中考数学压轴题专项汇编专题轴对称之最短路径

1、专题6轴对称之最短路径破解策略用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问 题.常见的题型有：1.已知：在直线l同恻有A. B两点，在l上找一点P,使得AP+ PB最小. BA l作法：如图.作点 A关于直线l的对称点A ,连结A B,与直线，的交点就是点 P2 / 82.已知：在直线l同侧有 A B两点，在l上找一点P,使得|AP PB最小 B A l 作法：如图，连结 AB作线段AB的垂甫平分线.与直线 l的交点就是点P3 .已知：在直线l同侧有A, B两点，在l上找一点P.使得|AP- PB最大 B A l作法：如图，连结 BA并延长，与直线，的交点就是点P4

2、 .已知：在直线l同侧有 A B两点.在l上找两点C, D （其中CD勺长度固定，等于 所给线段d）,使得AO CN DB最小， BA alA ,作A关于直线l的对称点A,过点A作AC/ A D,交直线l于点C.则作法：如图，先将点 A向右平移口个单位长度到点 连结A B,与直线l的交点就是点 D.连结A D, 此时AC +C济DB最小.5.已知：在 MONJ有一点P,在边ON OM:分别找点Q, R 使得 PQ QRF RPM小.作法：如图，分别作点 P关于射线OM勺对称点P, P,连结PP,与射线ON OM勺交点就是点 Q, R.6.已知：在MONJ有一点P,在边OM ONh分别找点 R,

3、 Q使得P& QRM小作法：如图，作点 P关于射线OM勺对称点P ,作P Q ON垂足为Q PQ与射线O厢交 点就是R.8 / 87.已知：在 MONfi有两点P, Q在边OM ON上分别找点 R S.使得P& RA SQ最小.作法：如图，作点 P关于射线OM勺对称点P ,作点Q关于射线ON的对称点Q,连 纳P Q .与射线OM ON的交点就是 R S.O例题讲解例1(1)如图1,等边 ABC, AB= 2, E是AB的中点，AD是高，在AD上作出点P,使BP+ EP的值最小，并求 BF PE的最小值.(2)如图2,已知。O的直径CD为2, Ac的度数为60。，点B是Ac的中点，在直径CD上作

4、出点 P,使B升AP的值最小，并求 BP+ AP的最小值.(3)如图3,点P是四边形 ABC咕一点，BP= mi Z ABC=风,分别在边 AB, BC上作出 点M N,使 PMN勺周长最小，并求出这个最小值(用含m a的代数式表示).(1)乖(作法是：作点 B关于AD的对称点，恰好与点 C重合，连接Ca AD于一点，这点就是所求的点 P);(2) &(作法是：作点B关于CD的对称点E,连接AE交CDT一点，这点就是所求的点P)；(3)分别作点 P关于边AB BC的对称点E, F,连结EF分别与边 AB BC交于点 M N, 线段EF的长度即为 PMN勺周长的最小值.-如图，连结BE, BF,

5、/EBF= 2ZABC= 2a, BE= BF= BP= mi过点B作BHL EF于点H,所以/ EBH= - / EBF= a , EH= FH 2EH在 RtABEHI, sin a = EH ,BE所以 EH= BE- sin a = m- sin a ,所以 EF= 2m sin a ,即 PMh PW MN= EF= 2m- sin a .例2如图，在平面直角坐标系 xOy中，分别以点 A (2, 3), B (3, 4)为圆心，以1, 3 为半径作。A, OB, M N分别是。A, OB上的动点，点P为x轴上的动点，求 PMF PN的最 小值.P,与OA,交点为M ,如图，作。A关

6、于x轴的对称图形。A,连结AB,与x轴交于点与。B交点为N,连结PA PA与。A交点为 M 则此时PA PB值最小，从而 PW PM直也最 小，最小值为线段 M N的长.如图，易得 A 2 3),由两电间距离公式得 A B= 5版.故 M N= 572-4,即 PM PN= 5 72-4.例3如图1,等边 ABC勺边长为6, AD BE是两条边上的高，点 O为其交点.P, N分别是BE, BC上的动点.图1图2(1)当PW PD的长度取得最小值时，求 BP的长度；(2)如图2,若点Q在线段BO上，BQ= 1,求Q降NP+ PD的最小值.图3解 (1)由等边三角形轴对称的性质可得，点图4D关于B

7、E的对称点 D在AB上，且为 AB的中占如图3,过点D作BC的垂线，垂足为 N ,DN交BE于点P,连结PD ,则PD = FD.此时DN的长度即为 PW PD长度的最小值.显然DN/ AD即点N为BD的中点.所以 BN= - BC= 3 ,从而 BP= = V3 .(2)如图4,作点Q关于BC的对称点 Q ,则BQ =1, /CBQ =0 .点D是点D关于BE的对称点，连接 DQ ,交BE于点P,交BC于点N.此时DQ即为QNF NP+ PD的最小值.显然/ DBQ =90 ,所以 DQ = BD7BQ2 = 10 ,即QN NPPt PD的最小彳1为炳.进阶训练1 .两平面镜 OM QN相

8、交于点 Q且OML ON 一束光线从点 A出发，经过平面镜反射后， 恰好经过点B,光线可以只经过平面镜 OME射后过点B,也可以只经过平面镜 ONS射后过 点B.除了这两种作法外，还有其他方法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留 作图痕迹，并简要说明理由.Na AN/ A答案：作点A关于OM勺对称点A ,作点B关于ON的对称点B,连接A B,与OM ON别交于. 点D, C.光线行进路线如图.2 .(1)在A和B两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥CD桥建在何处才能使从A到B的路径最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直)(2)如图2,在A和B两地之间有两条河， 现要在这两

9、条河上各建一座桥，分别是MNF口 PQ桥分别建在何处才能使从 A到B的路径最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直)解：(1)如图，过点B作BB垂直于河岸，且使 BB长度等于这条河宽，连接 AB交河的 一岸于点C,过点C作CD垂直于河岸，与另一岸交点为 D,则CD即为架桥最合适的位置.(2)如图，过点 A作AA垂直于距点 A较近的河岸，且使 AA长等于该河宽，同样，过 点B作BB垂直于距点B较近的河岸，且使 BB长等于河宽，连接 A B分别交两条河相 邻的河岸于点N, P,过点N作NM垂直于该河河岸，与另一岸交点为M 过P作PQ垂直于该河河岸，与另一岸交点为 Q 则MN PQ即为架桥最合适的位置.3 2-，3.如图，直线y x 3分别与x轴，y轴交于点A, B,抛物线y = x+2x+1与y 4轴交于点C.若点E在抛物线y= x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求 C&EF的最小值.提示：作点C关于