中考数学相似综合经典题含答案

1、-X相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1. 在AABC 中，Z ABC=90o （1）如图1，分別过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为IVK N,求证: ABM- BCN：(2) 如图 2, P 是边 BC 上一点，ZBAP=ZC, tanZ PAC= 5 ,求 tanC 的值：3 AD 2 " 二(3) 如图 3, D 是边 CA 延长线上一点，AE二AB, ZDEB二90°, SinZ BAC= <5 , AC 5、直接写岀tanZ CEB的值.【答案】(1)解:.AMMN, CNdIVIN, Z AMB=Z BNC=90% Z BAM+Z ABM=

2、90% Z ABC=90o, Z ABM+Z CBN=90% Z BAM=Z CBN,T Z AMB=Z NBC, ABM-厶BCN（2）解：如图2,过点P作PM丄AP交AC于M, PN丄AlvI于N图2. Z BAP+Z I=Z CPM+Z l=90 Z BAP=Z CPM=Z C,MP=MCT tanZPN _ 252 MPAC页一一乔一瓦设 MN=2m,PN=rX,根据勾股立理得，PM=加= 3m = a PN y taC=5m5BC J(3)解：在 RtZiABC 中 SinZBAC=ME = J,过点A作AG丄BE于G,过点C作CH丄BE交EB的延长线于H,T Z DEB=90o,

3、CHIl AGIl DE,GH _ AC 5Ig "元=2同(1)的方法得ZiABG-心BCHBG AC AB 4习一莎反_ 2,设 BG=4m, CH=3m AG=4n, BH3rTAB二AE, AG丄BE,/. EG=BG=4m»/. GH=BG+BH=4m+3n 4m ÷ 3n 54m. n=2m,. EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14mCh 3在 Rt CEH 中，tanZ BEC= Eh = 14【解析】【分析】(1)根据垂直的左义得出ZAMB=Z BNC=900,根据同角的余角相等得 出Z BAM=Z CBNt利用两个角对

4、应相等的两个三角形相似得出：ZiABM-ABCN:(2 )过点P作PF丄AP交AC于F,在PF 252v¾RJ (1)的方法得，, FQ=2b (a>0>Rt AFPtanZ PAC= 5AB= a, PQ=2a, BP=CQ _ FC五一亦从而表示出CQ,进根据线段的和差表示出BC, ABP-心b>0),中根拯正切函数的泄义，由 BP AP yPQF,故帀 FQPF 丁,设然后判断出AABp-ACQF,得再判断出厶ABP- CBA,得出AS _ BF,得出BC,从而列出方程，表示出BC,AB,在Rt ABC中，根据正切函数的泄义 得出tanC的值；BC _ 3（3

5、）在Rt ABC中，利用正弦函数的定义得出：SinZBAC=M 3,过点A作AG丄BE于 G,过点C作CH丄BE交EB的延长线于H,根据平行线分线段成比例泄理得出 GHAC _ 5BGACAB _ 4EGAD 2,同（1）的方法得，aABG BCH ,椒CHBHBC 3,设 BG=4m,CH=3m , AG=4n , BH=3n ,根据等腰三角形的三线合一得出EG=BG=4m ,故 GH=BG+BH=4m+3n ,根据比例式列出方程，求解得出n与m的关系，进而得岀 EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m ,在 Rt CEH 中根据正切函 数的定 义得岀 tanz B

6、EC 的值。2. 如图，AABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm,髙AD=24cm,要加工成矩形零件， 使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC ±.EHDG C求：（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？（2）若设AK=x, Sefgh=Y,试写岀y与X的函数解析式（3）X为何值时,SEFGH达到最大值.【答案】（2）解：设边长为Xcm.V矩形为正方形，BC = A B,. EHll AD, EFIl BC,根据平行线的性质可以得岀：AL=Ab由题意知 EH=x, AD=24, BC=16, EF=×,X BE X AE 即 24=AB, J6=AB

