中考数学压轴题专项汇编专题全等三角形的存在性

1、专题25全等三角形的存在性破解策略全等三角形的存在性问题的解题策略有：(1)当有一个三角形固定时(三角形中所有边角为定值)，另一个三角形会与这个固定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识(画图).或列方程来求解.(2)当两个三角形都不固定时(三角 .形中有角或边为变量)，若条件中有一条边对应. 相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角 对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等. 例题讲解例1如图，在平面直角坐标系中， 抛物线y= ax2 + bx+4与x轴的一个交点为 A(2, 0),与y轴的交点为

2、C,对称轴是x=3,对称轴与x轴交于点B.(1)求抛物线的表达式；(2)若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P,使彳PB陛 PBC若存在，求点 P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若点M在y轴的正半.轴上，连结 MA过点M作MA勺垂线，交抛物线的对称轴于点 N.问：是否存在点 M使以点 M A N为顶点的三角形与 BAN全等？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由题意可列方程组C,C14a 2b 40ab, 解得 4332ab-21 / 6所以抛物线的表达式为y1x2 2x 4.42(2)显然 OA= 2, OB= 3,OC= 4,所以 BC JO?OC2 5 BA

3、.若A P B* PBC 则 BD=BC= 5, PD= PC所以D为抛物线与X轴的左交点或右交点，点 B, P在CD勺垂直平分线上,若点D为抛物线与X轴的左交点，即与点 A重合.如图1,取AC的中点E,作直线BE交抛物线于P1 （X1,此时 RB笫 RBD PBe P2 BD.y。, F2 (X2. v2 两点.由A C两点的坐标可得点E的坐标为（一1, 2).所以直线BE的表达式为yy联立方程组y1-X21 2-X4323-X2Xiyi4261月，2X2y24261 726 ,所以点Pi, P2的坐标分别为（1 寸26 ). (4+726,2若D为抛物线与X轴的右交点，则点 D的坐标为（8

4、, ,0）.如图2,取CD的中点F.作直线BF交抛物线于P3 （X3, y3）, P4（X4, , y"两点.此时 RBB RBD RBB P4 BD. 由C D两点的坐标可得点 F的坐标为（4,2),所以直线BF的表达式为y= 2x 6.y 2x 6联立方程组 12 3y x - X42X3y3412 41X4y41418 2 41所以点.R, P4的坐标分别为（一1 +8+2 历），（1 V41 , 8 2441 ),综上可得，满足题意的点 P的坐标为（4 一侬，1幅2（4+联，(1+ J41 , 8 + 2 )41 )或(一1 4 41 , 8 2g41).(3)由题意可设点

5、M (0, mi, N (3, n),且贝U AM= 4+m2, MN= 9+ (mn n) 2, 所以 AMNf ABN等有两种可能: 当A阵AB, MN= BN时，BN=n2.m> 0,而/ AMM / ABN= 90°,、4可列方程组492(m n)2 n2 解得m1n1215721 ；m2n2215国(舍)，7所以此时点M的坐标为（0,扬）.当A阵NB MN= BA时，可列方程组:m2n2n)2259(m2 / 6mi解得ni3252m232 （舍）52所以此时点M的坐标为（0,9）.2综上可得，满足题意的点 M的坐标为（0,闵）或（0, 3）.2例2如图，在平面直角坐

6、标系 xoy中， ABQ等腰直角三角形，/ ABO 90 °,点A的坐标为（4. 0）,点B在第一象限.若点 D在线段BOk, OD= 2DB点E F在 OAB勺边上，33338 / 6当点F在OA上时，（i ）若 DF实 DFE点E在OA±.如图1.此时DF±OA所以OF= K2OD=-,所以OE= 2OF=-,即点E的坐标为（8,0）.2333（ii）若 DF挈 DFE=点F在AB上，如图2.此时 ED= OD= 2BD 所以 sin/BED= -BD =-;所以/ BED= 300, ED 2从而 BE= 3 BD= 2-6 , AE= 6 2 2 6 .3

7、3过点 E 作 EGL OA于点 G 则 EG= AG= AE= 2 2-, 23所以OG= 2 23,即点E的坐标为（2 迪，2 &5 ）.333图3（iii）若 DF挈 FDtE点E在AB上，如图3.此时DE/ OA所以BD= BE 从而AE= OD=逑，3过点 E 作 EGL 0叱点 G 则 EG= AG= 2AE= 4 ,所以OG= 8,即点E的坐标为（8,4）.当点F在AB上时，只能有 ODFAFD如图4.此时DF/ 0A.且点E与点A重合，即点E的坐标为（4, 0）.综上可得，端足，条件的点E的坐标为（8,0）,3（2 R3, 2 巫）,（8, 3）或（4, 0）.3333

8、迸阶训练1 21 .如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 y =万乂2 - 3x-8与y轴变于点C.-4直线l ； y = - x与抛物线的对称轴交于点 E.连结CE探究；抛物线上是否存在一点F,3使得 FO碎 FCE.若存在，请写出点 F坐标；若不存在，请说明理由.答案：存在点F的坐标为（3- 斤，4）或（3+J17, 4）2.如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线11过点A （1, 0）且与y轴平行.直线12k过点B（0,2）且与x轴平行，直线11与12相交于点P. E为直线12上一点，反比例函数y = -x（k>0）的图象过点E且与直线11相交干点F.一(1)若点E与点P重

9、合，求k的值；(2)是否存在点E及y轴上的点M使得以点M E, F为顶点的三角形与 PEF全等? 若存在，求点E的坐标：若不存在，请说明理由.,y12 BOA11备用图答案：(1) k=238(2)存在点E的坐标为(-,2)或(2 , 2)83【提示】(2)易得点E(2), F (1, k).如图1,当k<2时，只能有 MEFA PEF过31点F作FHL y轴于点H,易证 BME HFM用k表不相关线段的长度，从而得到BM=-,2再解RtBME彳寻k=-,所以点E的坐标为(3,2);如图2,当k>2时，只能有488 ME自 PFE 过点F作FQL y轴于点Q同可得点 E的坐标为(？

10、，2)33.如图，抛物线 y = ax2 + bx + c经过 A (- J3 , 0), B ( 3J3, 0), C (0, 3)三点,线段BC与抛物线的对称轴交干 D,该抛物线的顶点为 P,连结PA AD.线段AD与y轴相交 于点E.(1)求该抛物线的表达式；（2）在平面直角坐标系中是否存在一点Q使以Q, C, D为顶点的三角形与 AD库等?若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.答案:(1)抛物线的表达式为y = -1x2 + R3x + 333（2）存在点 Q 的坐标为（3跖,4）, （ J3, 2）, （-2阴，1）或（0, 7）.【提示】（2）方法一：易求直线 BC y = - -x + 3 ,从而点D的坐标为（J3, 2）,可得3C氏PD所以4 QCD<AD的等有两种情况.设点 Q坐标，通过两点间距离公式列出QCQD AP AD的长.再分类讨论列方程组，从而求得点Q点坐标.方法二：连接 CP,易证 CD四等边三角形，/ ADC= 60° ,所以/