河北省衡水市2021届新高考数学第三次调研试卷含解析

1、河北省衡水市2021届新高考数学第三次调研试卷一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1 .幻方最早起源于我国，由正整数1, 2, 3,，n2这n2个数填入n n方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n阶幻方.定义f (n)为n阶幻方对角线上所有数的和,如 f(3) 15,则 f (10)()D. 5050A. 55B. 500C. 505【答案】C【解析】【分析】1 2 3 f (n)因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等， 所以

2、n阶幻方对角线上数的和 f(n)就等于每行(或每列)的数的和,又n阶幻方有n行(或n歹U),因此，f(n)12 3 n2n于是f(10)1099 100 505 .故选：C本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题2 .等比数列 an的各项均为正数，且 a3a8 a4a7 18,则log3a log3a2 L log3a10 ()A. 12【答案】B【解析】【分析】B. 10C. 8D. 2 log3 5由等比数列的性质求得 为为。，再由对数运算法则可得结论.【详解】;数列an是等比数列，a3a8 a4a7 2a1a10 18 ,为4。9,5 .log3a1 log3a

3、2 Llog3 aw log3(a1a2L aQlog3(a1a10)510g 3 910故选：B.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键.3,已知函数 f x 2cos x sin x 一 6m ( m R )的部分图象如图所示.则Xo2苴A. 327C.一6B.D.56643，一一，2由图象可知f 31，可解得m1，一,利用三角恒等变换化简解析式可得 2sin2x ,令6 ,f x =0,即可求得X0.依题意,f 23.5sin 一61,解得m1一；因为22cosx sin x2cosx3 ：一 sin x21 cosx2 3sin2xcosx c

4、os x旦in2x21cos2x 2sin 2xx所以2x0 2k 6，考查三角恒等变换在三角函数化简中故选:C.本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量 的应用，难度一般.4.已知函数 f(x) sin(2019xcos(2019x )的最大值为M ,若存在实数m,n，使得对任意实 4数x总有f (m)f (x) f(n)成立，则m n的最小值为()A.2019【答案】B2B.2019C.2019D.4038根据三角函数的两角和差公式得到f xf x sin 2019x cos 2019x42sin(2019 x ),进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度 4要大于等于

5、半个周期，最终得到结果函数a sin2019x cos2019x cos2019x sin2019x 22 sin 2019 x cos 2019 x 2sin(2019 x则函数的最大值为2, M存在实数m,n,使得对任意实数 x总有f m f n成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即m n 20192min 2019故答案为：B.这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用,以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.n5.若 沃 1 的展开式中二项式系数和为256,则二项式展开式中有理项系数之和为()xA. 85B. 84C. 57D. 56【答案】A【解析】【分析】

6、先求n ,再确定展开式中的有理项，最后求系数之和【详解】n1 一，一一，解：3/x1 的展开式中二项式系数和为 256故2n8 r8 4r要求展开式中的有理项，则 r 2,5,8则二项式展开式中有理项系数之和为：C；+C；+C；=85故选：A【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题6.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2,点M为棱DD1的中点，则平面 ACM截该正方体的内切球所得截面面积为（）A. -B. -C.D.-333【答案】A【解析】【分析】根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面ACM的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求

7、.【详解】如图所示：设内切球球心为 O, O到平面ACM的距离为d ,截面圆的半径为r,因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为1,又因为 VO AMC VM AOC，所以-d SVAMCSVAOC，33又因为SVAMC1 2亚 J752& 276, Svaoc12V2172,22所以-d66,所以d-6-,333一.一r 3一所以截面圆的半径r 1 d2 ,所以截面圆的面积为S3故选：A.任何一个平面去截球，得到的截面【点睛】 本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算22_27.已知直线x

8、y t与圆x y 2t t t R有公共点，则t 4 t的最大值为（283232 "9' V'7【答案】C【解析】【分析】-22t t t R有公共点，得到2222根据x y 2t t t R表示圆和直线x y t与圆x八，40 t -,再利用二次函数的性质求解 . 3【详解】 22_2因为x y 2t t t R表示圆，所以2t t2 0 ,解得0 t 2,222因为直线x y t与圆x y 2t t t R有公共点，所以圆心到直线的距离 d r,即 qm2-4斛得0 t 3，一,4此时0 t ，324因为 f t t 4 t t2 4t t 24,在 0,一 递增

