浙江省2018年12月重点中学高三期末热身联考数学试题(解析版)

1、2018年12月浙江省重点中学高三期末热身联考数学试题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1 .已知 M = kx A , x = x|x3 2x-H < 0),则 YRN=()A. | 4."： B. ; . 4| C.D.【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合N,再由交集的定义可得结果【详解】利用一元二次不等式的解法化简集合N= x|x2-2x-S<0 = x|因为 M=x|xAI,所以 MHN=x| I=<,故选 B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元

2、素间的关系，本题实质求满足属于集合且且属于集合B的元素的集合.八 一 g' 1 I 2i2 .已知为虚数单位，复数 z =:,忆L () 1A. 1 B. 2 C. . D. 5【答案】C【解析】【分析】 根据复数模长的定义直接进行计算即可.【详解】L,I -I 2i=3i1故选：Co【点睛】本题主要考查复数的运算及复数长度的计算，比较基础.3 .已知双曲线 弓一一 =的一条渐近线方程为¥=展,则该双曲线的离心率是()A. B. C. 2 D.33【答案】D【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程求出 a,然后求解双曲线的离心率即可.【详解】双曲匕-x'l的渐近线方程为

3、：y=±ax,由题可知：一依，所以= 即：g = 2 ,所以 a2双曲线的离心率为：4=阻之=生,a63故选：D。【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.4 .已知匚氏n匚"A 口 =】，则“ ml n”是“ ml”的A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】构造长方体ABCD-AiBiCiDi,令平面a为面ADDiAi,底面ABCD为0,然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为 m, n即可进行判断.【详解】如图，取长方体ABCD-AiBiCiDi,令平面a为面ADDiAi,底面ABCD为

4、0,直线陋=直线I。若令ADi = m, AB=n,则m± n,但m不垂直于：若m，l,由平面ABCD 1平面ADDiA可知，直线m垂直于平面 由所以m垂直于平面B内的任意一条直线m，n是m，l的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考点有两个：考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从m±n? mH ?和m1 ? m1n?两方面进行判断；是空间的垂直关系，一般利用长方体为 载体进行分析.x sjnx5 .函数y =的大致图像是【答案】A【解析】【分析】通过函数的变化趋势，推出结果即可.【详解】当x<0,且无限趋近于0时，f (x) < 0,排除B,C

5、,当x> + g时，ex > x" > x3|sinx| > x3sinx ,且指数哥/变化较快，故RxJT),排除D。故选：A【点睛】本题考查函数的图象的判断，考查计算能力.6.1Q展开式中,1的系数是A. 80 B. 8。 C. 40 D.一 40【答案】B【解析】 【分析】 由二项式定理的通项公式列方程，求出求出;项的系数即可。,所以的系X 一x【详解】由二项式定理的通项公式得：丁-1=需"），令,解得：二 数为：C；/11-以=-&0 故选：Bo【点睛】本题考查二项展开式中1的项的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识, x考

6、查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题.x-y + I > 07 .已知实数x、y满足约束条件 x + y-1 >0 ,则工=x十的的取值范围是（）,x-2y <0A. I ',-I B. 二用 C. I" ' ' D. I< 1【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可.【详解】如图，作出不等式组表示的平面区域，1 z1 z1 z1 z由z=x+4y可得：y =平移直线y = -J< I由图像可知：当直线y = G过点B时，直线V =一94,的

7、截距最小，此时Z最小。将代入目标函数得：小皿=x4y = j,故选：Co【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利 用数形结合是解决问题的基本方法.I8 .已知函数ffx) = |-4sinxcosx|,若=-f(x十日)恒成立，则实数 a的最小正值为 兀兀A. 2 B. C. D.24【答案】D【解析】【分析】由f(x-日)=-f(x+日)可判断函数f(x)的周期为4a ,求出f(x) = |- - 4sinxcosx的最小正周期，列不等式求解。 Z, - 1 1 ,【详斛】由f(x-a)= -f(x+m)可判断函数f(x)的周期为4a,又f(x)=5

