；B.有两个相等的实根；C .没有实数根；D ,不能确定.1,已知反比例函数y 的图像上有两点A（Xi, yi） , B（X2, 丫2），且, x2,那么下列结论中，正确的是（）xA. y1y2;B . y1y2；C. yiy2 ；d . y1与y2之间的大小关系不能确定.如果一组

2、数据a1 , a2,，an的方差S2 0 ,那么下列结论一定正确的是（）A .这组数据的平均数 x 0；B. a a2 Lan；C . a a2 L an 0 ；D. a a? Lan .若一个多边形的内角和等于900°,则这个多边形的边数是（）A . 8;B . 7;C . 6;D . 5.一个正多边形绕它的中心旋转 36。后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（）A.是轴对称图形，但不是中心对称图形；B .是中心对称图形，但不是轴对称图形；C .既是轴对称图形，又是中心对称图形；D .既不是轴对称图形，也不是中心对称图形.填分解因式x3 9x .:（本大题共12题，每题4

3、分，满分48分）8.个4的平方根.计算：22x 2 x,已知 f x jx6 当 f a a 时，a .2.如果将抛物线 y x 3向左平移 2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后的抛物线表达式是.22x.已知x xy 2y 0 y 0 ,那么一 y13 .某校学生志愿服务小组在学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问孤寡老人，如果给每位老人分5盒牛奶,则剩下38盒牛奶。如设敬老院有 x（x 0）名老人，则这批牛奶共有 盒.（用含x的代数式表示）1、2、3,从这三张卡片中随机同时抽取两张，用抽14,有三张大小、形状完全相同的卡片，卡片上分别写有数字 出的卡片上的数字组成两位数，这个两位数是偶

4、数的概率是uuur uuu15 .如图，梯形 ABCD 中，AB / CD, AB 2CD , AD a , ABuuu表示向量AC 16 .已知两圆的圆心距为 4,其中一个圆的半径长为 3,那么当两圆内切时，另一圆的半径为17 .将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面线”，例如圆的直径就是它的“面线”.已知等边三角形的边长为2,则它的“面线”长1 _, DBC沿着CD翻折后，点B3可以是 （写出2个）.18 .如图，在 ABC中，Z C 90°,点D为AB的中点，BC 3, cosB落到点E ,那么AE的长

5、为.三、解答题：（本大题共 7题，t分78分）19 .（本题满分10分）2a2 2a 1 11先化简，再求值：a 21 -，其中a短.a2 1 a a 120 .（本题满分10分）3x 7<2 1 3x解不等式组：x 3 3x 1并把它的解集在数轴上表示出来.11111111L.24-2-1012345参考答案:、选择题（本大题共 6题，每题4分，满分24分）1 . C ; 2 . A; 3 . D ; 4. B ; 5. B ; 6. C .二、填空题（本大题共 12题，每题4分，茜分48分）_-X24x4 一一_2，17. x x 3 x 3 ; 8. J2 ; 9.,;10. 3;

6、 11. y x 2 ； 12. 1 或一2; 13. 5x 38; 14. _ ；2x2 2x3115. a -b; 16. 7; 17. J3 或、；2; 18. 7.2三、解答题（本大题共七题，19-22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分，满分78分）19. 3Q（原式=-一1 .）2a20. 1x1.几何证明一、专题知识梳理（一）平行四边形1 .两组对边分别平行的四边形叫做 平行四边形.2 .平行四边形的 性质定理1:如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等.简述为：平行四边形的对边相等.平行四边形的 性质定理2:如果一个四边形是平行四边形，那么这个

7、四边形的两组对角分别相等.简述为：平行四边形的对角相等.夹在两条平行线间的平行线段相等.平行四边形的性质定理3:如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分.简述为：平行四边形的两条对角线互相平分.平行四边形的 性质定理4:平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.3 .平行四边形的判定定理1:如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形.简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形的 判定定理2:如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形.简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.平行四边形的 判定定理3:如