7、9BE+AE=AB,X X BE AE ：.24-V J6 = AbAb- 解得X= 5 ,72AK= 5 ,_ 72：.当AK '1时，矩形EFGH为正方形(2)解：设 AK=x, EH=24-x,. EHGF为矩形，Eb AK2BC=AL ,即 EF= <5>2 2二 Sefgh=Y= S (24-×) =- <5×若AABD竺、BFO.求BQ的长： 求证：FQ=BQ【答案】(1)解：. AABb里BFG ,1AD = OB=B = I. DPfDA均为半圆切线，.DA=DP = I+16x (0<x<24)(3)解：y=-<

8、5x2+16×2配方得：y= 3 (-12) 2+96>当X=I2时，SEFGH有最大值96【解析】【分析】(1)设出边长为XCm,由正方形的性质得岀，EHll AD, EFIIBC,根据 平行线的性质，可以得对应线段成比例，代入相关数据求解即可。(2) 设AK=x,则EH=16-x,根据平行的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边上的髙 之比等于相似比，用含X的代数式表示出EF的长，根据矩形而积公式即可得出y与X的函 数解析式。(3) 将(2)中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的而 积取最大值时的X的值。3. 如图，AB是半圆O的直径，AB=2,

9、射线AM. BN为半圆O的切线在AM上取一点 D,连接BD交半圆于点C,连接AC.过O点作BC的垂线OE,垂足为点E,与BN相交于点 F过D点作半圆O的切线DP,切点为P,与BN相交于点Q连接化则 OP = OA - DA 二 DF、四边形勿以为菱形， DQIl AB ,.月必胡均为半圆切线，. DA H Qb ,四边形加为平行四边形BQ =AD = I ,(2)证明：易得 ABD BFC.BF ABOB = AD ,加是半圆的切线，. AD=DPf( = QF . 过Q点作QK丄曲于点K ,则 QK=AB= 2 uRtDQK tDK(AD + BQ)2 = (AD- BQ)2 十庐 9 解得

10、:2FQ 二 BF _ BQ 二一ADFQ = BC【解析】【分析】（I）连接0£由厶ABD竺ABFO可得AD二0B,由切线长左理可得AD二DP, 于是易得OP=OA=DA=DP,根据菱形的判泄可得四边形DAOP为菱形，则可得DQll AB.易 得四边形DABQ为平行四边形，根据平行四边形的性质可求解：BF _ Ab（2）过Q点作QK丄AM于点K,由已知易证得AABD-ABFo,可得比例式加 AS可得 BF与AD的关系，由切线长圧理可得AD=DRQB=QP ,解直角三角形DQK可求得BQ与AD 的关系，则根据FQ=BF-BQ可得FQ与AD的关系，从而结论得证。4. 如图，已知抛物线y

11、= - ×2+b×÷c交y轴于点A （0,4）,交X轴于点B （4,0）,点P 是抛物线上一动点，过点P作X轴的垂线PQ，过点A作AQ丄PQ于点Q,连接AP.（1）填空：抛物线的解析式为,点C的坐标:（2）点P在抛物线上运动，若厶AQP- AOC,求点P的坐标.【答案】（i） Y= x2+3×÷4:（ 1,0）OC I（2）解：T点A的坐标为（0, 4）,点C的坐标为（一 1, 0） , . OA 4. T点P的横坐标为m, . P （m>- m2÷3m+4）当点P在直线AQ卜方时，QP=4 （ - m2÷3m+4）

12、= m2-3m,QP OC nr - 3m 1二 由AAQPAOC 得：AQ OAy RP： In 4,13）2 二山1 = C （舍去）或 41351m -当 彳时，-m2+3m÷4= 1613 51此时点P的坐标为（万云）：当点P在直线AQ上方时，PQ= - m2+3m+4-4= - m2+3m,QP OC3n 1二 =由AAQp-DAOC 得：AQ 0A, Rj m4,1111 75：.皿1 =0 （舍去）或她=4 ,此时P点坐标为（49 "）13 5111 75综上所述：点P的坐标为（石'云）或（T去）.【解析】【解答】解：（1）T抛物线y =-2+bx+c