8、=4乱nxcosK =。2sin2x ,其取小正周期为2n兀T = - = TT,所以4a2兀，即：a> -故选：Do【点睛】熟记结论：如果函数Rx)满足Rx十a卜十b)=f(x)的周期为I = 2*b ,此题主要考查如何求函数的周期.| CQ q9.已知方程 = k(k>o)有且仅有两个不同的实数解 e,仅 A中)，则以下有关两根关系的结论正确的是()XA. ，/n B. 不一 T"三C.:.此 一士:叫D.一 。二；P【答案】a【解析】【分析】ccj 号 yI方程 k(k > 0)有且仅有两个不同的实数解，等价于 y = IcosxLy = kx,(k >

9、 0)的图象有且仅有两个不同的交x点(原点除外)，数形结合可得,= 0与7 =-cosx相切时符合题意，根据导数的几何意义以及直线的斜率公式可得结果【详解】方程122型=卜张> o)有且仅有两个不同的实数解， X等价于|cosx| = kx<k> 0)有且仅有两个不同的实数解，即y = |cosx|,y = kx,(k > 0),有且仅有两个不同的交点(原点除外)画图y = |cosx|, y = kx的图象.由图可知，y =&与¥ =-cosk相切时符合题意，设 I(x) = -C0SX, f (x) = 41nx,因为8>中，所以9为切点横坐

10、标，且 中是直线y =kx与y =ssx的交点横坐标，C0S0 costp因为切线过原点，所以切线斜率 k =sine = =, G (p所以costp = Sina甲,故选A.【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线斜率以及直线的斜率公式的应用，以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了形”的直观性.归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质.10

11、.如图，将边长为2的正方形"CD沿PD、PC翻折至,4、B两点重合，其中P是AB中点，在折成的三棱锥A(B)-PDC中，点Q在平面PDC内运动，且直线AQ与棱AP所成角为60,，则点Q运动的轨迹是()A.圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线【解析】【分析】 建立空间坐标系，设 QXy,O）,求出点AP的坐标，由直线 AQ与棱AP所成角为160sl，利用空间向量夹角余弦公式列方程，得到关于x.y的方程，从方程的形式可判断 Q点的轨迹.【详解】如图，过点A引平面PDC的垂线，垂足为。, 以。为坐标原点建立空间直角坐标系 其中、轴与直线DC平行，点P在x轴的负半轴上.由题可知PA &

12、#177;平面ADC,设点且到平面PCD的距离为h,因为 .' ：' . I ,_ , I I , 小 J 一小 所以_ x i 2 K2 xh = _x X 1 ,可得 h = ,3 23 42又直线AQ与棱AP所成角为60" , -cos60"3整理得歹=-3x 5,二点Q的轨迹为抛物线,故选D.【点睛】本题主要考查利用“等积变换”求点到平面的距离、利用空间向量表示其夹角的余弦值及求轨迹方程，通过轨迹的方程来判断轨迹，还考查了转化思想以及空间想象能力，属于难题 二、填空题（多空题每空 3分，单空题每空4分，共计36分）11.已知随机变量的分布列为：二-1

13、02回13|y若 E© =；，贝U x 十 y =； D© =【答案】（1）.（2）. 39【解析】【分析】f1 Xx 0 + 2y 由分布列的性质以及期望公式可得，l 3 解得K3,再利用方差计算公式即可得结果I 乂 十 y 十1 I1 xx 0 + 2y 乂+y十=1.2解得 x = y= . x，iy = .故答案为3 9【点睛】本题考查了随机变量的分布列与数学期望以及随机变量的方差公式，考查了推理能力与计算能力,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题 _ 1 112.若2a=货=6,则4-"=: - + =a b【答案】（1）.（2）.36【解

14、析】【分析】利用对数知识将1b表示出来，再利用对数运算求解。., 1 _ 1 _ 1 _ 1详解由题可得：H'logm, b = log%6,所以广 飞吩二世"22 1 1 I 1:二 = 二 J 二厂 1 吟卜 logQ=l暇（2 乂十. 1。a b log亦 log/【点睛】本题主要考查了对数的定义及对数运算公式，计算一般，属于基础题。13.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是;表面积是【答案】(1). .(2).7,回【解析】【分析】由三视图可得该几何体是四棱锥，根据三视图中数据，求出底面积与高可得棱锥的体积，再求出四个侧面的面积，与底面积求和可得四棱锥的表