8、果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形的 判定定理4:如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形.简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（二）特殊的平行四边形1 .有一个角是直角的平行四边形叫做 矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做 菱形.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2 .矩形的性质定理1:矩形的四个角都是直角.矩形的性质定理2:矩形的两条对角线相等.菱形的性质定理1:菱形的四条边都相等.菱形的性质定理2:菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.正方形的

9、性质定理1:正方形的四个角都是直角，四条边都相等-正方形的性质定理2:正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角3 .矩形判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形.矩形判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形.菱形判定定理1:四条边都相等的四边形是菱形.菱形判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(三)23题常考题型要点1 .通常第一小问用全等三角形的证明；2 .通常第二小问用到相似三角形的证明；3 .通常第一小问的结论和方法用到第二小问。、专题精讲【题型一：四边形的证明】例1：如图，在梯形 ABCD中，AD/BC, AB CD ,对角线 AC与BD交于点O, OE B

10、C ,垂足是E .(1)求证：E是BC的中点；(2)若在线段BO上存在点P,使得四边形 AOEP为平行四边形.求证：四边形 ABED是平行四边形.BAEDC.在梯形 ABCD 中，AD / BC, AB=CD ,8 / 34，AC=BD ,又 BC=CB .ABC DCB/ ACB= / DBC . OEXBC, E是垂足 . E是BC的中点(2)二四边形 AOEP为平行四边形.AO / EP, AO=EPE是BC的中点 .PE= 1OC 2. AD / BC.AD AO PE 1BC OC OC 2.AD=BE，又 AD / BE四边形ABED是平行四边形(1分)例2:已知，如图，ABC和R

11、t CDE中，AE中点，联结DM ,交AC于点G ,联结MD(1)求证：MB MD ；(2)当AB BC, DC DE时，求证：四边形ABC CDE 90 ,且BC与CD共线，联结AE ,交CE于点H ；MGCH为矩形；【解析】(1)方法一：取BD中点P,联结MP, . /ABC=/CDE =90 ,，/ABC+/CDE = 180 ,，AB/ED , （1 分） 点M为AE中点，点P为BD中点，. MP/AB , （1分）丁./ MPD= / ABC= 90 ,即MPXBD,. MP为线段BD的垂直平分线， （1分）MB=MD （1 分）方法二：延长BM ,与DE的延长线交于点 T, （ 1

12、分） . /ABC=/CDE = 90 ,，/ABC+/CDE = 180 ,，AB/ED ,/ ABM= / MTE ,又. / AMB= ZEMT，点 M 为 AE 中点， . AM里 EMT （1 分）BM=TM , （ 1 分）. /CDE = 90 , EDXBD , /. DM= - BT , （1 分）2DM=BM。 （1 分）（2）方法一：取 BD 中点 P,联结 MP, BP= 1 BC= 1 （BC+CD）,22 AB/ED，点 M 为 AE 中点，. MP = 1 （AB+DE ）,2 .AB=BC , DC=DE , . BP= MP, （2 分）MP± BD

13、, . MBP =45 , （1 分）又DC=DE , / CDE = 90 ,ECD= 45 ,，BM/CE同理DM/AC，四边形 MGCH为平行四边形， （2分）AB=BC , Z ABC= 90 , . ACB= 45 ,同理/ ECD= 45 , . . / ACE= 90 , - （1 分） 四边形 MGCH为矩形 （1分）方法二：延长BM ,与DE的延长线交于点 T, AM望 EMT； AB=ET , AB=BC , BC= TE , （1 分）DC=DE , BC TE, . CE/BT （1 分）DC DE ./ BMD+ / MHC= 180 , BC= TE , DC=DE

14、 , . BC+DC=TE+DE ,即 BD=TD , BM=TM , DM ±BT ,即/ BMD= 90 , （2 分） ./ MHC= 90 , （1 分）又 AB=BC , / ABC= 90 ,ACB= 45 ,同理/ ECD= 45 ,ACE= 90 , - （1 分）13 / 34（1分）四边形MGCH为矩形例3:已知：如图，在梯形ABCD 中，AD / BC, ABC 90o,BC 2AD ,点 E 是 BC 的中点,F是CD上的点，联结AE、EF、AC.（1）求证：AO OF OC OE(2)若点F是DC的中点，联结 BD交AE于G点，求证：四边形 EFDG是菱形.