13、交y轴于点A （0, 4）,交X轴于点 B （4, 0）, c = 4P 二 3'- 16 + 4b + c二O ,解得：5二4、：.抛物线的解析式为：y= - x2 + 3x+4.令y=0,得：-x2 + 3x+4=0.解得：x=4或×=-l, A点C的坐标为（一1, 0）【分析】（I）根据题意，将AzB两点的坐标代入到解析式中，分别求出b, c可以求岀 抛物线的解析式：（2） C为X轴上的交点，令y=0,通过解一元二次方程，解得C点坐标。5. 如图，AABC内接于C）O,且AB=AC.延长BC到点D,使CD = CA,连接AD交C）O于点E.(2)填空： 当Z ABC的度

14、数为时，四边形AOCE是菱形： 若AE = 6, BE=8,则EF的长为【答案】(1)证明:VAB=AC, CD=CA, AZABC=Z ACB, AB=CD. T四边形ABCE是圆内接四边形,/. Z ECD=Z BAE, Z CED=Z ABC. . Z ABC=Z ACB=Z AEB, Z CED=Z AEB, ：* ABE旻厶 CDE (AAS)£（2） 60： 2【解析】【解答】解：（2）当ZABC的度数为60。时，四边形AOCE是菱形; 理由是：连接AO、OC.T四边形ABCE是圆内接四边形,AZABC+ZAEC=180o.TZABC=60, /. Z AEC=I20o=

15、Z AOC. OA=OC, Z OAC=Z OCA=30o T AB=AGA ABC是等边三角形,AZACB=60o.T Z ACB=Z CAD÷Z D. AC=CD, . Z CAD=Z D=30% /. Z ACE=I80o - 120o - 30o=30% . Z OAE=Z OCE=60 .四 边形AOCE是平行四边形. OA=OC,rAOCE是菱形；由（1）得： ABE 厶 CDEt /. BE=DE=8, AE=CE=6, . Z D=Z EBC.ECCF 6 T Z CED=Z ABC=Z ACB, /.心 ECD-卜 CFB, ：. ED BC=S.ZAFE=Z BF

16、C, Z AEB=Z FCB,二 AEF- BCF, EF CF 八刃=6 , . EF= 8 =故答案为：60。：N【分析】（1）由题意易证Z ABC=Z ACB , AB=CD ；再由四点共圆和已证可得Z ABC=Z ACB=Z AEB Z CED=Z AEB,则利用 AAS 可证得结论：（2）连接AO、CO.宪政AABC是等边三角形，再证明四边形AOCE是平行四边形，又 AO=CO可得结论；先证AECD-ACFb,可得 EC： ED=CF: BC=6:8：再证 AEF-厶 BCF,贝IJ AE： EF=BC: CF,从而求岀ER6. 已知：如图，在平面直角坐标系中，AABC是直角三角形，

17、Z ACB=SO点A , C的坐标分别为 A （ - 3, O） , C （1 O） , BC= 4qc.AO-C5（1）在X轴上找一点D ,连接DB ,使得"DB与AMC相似（不包括全等），并求点 D的坐标：（2）在CL）的条件下，如P , Q分別是M和AD上的动点，连接PQ ,设AP=DQ m ,问是否存在这样的m ,使得MPQ与AADB相似？如存在，请求出m的值；如不存 在，请说明理由.【答案】（1）解：如图1,过点B作BD丄AB 交X轴于点D , ABC- ADB , Z ABC= ADB , 且Z ACB = A BCD=90°, ABC- BDC ,AC _ B