15、面积由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥 C-图中直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，棱柱的高为 4,四棱锥C-AAF3的底面是矩形，面积为2挖4 =吊拉,四个侧面中，三个直角三角 形面积分别为244一个等腰三角形，面积为 "期工 睡=6,所以该四棱锥的体积为 % 力x梃：,表z3j面积为2 4-1 4 + 6 + 8&= 6斗力,故答案为 ,16 + 8也.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查体积、表面积以及空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要

16、注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相 同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据 正视图和侧视图，确定组合体的形状 .14.已知直线1x-尸 ,若直线：与直线x-my- 1 = °平行，则m的值为；动直线：被圆x。笈+-24 = 0截 得弦长的最小值为 .(1).-1.(2). &豆【解析】分析：(1)利用平行线的斜率关系得到m值.(2)利用数形结合求出弦长的最小值.详解：由题得-1 -m当m=1时，两直线重合，所以 m=1舍去，故m=-1.因为圆的方程为X。I +r- 24 = 0，所以

17、一叶I产1尸= 25,所以它表示圆心为 C (-1,0)半径为5的圆.由于直线l: mx+y-1=0过定点P(0, -1), 所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短.且最短弦长为.故答案为：-1, 2必.点睛：本题的第一空是道易错题，学生有容易得到m=±l一实际上是错误的.因为%=%是两直线平行的非充分非必要条件，所以根据% =均求出m的值后，要注意检验，本题代入检验，两直线重合了，所以要舍去 m=1.15 .向量a , %满足：| a | = 2, | a+G | = 1 ,则：a片的最大值为_【答案】【解析】【分析】设出十E的坐标，从而表示出片的坐标，然后将表示成函数关系，把问题转

18、化成函数的最大值问题解决。【详 解】 由 题可设 a = (2sin0,2cos0) , a + b = (sinocosot),贝 U b = (smasinGosa-ScosG), 所 以 a b = 2sm0sirict 4sin 0 + 2cos0cosa 4cos 0 = 4 I 2cos(G cl) < -1 当6-d = 时，等号成立。所以a 口的最大值为-2.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及数量积的坐标表示，还考查了同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式，考查了转化思想。16 .如图，有7个白色正方形方块排成一列，现将其中4块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块

19、，黑色方块总不少于白色方块的涂法有种。【答案】14【解析】【分析】用黑白两种颜色随机地涂如图所示表格中7个格子，每个格子都有2种染色方法，利用分类讨论方法求出出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子个数。【详解】由题意可判断第一格涂黑色，则在后 6格中有3个涂黑色，共有种涂法，满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总少于白色方块的有：（1）第2,3格涂白色共4种涂法，（2）第3,4,5格涂白色共1种涂法，（3）第2,4,5格涂白色共1种涂法。所以满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有二24-1=14种。【点睛】本题考查计数原理，是基础题，解题时要

20、认真审题，注意分类讨论思想的合理运用.兀17 .平行六面体ABCD-ABgD中，已知底面四边形 ABCD为矩形,，AAB = £AiAD = §,其中,|AB| =日，|AD| = b, IAA1产c,体对角线则1c的最大值是 .【答案】.【解析】【分析】利用结论 网小期三8必久於匚- 8UCAB ,求出线面角士Ai AC,再利用正弦定理列方程，把问题转化成三角 函数最值问题来解决.如图，由乙%AB = £AAD = -,可知点与在底面的射影点在直线 AC上,则上AAC是直线AA与底面所成的角，则 3工,短=cqs£A&C yMCAB ,.冗 兀

21、.一平一 -W+，cos- = cosZ-AiACcos-cosA. AC = " sin 乙A1 AC =, 3141212_, 八 |八月c在ac中，由正弦定理可知：_L2_!E，sin<AAC snMAAC1 c "ZZZ ， 小 sin£AACT上 c = JJsin工AAC < 也,当士AAC = ；时，c最大为母，故答案为旧【点睛】本题考查了线面角的结论：当 £AAB n UAD时，(点A1在平面ABD外),cos& = cosa - coscp (其中。为直线A%与平面ABD所成的角，6为直线AA与直线AB的夹角，为直线