15、【解析】（1）二点E是BC的中点,BC 2EC 2BE .又. BC 2AD,1分分分分EC AD . AD / EC ,.四边形AECD为平行四边形.AE / CD ,AO OE 即 AO OF OC OE .OC OF(2) .点E是BC的中点，F是CD上的点,1 EF / BD且 EF BD . 2又 AE / CD ,四边形EFDG为平行四边形.AD平行且等于BE四边形ABED是平行四边形.又 ABE 90 ,四边形ABED是矩形.1分1 _1 -BD AE 且 EG -AE _BD2 分 22EG EF ,，四边形EFDG是菱形2分例4：已知：如图，在中Rt ABC中，ACB 90

16、,AC BC ,点E在边AC上，延长BC至D点，使CE CD,延长BE交AD于F ,过点C作CGBF，交AD于点G ,在BE上取一点H ,使 HCE DCG .(1)求证：BCE ACD；(2)求证：四边形FHCG是正方形.【解析】(1) ; ACB 90 ACD ACB 901 分V AC BC CE CD2 分BCE ACD1 分(2) : BCE ACD . . DAC EBC1 分 AEF CEBAFE BCE 90 BFG 901 分CG BF CGF AFE 901 分HCE DCG GCH ACD 901 分 四边形FHCG是矩形1分CGDCHE 90 HCEDCG CE CD1

17、 分 CDGCEH CG CH1 分 四边形FHCG是正方形1分例51：如图，在梯形 ABCD中，AD/BC, BD平分 ABC, BAD平分线交BC于E ,联结ED .(1)求证：四边形 ABED是菱形； 当 ABC=60 , EC BE时，证明：梯形 ABCD是等腰梯形.ABEC【解析】（1） . AD / BC, . ADB DBC,又 ABD DBC , . ABD ADB .AB AD .（2 分）同理有AB BE .（1分）AD BE .又. AD / BE .四边形ABCD为平行四边形.（2分）又 AB BE .Y ABED为菱形.（1分）（2） AB BE, ABC 600,A

18、BE为等边三角形.（2分）AB AE .又 AD BE EC , AD / EC .，四边形 AECD为平行四边形.（2分）AE DC .AB DC .，梯形ABCD是等腰梯形.（2分）【题型二：比例线段的证明】例1:已知：如图，在 ABC中，AB=AC点D、E分别在边 AG AB上，DA=DB BD与CE相交于点F, / AFD叱BEC求证：（1） AF=CE（2） BF2 EF AF .【解析】（1） ; DA DB , .Z FBA =/ EAC ,2 分 / AFD =/ BEC , .1800- / AFD =1800- / BEC ,即/ BFA =Z AEC .2 分 BA AC

19、 ,. BFAA AEC .1 分 AF CE .1 分(2) BFA，AEC ,BF AE .1 分 Z EAF =/ ECA, / FEA =Z AEC,.l. EFAA EAC .2 分,EA EF .EC EAEA2 EF CE . EA BF , CE AF , BF2 EF AF .例2：点E是正方形 联结EF ,点M、BE .ABCD边BC上的一点(不与B、C重合)，点F在CD边的延长线上，且满足DF N分别是EF与AC、AD的交点.(1)求 AFE的度数;(2)求证:CECMACFC42 / 34【解析】(1)在正方形 ABCD 中，/ B= / ADC= / BAD=90 &