18、C反一方&(- 3, 0) , C (1, 0),.AC=4,3BC= AC. BC=3,. AB= VAC? ÷ Bc = y9 + 16 =5,AC _ BC反一 N4 3：.汀N9CD= 4,925：.AD=ACCD= 4 ,13 OD=AD - AO= 4 ,13点D的坐标为：(, 0)；(2)解:如图 2,当Z APC= ABD=W时, APQ- ' ABD tAPAQ二ABAD,25-Him4525425：.m= 9 ,如图 3,当Z AQP=Z ABD=W时, APQ- A ADB ,AP _ A AD AB ,2525125.m= 36 ；25_ 25

19、125综上所述：当m= 9或时，'APQ与ZkADB相似.【解析】【分析】（1）如图1，过点B作BDrAB ,交X轴于点D ,可证AC _ BC ABC- ADB , 可得Z ABC=A ADB , 可证 ABCS BDC , 可得 BC CL,可求 CD 的长，即可求点D坐标：（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解7. 如图，二次函数y = a（d - 2mx - 3f）（其中a, m是常数，且a>0, m>0）的图象与X轴分別交于点A, B （点A位于点B的左侧）,与y轴交于点C（O, 3）,点D在二次函数的图象上，CDIl AB,连接AD.过点A作射线AE交二

20、次函数的图象于点E, AB平分Z DAE.（2）求证：肛为左值；（3）设该二次函数图象的顶点为F.探索：在X轴的负半轴上是否存在点G,连接CF,以线 段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要 求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标：如果不存在，请说明理由.13 二 【答案】（1）解：将C （0, -3）代入函数表达式得，a（0 - 3） = - 3t ：.（2）证明：如答图2,过点D、E分别作X轴的垂线，垂足为M、N.答團1由玄沪-2mX - 31Ir)二 G解得 X1=-m> ×2=3m. A(-m, 0), B(3m, 0)

21、.CDIlAB,点D的坐标为(2m, -3)AB 平分Z DAE./. Z DAM=Z EAN.AD AM Dh=二 Z DMA=Z ENA=900 , /. ADM-厶 AENz . AE AN EN.(x2 - 2mx _ 3m2)设点E的坐标为(x,z),3mX - ( - m)t. x=4m.AD _ AM _ 3m _ 3一 7为定值（3）解：存在，如答图乙连接FC并延长，与X轴负半轴的交点即为所求点G.答图2由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m, -4）,过点F作FH丄X轴于点Ht在 Rt CGO 和 Rt FGH 中，OCHF OCHbTtanZCGO= ztanZ FGH=

22、Hs . OGHG . 0G=,3m;+ MD -9f + 9 = 3 ÷ 1GF 4：.DAD 3 二由（2）得，AE 5 t .AD ： GF ： AE=3 ： 4 ： 5.以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为一3m. 【解析】【分析】1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根ALAk据，CDIIAB.求点D的坐标，由ZkADM-AAEN应边成比例，将求必的比转化成求由勾股定理得，GF= QGff +胪二 16Ilf 16 = 1, AD=比，结果不含m即为泄值.(3)连接FC并延长，与X轴负半轴的交点即为所求点G

23、过点 F作FH丄X轴于点H,在Rt CGO和Rt FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OGAb (用m表示),然后利用勾股泄理求GF和AD (用m表示)，并求其比值，由(2) Al 是左值，所以可得AD ： GF ： AE=3 : 4 : 5,由此可根据勾股泄理逆定理判断以线段GF、 AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.4&如图，已知一次函数y= - 3x÷4的图象是直线I,设直线I分别与y轴、X轴交于点A、(1) 求线段AB的长度：(2) 设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90。到点N,以点N为圆 心，NA的长为半径作C)

24、N. 当C)N与X轴相切时，求点M的坐标： 在的条件下，设直线AN与X轴交于点C,与C)N的另一个交点为D,连接MD交X 轴于点E,直线m过点N分别与y轴、直线I交于点P、Q,当AAPQ与 CDE相似时，求 点P的坐标.【答案】(1)解：当x=0时，y=4, A (0, 4),OA二4,4当 y=0 时，-J+4=0,×=3, B (3, 0),OB=3,由勾股左理得：AB=5(2)解：如图X过N作NH丄y轴于H,过M作ME丄y轴于E," 二tanz OAB= OA AE 4 ,：.设 EM=3×t AE=4x,则 AM=5x, M (3x -4×+4)