22、 AB与直线在平面ABD的射影 的夹角)，还考查了正弦定理及转化思想 ，属于难题.三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)18.已知abc分别为aEC三个内角ARC的对边，且满足asinB-i/ibcosA = 0, a = 4.(1)求 ZA;(2)若口是RC中点，AD = 3,求AABC面积.匚匚7L网3【答案】(1) A=-; (2). 32【解析】 【分析】(1)由正弦定理化简 ,哂-gbcosA =。即可求得3iA,从而可求A的值.(2)在 ABC中由余弦定理列方程，在虫口中利用余弦定理列方程，在 AC口中利用余弦定理列方程,联立可得从=10的

23、值，根据三角形面积公式即可计算得解.【详解】：(1) asinB -= 0 ,2RsinAsinB -布 式 2RsinBcosA = 0则 sinA -瓜osA = 0 , 3nA -4兀二 A = §(2)方法一：在 ABC 中，a2 = b" + c" - 2bccosJiBAC = b2 I- c2 - be AD- + RD- - AB- 9 十 4 .十 13在 AB D 中 cosZADB =一2AD BD2x3x212门, “coAD2 + CD2 - AC2 9 + 4 - b2 13-b'2AD CD2x3212同理4C0中戒烟“DC=

24、,而 Z.ADB 十上ADC = ji,有 coszADC 十 cosZiADB = 0 ,日“ 13 - b 13 - c 、 r即.1212(2)求直线BF与平面CEF所成角的正弦值联立得 16 + be = 26nbe =10,1S aabc = /c$iMHAC =方法二：又 cosA =I- c - be = 16® 2bc 2- AB + ACAD =2c2 + b：AB -AC +2AB.AC AIT 二二 9一SbeCQsA . r tg-9=tr +(/+ be = 36 -得be = 10=-besinA = 一 x 10方法三：(极化式)- AC = |AB|A

25、C|cosA = (AD + DB) (AD - DB) = 9 - 4 = 5 二 |AB|,AC| = 10cosA£、S,5由 ABC =4俎I AC 加 A =【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.19 .如图，等腰直角4ABC中乙日是直角，平面ABEF1平面ABC, 2AF = AB = EE , &AB = 60" AF II BE(1)求证 BC -L BF ；【答案】（1）详见解析；（2）回5【解析】 【分析】（1）由平面ABC ±平面ABEF及为直角可得到BC

26、 1平面ABEF ,结合已知条件命题得证。（2）作EG _LEF,连结CG.由（1）得：EC 1 平面ABEF ,作BH 1CG ,再证得：_L 平面CEF ,则zBFH即为所求线面角.解三角形BFH即可。【详解】解：（1）证明：直角 。中/8是直角，即BC_LAB,平面ABC! ±平面ABEF, 平面ABC fl平面ABEF = AB ,BC匚平面ABC,EC 1平面ABEF ,又 BF 仁平面 ABEF, BC-LBF.（2）方法一：作BG±EF,连结CG.由（1）知BC1平面ABEF,得到BC_LEF,又EG_LEF,所以EF1平面BCG.又因为EF匚平面CEF,所以

27、平面BCG 1平面CEF.作BHLCG于点H,易得BHJ平面CEF,则ZBFH即为所求线面角.设 AF = I ,由已知得 AB = BE = 2 , BF =2也1幅BG =, BH =,15<30E正二：；.=j=r =BF 曲 5则直线BF与平面C班.所成角的正弦值为匚方法二：建立如图所示空间直角坐标系 B-K",因为 .由已知b（o,o,o）,Cg,O）,或得,E01Q®-/3祗 BF = （-A-）,氏=（12-而）,-/5 祗EF卡。,与,设平面CEF的法向量为n = （x1y1z）,则有0令、=由，则w=5.y=2后即 .一.3. 5小所以直线BF与平面