20、#176; , AB=AD1 分 .DF=BE, /B=/ADF=90° , AB=AD , /. ABEAADF1 分AE=AF , / BAE= / DAF2 分/ EAF= / EAD+ / DAF= / EAD+ / BAE= / BAD=90 °1 分 AE=AF , . AFE= ZAEF1/ AFE= / AEF= - 90451 分2(2)二.四边形 ABCD是正方形，ACD=45 °1分/ AEF=45AEF= / ACF1 分又. / AME= / FMC1 分.-.ABE ADF2 分CE AC.八 1分 CM FC【题型三：其它】例1:如图

21、，RtABC中， ACB 900, D是边BC上一点，点E、F分别是线段 AB、AD中点，联结CE、CF、EF .(1)求证： CEF AEF ;(2)联结 DE ,当BD 2CD时，求证： DE AF .【解析】(1)考察了中位线；斜边中线等于斜边一半；等腰、平行得到角平分线(S.A.S)(2)四边形CFED是平行四边形(平行且相等)，所以 DE=CF=AF例2:如图，在平彳f四边形 ABCD中，AELBC于E, AFLCD于F。(1)求证：CD DF BC BE ；(2)若 M、N 分别是 AB、AD 中点.，且/ B=60° ,求证：EM/FN.【解析】(1) ABEsafd(

22、2)延长EM、DA交于点P,证明/ P=/FND=60例3:如图，已知在正方形 ABCD中，点E在CD边上，过 C点作AE的垂线交于点 F,联结DF ,过点D作DF 的垂线交AF于点G,联结BG.(1)求证： ADGACDF ;(2)如果E为CD的中点，求证：BGXAF.【解析】(1)二.四边形ABCD是正方形 .AD=DC, / ADC=90° . GDXDF, ./ GDF=90° ./ ADG=Z CDF .CFXAF, ./AFC=90°, ./CFD=90° +/DFG . / AGD=Z GDF+Z DFG =90° + / DFG

23、 ./ AGD=Z CFD . ZxADGACDF . / ADE = Z EFC, /DEA=/FEC,ADEACFE ,DEEFADFC一. DE 1 E为CD的中点，DC 2DEAD/A ADGACDF , FC=AG ,EFAGEFFCECEFECABAGAB/AB/ EC,FEC= Z GAB. EFCc/dA AGB ./ EFC=ZAGB=90°BGXAF三、专题过关检测题1 :己知：如图，在菱形ABCD中，点E、 F分别在边BC、CD,BAF = / DAE ,BD交于点(1)求证:BE=DF(2)当要DF=叫时，求证:FC DF四边形 BEFG是平行四边形.【解析】

24、2012年中考23题(1)利用 AB图 ADF7 (A.S.A)-BC,，AD AD DG dF DF BEGBFC .GF/ BE 易证 GB=BE 四边形BEFG平行四边形检测题2:如图，在 ABC中，点 D、E分别在边 BC、AC上，BE、AD相交于点 G, EF / AD交BC于点F,2且 BF BDgBC ,联结 FG。(1)求证：FG/CE;(2)设/ BAD= /C,求证：四边形 AGFE是菱形。1分2分1分1分【解析】(1) . BF2 BDgBC ,BF BD, . BC BF EF / AD ,BG BD .BE BFBG BF . BE BCFG / CE.(2)联结AF

25、 ,交GE于点OABD CBA, ABD CBA.AB BD-,即 AB2 BDgBC .BC AB2. BF BDgBC ,AB BF . EF / AD , FG / CE ,四边形AGFE是平行四边形.AO FO .又 AB BF ,AF GE .由四边形AGFE是平行四边形，1分1分1分1分1分1分可得四边形AGFE是菱形.检测题3:如图，在正方形 ABCD中，E为对角线AC上一点，联结EB、ED ,延长BE交AD于点F .(1)求证： BEC DEC;(2)当 CE CD 时，求证：DF2 EF BF .(2分)【解析】（1） 四边形 ABCD是正方形，BC CD,且 BCE DCE