25、,由旋转得：AM=AN, Z MAN=90% Z EAM+Z HAN=90%T Z EAM+Z AME=90o, Z HAN=Z AME, Z AHN=Z AEM=90% AHN旻厶MEA,/. AH=EM=3×,. ON与X轴相切，设切点为G,连接NG,则NG丄X轴, NG=OH,贝IJ 5x=3x+4,2×=4,x=2, M (6, -4):如图2,由知N (8, 10), D (16, 16),设直线 DM： y=kx+b>把D (16, 16)和M (6,4)代入得:+ b=16 b= _ 4,解得：Ib= - 16,.直线DM的解析式为：y=2x-16,直线

26、DM交X轴于E,当 y二O 时，2×-16=0,x=8, E (& 0),由知：C)N与X轴相切，切点为G,且G (8, 0),. E与切点G重合， Z QAP=Z OAB=Z DCE APQ CDE相似时,顶点C必与顶点A对应, 分两种情况：i)当ZkDCE-AQAP 时，如图 2, ZAQP=Z NDE,T Z QNA=Z DNF, Z NFD=Z QAN=90o,. AOIl NE, AeO NCE,AO _CC NECB t4 _ CO. I(TCO 6,16：.CO= 3 ,连接BN, AB=BE=5 >. Z BAN=Z BEN=90 Z ANB=Z ENB

27、,T EN=ND, Z NDE=Z NED, Z CNE=Z NDE+Z NED, Z ANB=Z NDE, BNIl DE,Rt ABN 中，BN=< + 孑=忒，ABJVFSinZ ANB=Z NDE= BN DN,5 _冊. 55 云，NF=2. DF=4 9 Z QNA=Z DNF,DF _仏.a. tanZ QNA=tanZ DNF= NF A 945 AC：.7o,：.AQ=20,3 Qh二T tanZ QAH=tanZ OAB= J Ah , 设 QH=3x, AH=4x,则 AQ=5×, . 5x=20x=4,/. QH=3x=12 AH=I6, Q (-12,

28、 20),1同理易得：直线NQ的解析式：y=-2+14, P (0, 14):ii)当厶DCE- PAQ时，如图3,11ZZcO/!(E)/ *7图3 'D Z APN=Z CDE Z ANB=Z CDE,/ APIl NG, Z APN=Z PNE, Z APN=Z PNE=Z ANB,B与Q重合，. AN=AP=IOt. OP=AP-OA=I0-4=6. P （0, -6）:综上所述，AAPQ与ACDE相似时，点P的坐标的坐标（0, 14）或（0,-6）【解析】【分析】（1）由一次函数解析式容易求得A、B的坐标，利用勾股定理可求得ABOB _ EM _ 3的长度；（2）根据同角的三

29、角函数得：tanZ0AB=习旋一 7 ,设EM=3×, AE=4×,则 AM=5x> 得 M （3x, -4x+4）,证明 AHN更厶 MEA.贝IJ AH=EM=3x,根据 NG=OH,列式可 得X的值，计算M的坐标即可：如图2,先计算E与G重合，易得Z QAP=Z OAB=Z DCE,所以ZiAPQ与 CDE相似时， 顶点C必与顶点A对应，可分两种情况进行讨论：16i）当厶DCE4 QAP时，证明ZkACO- A NCE,列比例式可得CO= 3 ,根拯三角函数得：DFAL3 QhZ 二 tanZ QNA=tanZ DNF= 加，AQ=20,贝IJ tanZ ClA