28、CEF所成角的正弦值 V + V Ti0.小2回 5方法三（等积法）：设2AF=A田BE=2, ABC为等腰三角形，AB=BC2/ FAB=60 , 2AF=AB '，士AFB = 90° ,又 AFF/ BE EB 1BF.由（1）知，BC，平面ABEF,EB 匚平面 ABEF J.EE_LBC CB fl BF = B ? ?BF匚平面BCF. BC u平面BCF a EE 1平面BCF ?又: BC ± BF ,则有 BF -d.CF -币,EF 币.CE - 2vL令E到平面EFC距离为d,有Ji6d = 2*0 2nd = 当,匣故所求线面角.sin9 =

29、 =在 5【点睛】本题考查立体几何中的线面关系、空间角、空间向量等基础知识，考查运算求解能力、 空间想象能力、等价转化能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想.20 .已知数列%】满足：2ll-1a1 I 2n"2a2 1 1 24_ + / = n, nEN”。(1)求的次及数列的通项公式；b (2)若数列 bn满足：1=1, -=2n ,求数列 bj的通项公式。%【答案】(1)(2) bn = (4-n)2n-5 .【解析】【分析】(1)分别令n = Ln = 2可求得卬%,再用n-1代等式中的n得到方程，联立方程作差即可。(2)根据题意列方程组，利用累加法得到工的表达式，再利用

30、错位相减法求和。【详解】解：(1) n = 1时/三1 ,n = 2时珥十叼.2。2" "4 + 2” 一 %十 2ali 十% 二 n + 2n'+ ' 1 3n.i =n - 12X力=1满足上式，故为 口.%飞2】(2)=有； 与一电一0 2 累加整理S + hbn-bLt,l=(3-n)2，ll(n>2)b“二l + I 父 21 + 0x2°+ (3-n) 乂2"-. (n>2)2bn = 2 + l x22-0x23-n- + (3-n)x2n, (n三2)- 得 bn =1-2+1 X 224 (3 - n)2n

31、 = (4 - n)2n - 5(n > 2)1-2，=1满足上式，故 = (4-02"-5.【点睛】(1)主要考查了赋值法及方程思想。(2)考查了累加法，错位相减法求和，用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“耳”与"qSJ的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一 步准确写出“与-qSJ的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1和不等于1两种情况求解.2221.已知椭圆三十三=的离心率为工 以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为 a2 b232赤。(

32、1)求椭圆的方程；(2)如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F,且与椭圆交与 A, B两点，以线段 AB为直径的圆截直线 x=1所得的弦的长度为 & 求直线l的方程。【答案】(1) - -= 1 ; (2) y =乂-2或y = -x十 2.6 2【解析】【分析】(1)根据椭圆的离心率，三角形的面积建立方程，结合a2 = b2+c2,即可求椭圆C的方程；(2)联立直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示出 力卜士及$士,结合弦的长度为而，即 可求斜率k的值，从而求得直线方程。22J7【详解】解：(1)由椭圆+= g>b>0)的离心率为上，a b3由$ = L 2bb =匕？ =

33、 2位得还=灰,6=也，所以椭圆方程为 - + -=. 2362(2)解：设直线 1ABy = k(x - 2), AfxpvJ, B(x2aAB 中点联立方程.1一年_ 得(I十3k2* - 2a + 12k2-6 = O, lx +3y - 6 = 0'712k212k2 - 6, 26- (1 + k2)、 - -r. .一 ；：、一. ;1 +3k21 + 3k-1 + 3k3所以61?1 +3k2 口 _6k?k< 1点及【到直线x= 1的距离为d = K1| =-=-.1 -3k21 + 3k=由以线段AB为直径的圆截直线x=l所得的弦的长度为 小得悍”舟叫的扑归十口解得k = ± I ,所以直线1的方程为y = x - 2或¥ = - x+ 2 .【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，整理出 $+ $及$代入弦长公式IAEI = g 闪区十乂广4乂出列方程求解,还考查了圆的弦长计算，,考查学生的计算能力，属于中档题.22.已知 a >。