26、又 CE是公共边， BECa DEC ,(2分)/ BEC =/ DEC（1 分）联结BD（1分）.CE CD ,/ DEC =/ EDC（1 分）/ BEC=z DEC , / BEC =/ AEF ,/ EDC=/ AEF ./ AEF+/ FED=Z EDC+/ ECD,/FED=/ECD（1 分）.四边形ABCD是正方形,11/ ECD = 2 7 BCD =45 , / ADB = 2Z ADC = 45 ,Z ECD=z ADB（1 分）/ FED =/ ADB .（1 分）又/ BFD 是公共角， FED FBD ,(1 分)EF DFDF2BF，即 DF2 EFgBF（1 分）

27、检测题4:如图，在梯形ABCD中，AD / BC , BCD 90 , BC DC ,点E在对角线BD上，作 ECF 900, 连接DF ,且满足CF EC .(1)求证：BD DF ;(2)当BC2 DE DB时，试判断四边形 DECF的形状，并说明理由.【解析】（1 ） . BCD ECF 90 ,BCE. BC DC , EC CF ,BCE DCF EBCFDC BC DC, BCD 90 , DBCBDC 45 FDC 45 ,FDB 90BD DF（2）四边形DECF是正方形. BC2 DE DB, BC DC ,DC 2 DE DB ,DC DE DB DC（1分）（1分）（1分

28、）（1分）（1分）（1分）（1分）（2分）CDE BDCCDE s bdc（1 分）, DEC DCB 90（1 分）. FDE ECF 90 , ，四边形DECF是矩形（1分）. CE CF ,，四边形DECF是正方形检测题5:如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，联ZBE、DF , DF交对角线AC 于点G ,且DE DG ;（1）求证：AE CG;（2）求证：BE / DF ;【解析】（1）二.四边形ABCD是正方形，AD=CD.1 分DAE DCG . 1 分, DE=DG, DEG DGE .1 分AED CGD .1 分在3ED与4CGD中，DAEDCG ，

29、 AEDCGD ， AD=CD,AAEDACGD.1 分，AE=CG.1 分(2)二四边形ABCD是正方形， .AD/BC.1 分.CG CF.i 分AG AD- AE=CG. AC AE AC CG ,即 CE =AG.1 分四边形ABCD是正方形，AD=BC.1 分CG CF.八 .1 分CE BCBE/DF.1 分、能力培养3例1：如图，在 ABC中，AB AC 10, cosB -，点D在AB边上(点D与点A、B不重合)，DE/BC 51 .父AC边与点E ,点F在线段EC上，且EF AE ,以DE、EF为邻边作平行四边形 DEFE联结BG . 4(1)当EF FC时，求 ADE的面积

30、；(2)设AE x,DBG的面积为y ,求y与x的函数关系式，并写出 x的取值范围；(3)如果 DBG是以DB为腰的等腰三角形，求 AD的值.【解析】1）作AH BC 于 H，在 RtAHB 中，cosBBHABAB 10,BH 6 ,AH 8 AB AC , BC 2BH 12,（1分）DE/BC , ADE s ABC ,S ADES ABCAEAC（1分）一 1.八EF AE, EF FC, 4（1分）AE 4 2 一 一,AC 6 3S ADE 4 ADE ,489（1分）S 64S ADE 3（2）设 AH 交 DE、GF 于点 M、NDE/BC ,AE AM DEAC AH BC

31、AE x,46（1分）AM 4 x DE 6x , 5511 MN 1AM lx45 '（1分）NH 8 x一S DBGSB形 DBCGS平行四边形 DGFES梯形 GBCF1 64y x 12 8 x2 556x 1x 1 6x 12 8 x552 5-3-x2256-x5（2分）（3）作 FP BC于P, GQ BC于Q53在 Rt FPC 中，FC 10 -x,cosC cos ABC 45639BQ 12x 6-x6x54202（2分）BG 8 x 26 9 x201在 DBG 中，DB 10 x, DG 1x 4（2分）1.右DB DG,则10 x x ,解得x 8 42若