30、H=taZ OAB= 4 Ah t 设 QH=3x, AH=4x,则 AQ=5x,求出 X 的值，得 P （0. 14）:ii）当ZiDCE-APAQ时，如图3,先证明B与Q重合，由AN=AP可得P （0,6） 9.如图.在矩形ABCD中，AB=4, BC = 3,点P是边AB ±的一动点，连结DP.（1若将ADAP沿DP折叠，点A落在矩形的对角线上点/V处，试求AP的长；（2）点P运动到某一时刻，过点P作直线PE交BC于点E,将厶DAP与厶PBE分别沿DP 与PE折叠，点A与点B分别落在点A B，处，若P, A, B，三点恰好在同一直线上，且 AzBz = 2,试求此时AP的长；（

31、3）当点P运动到边AB的中点处时，过点P作直线PG交BC于点G,将厶DAP与厶PBG 分別沿DP与PG折叠，点A与点B重合于点F处，连结CF,请求出CF的长.【答案】（1）解:当点A落在对角线BD上时，设AP=PAz=X,在 Rt ADB 中，.AB=4, AD = 3, A BD= =5,.AB = DA' = 3, .BA' = 2,S在 Rt BPAf中，(4-) 2=×2+22 ,解得 X=三，JAP=Z当点A落在对角线AC上时，图2由翻折性质可知：PD丄AC,则有 DAP- ABCtAD ABAD BC 3 X 39. AP = BCt /.AP= AB =

32、4= 4.设 BG = FG=x,在 Rt GCD 中，(x+3) 2=42+ (3 - x)4135 解心 X= 3，. DG = DF+FG= 3 , CG = BC BG= 3 9 FH3FH DH DF 5 DH13'：FHIl CG, . C6 = DC = D6, . 3 = 4 = 3 ,15363616.,.FH= 9 DH= Ij, .,. CH =4 - JJ= /J ,I厅+宵画在 Rt CFH 中，CF= 13 = 13【解析】【分析】（1）分两种情形：当点A落在对角线BD上时，设AP=PAX,构建 方程即可解决问题；当点A落在对角线AC上时，利用相似三角形的性

33、质构建方程即可 解决问题；（2）分两种情形分别求解即可解决问题：（3）如图5中，作FH丄CD由H想 办法求出FH、CH即可解决问题10已知二次函数y=x2+bx+3的图象分别与X轴交于点A （3, O） , C （-1, 0） 与y轴 交于点B 点D为二次函数图象的顶点（1）如图所示，求此二次函数的关系式：（2）如图所示，在X轴上取一动点P （m , 0）,且l<m<3,过点P作X轴的垂线分 别交二次函数图象、线段AD , AB于点Q、F , E ,求证：EF=EP;返（3）在图中，若R为y轴上的一个动点，连接朋，则i BR+AR的最小值（直接写出结果）.【答案】（1）解：将 A

34、（3, 0） , C （1 0）代入 y=ax2+bx+3,得：9a + 3b 十 3 = GP= - 1 & - b + 3 = 0 ,解得：i b = 2 .此二次函数的关系式为y=-x2+2x+3 (2)证明:/y=-x2+2×+3=- (X-I) 2+4>.点D的坐标为(1, 4).设线段AB所在直线的函数关系式为y=kx+c (k0),将 A (3, 0) , C (0, 3)代入 y=k×+c,得：3k + c = GK=-I'c = 3,解得：l c = 3 ,：.线段AB所在直线的函数关系式为y=-x+3.同理，可得出：线段AD所在宜线

35、的函数关系式为y=-2x+6./点P的坐标为（m, 0）,点E的坐标为（m, -m+3 ）,点F的坐标为（m, -2m+6）,. EP=-m+3> EF=-m+3, EF=EP.616（3）5【解析】【解答】解（3）如图，连接BC,过点R作RQ丄BG垂足为Q. OC=I, OB二3,. BC=V帀.（勾股泄理）. Z CBO=Z CB0, ZBOOZBQR二90°, BQR心AOB,BR QhBR_ _ Qh：.BCCf 410 Iflb：.RQ= 10 BR,ylb AR+ 10 BR=AR+RQ,返.当A, R, Q共线且垂直AB时，即AR+ 10 BR=AQ时，其值最小.

