结构力学图乘法

1、§4 6 图乘法我们已经知道，计算荷载作用下结构的弹性位移时,需要求下列形式的积分M iM kEIds的数值。这里，Mi、Mk是两个弯矩函数的乘积。 对于直杆或直杆的一段，若EI是常量，且积分号内的两个弯矩图形中有一个是直线图形，则可用图乘法计 算积分，极为方便。下面说明图乘法的内容和应用图420所示为直杆AB的两个弯矩图，其中M i图为一直线抗弯刚度EI为一常数，则M i M K1i一- dx =M i M K dxEIEI以。为原点，以a表示Mi图直线的倾角，则Mi图上任一点标距如果该杆截面（a）（纵坐标）可表小为M i = x tan、工BB因此，M M i M K dx =t

2、ana xM Kdx(b)-A'A式中，Mx可看作Mk图的微分面积（图4 20中画阴影线的部分）"W-xB是这个微分面积对y轴的面积矩。于是1 xM Kdx就是Mk图的面积对y轴的,A面积矩。以x0表示M K图的形心C到y轴的距离，则BI xM K dx - x0A将上式代人式(b),得到BM i M K dx = tan :工：x0 - y 0(c)A其中，y0是在MK图形心C对应处的Mi图标距。利用式（c）,式（a）可写成1EI(4 29)这就是图乘法所使用的公式。 它将式(a)形式的积分运算问题简化为求图 形的面积、形心和标距的问题。应用图乘法计算时要注意两点：(1)应

3、用条件：杆件应是等截面直杆，两个图形中应有一个是直线，标 距y 0应取自直线图中(2)正负号规则：面积与标距y 0在杆的同一边时，乘积coy。取正号；与y 0在杆的不同边时取负号二出地物蟠”争ABE 4-21图4-21给出了位移计算中几种常见图形的面积和形心的位置。用抛物线图形的公式时，必须注意在抛物线顶点处的切线应与基线平行。下面指出应用图乘法时的几个具体问题。(1)如果两个图形都是直线图形，则标距y0可取自其中任一个图形。(2)如果一个图形是曲线，另一个图形是由几段直线组成的折线，则应分 段考虑。对于图4-22所示的情形，则有M i M K dx ="1 ，2y 2 , .(y

4、3(3)如果图形比较复杂，则可将其分解为简单图形来考虑图 4-22(S4-23而将其中一个梯形（Mk图）分为两个三角形（也可分为一个矩形和一个三角形）再应用例如，图4 23中两个图形都是梯形，可以不求梯形面积的形心,图乘法。因此M i M K dx =0y 1 ，2丫 2(a)其中,ab孰=-l,22 = 222d12dyi= - c+, y 2 =-c + 3333 ,(b)所以:alblM i M K dx =(2c - d )(c 2d )66图4 74又如，图4 -24中的M k图可以分解为两个三角形：三角形 ADB在坐标轴 以上，三角形ABC在坐标轴以下。这时albl '1

5、=, '2 =2 22c dy 1 = 一（与切1反侧）3 32d cy 2 =（与 co 2 反侧）33所以：alblM i M Kdx =（d -2c） （d - 2c）66Mr图H'国94-25图425a所示为一段直杆AB在均布荷载q作用下的M P图。由第二章可知,Mp图是由两端弯矩Ma、Mb组成的直线图（图4- 25b中的M，图）和简支梁 在均布荷载q作用下的弯矩图（图425c中的MO图）叠加而成的。因此，可将M p图分解为直线的M '图和抛物线的M O图，然后再应用图乘法还要指出，所谓弯矩图的叠加是指弯矩图纵坐标的叠加。 所以虽然图4-25a 中的M图与图4 25C中的M图形状并不相似，但在同一横坐标 C处，二者的纵 坐标是相同的，微段dx的微小面积（图中带阴影的面积）是相同的。因此，两 图的面积和形心的横坐标也是相同的。例48用图乘法计算图4 26a所示简支梁在均布荷载q作用下的B端转 角A 。q3）而图料T 2例49图4 27a所示为一悬臂梁，在A点作用集中荷载P,求中点C的 挠度4。ta) M串图图 4-27例410图4 28a所示为一预应力钢筋混凝土墙板起吊过