32、DB BG,则 10 x J 8 x26 x20解得x10舍去，X256081（2分） AD 8或 AD56081例2：如图1,在Rt ABC中， CAB 90°, AC 3, AB 4,点P是边AB上任意一点，过点 P作PQ AB交BC于点E ,截取PQ AP ,联结AQ ,线段AQ交BC于点D ,设AP x , DQ y .(1)求y关于x的函数解析式及定义域；(2)如图2,联结CQ ,当 CDQ和 ADB相似时，求x的值；(3)当以点C为圆心，CQ为半径的。C和以点B为圆心，BQ为半径的。B相交的另一个交点在边 AB 上时，求AP的长.【解析】（1）过点D作DM AC ,垂足为

33、M .由题意，可知APQ是等腰直角三角形,易得 CMD sCAB.CMDMCAAB设CMDM 4x .AMAM12 AD y（注：其它解法参照评分.）. CDQ ADB ,ADB相似时，分以下两种情况:1 当 QCDB时，CQ / AB ,易得四边形 CAPQ是正方形;x APAC 3.2 当 QCD CDQAB 时，ADQDBD，由上述（. 一 _151）的解法，可得CD , BD7207.12 2y715720 一,725. 2y k12,2x 一 ：225, 2 丘 /口,解得14综合1、2 ,当 CDQ和 ADB相似时,(3)如图，设。C与。B相交的另一个交点为M ,联结QM交BC于点

34、N .BCQM , QNMN.易得 BMNs CAB, QPM s cab.MNBNAC 3AB设MNBN4t. BM5t.QM6t ，p PQ. BQBMBP7t 5又APPQ24t5. 24t 5AP解得t203124 209653131作业1:已知：如图，在 口 ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于 点 G、H .(1)求证：DH =HG = BG ;(2)如果AD ± BD ,求证：四边形 EGFH是菱形.【解析】(1)二.四边形 ABC比平行四边形，AB/CD, AB=CD点E、F分别是 AR CD的中点,DHDFDF1. HBABC

35、D21DH=-BD .31同理：BG=1BD .31 DH=HG=GB=BD .3（2）联结EF,交BD于点O.AB/CD, AB=CD 点 E F 分别是 AR CD的中点,FO OD DFEO BO BE1 .FO=EO DO=BO（1分）（2分）（1分）（1分）（1分）（1分）（1分）（1分） DH=GB OH=OG 四边形 EGFK平行四边形.（1分） 点E、O分别是 AR BD的中点，OE/AD. ADL BD,EF± GH（1 分） HEGF 菱形.（1 分）作业2:如图，已知ED/BC , GB2 GE GF .(1)求证：四边形 ABCD为平行四边形；(2)联结GD,

36、若GB=GD ,求证：四边形 ABCD为菱形.【解析】(1) ; ED/ BCGBGC分1GEGAGB2GE GF ,.GBGFGFGCGEGB分2GBGAAB/ CF,即 AB/ CD2分又 ED/ BCAB/ CF,即 AB/ CD2分又 ED/ BC 四边形ABC虚平行四边形1分(2)联结BD交AC于点O1分四边形ABCM平行四边形BO=DO2分 GB=GD OGh BD即 ACL BD2分又四边形ABC虚平行四边形四边形ABC虚菱形1分作业3:如图，已知 ABC是等边三角形，点 D是BC延长线上的一个动点，以 AD为边作等边 AADE ,过点 E作BC的平行线，分别交 AB、AC的延长线于点F、G ,联结BE .(1)求证： AEB © ADC ;(2)如果BC CD,判断四边形 BCGE的形状，并说明理由.【解析】(1) .ABC AADE为等边三角形，AB AC,AE