36、 Z ACQ=Z BC0, Z BOC=Z AQC, CQAS COB,AQ _ AC _ 丄Bo 花,即37Z616：.AQ= 5 ,ylb6 10：.10 BR+CR的最小值为5616故答案为：占.【分析】（2）根据A, C点的坐标，利用待能系数法可求岀二次函数的关系式；（2）利 用待左系数法求出线段AB, AD所在直线的函数关系式，用m表示EF, EP的长，可证得 结论：（3）连接BC,过点R作RQ丄BC,垂足为Q贝IJ BQRS AOB,利用相似三角形1的性质可得出RQ=Z' BR,结合点到直线之间垂直线段最短可得出当A, R, Q共线且垂直 yflbAB 时，即 AR+ 10

37、 BR=AQ 时，其值最小，由 Z ACQ=Z BCO , Z BOC=Z AQC 可得出 CQA- COB,利用相似三角形的性质可求出AQ的值，此题得解.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角 形.请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1,在四边形ABCD中.ADIl BC,对角线BD平分ZABC, ZBAC=Z ADC.求 证： ABC是比例三角形：BL（3）如图2,在（2）的条件下，当ZADC=90。时，求应的值。49【答案】（I）E或2或（2）证明：T ADll BC, Z ACB =Z CAD, 又T Z BAC=Z ADCt ABo心DCA,

38、BC CA刁二益，即 CA2=BC-AD > 又ADIl BCt . Z ADB=Z CBD,T BD 平分Z ABC,. Z ABD=Z CBD,.,.Z ADB=Z ABD, AB二AD. CA2=BC-AB, ABC是比例三角形(3)解：如图，过点A作AH丄BD于点H, AB=ADz1 BH=纟 BD,/. ADIl BC, ZADC=90°, Z BHA=Z BCD二90：又T Z ABH=Z DBCz ABH DBCzAb Bh：.：.AB BC=DB BHz1 AB-BC= BD2,又T AB-BC=AC2,1BD2=AC2,BD疋也【解析】【解答】解：(1).已知

39、AABC是比例三角形，依题可得:当 AB2=BC-AC 时，TAB二2, BC=3. 4=3AC,4：.AC= 3 ：(J)CB2=AB-AC.T AB二2, BC=3. 9=2AC,£AC= 2 ；(S)AC2=BC-AB,TAB二2, BC=3. AC2=2×3,AC=4§综上所述：AC的长为：&或彳或7塔【分析】（1）由比例三角形的泄义分三种情况讨论：当AB当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC.求证：四边形 OCBM是正方形：Ab Ob 请利用如图2所示的情形，求证：瓦=药： 若AO=2氏 且当M0=2P0时，请直接写出AB和P

40、B的长.【答案】（1）解:V2BM=A0, 2C0=A0 BM=CO>. AOIl BM,.四边形OCBM是平行四边形，T Z BMO=90 PCBM是矩形，/ Z ABP=90% C 是 AO 的中点， OC=BC,.矩形OCBM是正方形（2）解：连接 AP. OB,=BC-AC时，CB2=AB-AC, AC2=BC-AB,代入CB、AB的数值分别求得AC长.（2）根据平行线的性质和相似三角形的判泄得AABC- ADCA,由相似三角形的性质得 CA2=BC-AD:根据平行线的性质和角平分线的泄义得ZADB=Z ABD,根据等腰三角形等角对 等边得AB=AD,将此代入上式即可得证.1（3）如图，过点A作AH丄BD于点H,根据等腰三角形三线合一的性质可知BH=BD,由相1似三角形的判宦和性质得AB-BC=DB-BHz即ABBC=2BDm联立（1）中的结论即可得出答案.12已知：A、B两点在直线I的同一侧，线段AO, BM均是直线I的垂线段，且BM在AO 的右边，A0=2BM,将BM沿直线I向右平移，在