9、,3.432所以t 4 t的最大值f 43239故选：C本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档8.设集合A2 x a , B 0,2,4 ,若集合AI B中有且仅有2个元素，则实数a的取值范围为A. 0,2B.2,4C. 4,D.,0【答案】B【解析】【分析】由题意知0,2A且4 A,结合数轴即可求得 a的取值范围由题意知，AI B= 0,2 ，则0,2A,故 a 2,又4 A,则a 4,所以2 a 4,所以本题答案为B.本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定AI B中的元素是解题的关键，属于基础题.，、59.将

10、函数f(x) cosx的图象先向右平移 一 个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的613(0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在(-,)上没有零点，则的取值范2 2围是()2. 2 82A. (0,"U-,8B. (0,293 992 . 8一 .一C. (0,-U-,1D. (0,199【答案】A【解析】【分析】5根据y=Acos (cox+(j)的图象变换规律，求得 g (x)的解析式，根据7E义域求出x 的范围，再利用6余弦函数的图象和性质，求得3的取值范围.【详解】5 函数f (x) cosx的图象先向右平移 一 个单位长度，65 可得y cos

11、 x 的图象，61 ，再将图象上每个点的横坐标变为原来的一（0）倍（纵坐标不变）,5得到函数g（x） cosx cosA sin B ,即可得到 A B ，再求出B , ,取后根据 22 4的图象,6 3.一,若函数g(x)在(,3_)上没有零点，2 25 . 2 63 526262当k=0时, 当k=-1时，022 8(0，3叱，9.故答案为：A.本题考查函数y=Acos （cox+6的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题bsin A ,则 sin A sin C10.在钝角VABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c, B为钝角，若a

12、cosA22【详解】的最大值为（A.贬【答案】B【解析】【分析】B.C. 1_7D.一8首先由正弦定理将边化角可得sin A sinC sin B 一 sinB求出sin A sinC的最大值;解：因为 a cos A bsin A ,所以 sin AcosA sin Bsin A因为sin A 0所以 cosA sin Bsin A sinC sincosB cos2B22cos B cos B2 cosBcosB,0cosBsinsin Asin Cmax故选：B本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题11.设复数z满足2y 11 , z在复平面内对应的点的坐标为B.y2

13、2x 1x, y 则（_2C. X22y 1D.y2 2x 1根据共轲复数定义及复数模的求法,代入化简即可求解z在复平面内对应的点的坐标为x, y ,则z x yi ,解得y2 2x 1 .故选：B.【点睛】 本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轲复数的概念，属于基础题5次，至少连续出现 3次正面朝上12 .抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷的概率是（）A. 1B.-43【答案】A【解析】【分析】八 5C.32D.316首先求出样本空间样本点为 25 32个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数

14、，根据古典概型的概率计算公式即可求解【详解】样本空间样本点为 2532个，具体分析如下：记正面向上为1,反面向上为0,三个正面向上为连续的3个“1；有以下3种位置1_ _, _1_, _ _1.剩下2个空位可是0或1,这三种排列的所有可能分别都是2 2 4，但合并计算时会有重复，重复数量为2 2 4,事件的样本点数为：4 4 4 2 2 8个.故不同的样本点数为 8个，2 1.324故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。4013 . a 2b 5 1 c的展开式中，a3b2c的系数是.【答案】【

15、分析】555先将原式展开成 a 2b c a 2b ,发现a 2b中不含a3b【答案】_!2【解析】【分析】 由余弦定理先算出 c,再利用面积公式S【详解】由余弦定理，得 b2 a2 c2 2accosB,故 ABC 的面积 S lacsinB . 2c,故只研究后面一项即可得解.【详解】555a 2ble a 2b c a 2b ,依题意，只需求c a 2b 5中a3b2c的系数，是 c52 240.故答案为：-40【点睛】本题考查二项式定理性质，关键是先展开再利用排列组合思想解决，属于基础题v v rvvrvv vv14 .已知向量a1,2 ,bx,1 ,u a 2b,v 2a b ,且u

16、/v,则实数x的值是.1【答案】12【解析】1-1 a = (1, 2), b = (x, 1),贝U U = a +2 b =(1，2) +2 (x, 1) = (1+2x, 4)，v =2 a - b =2 (1, 2) - ( x, 1) = (2-x, 3),- v/ /v 3 (1+2x) 4 (2 x) =1 ,解得：x=.2点睛：由向量的数乘和坐标加减法运算求得u , v然后利用向量共线的坐标表示列式求解x的值.若a =(a1，a2), b = (b1，b2),则 a，b ? aa2+b 1b2=1, a / b ? ab2 a2b1=1.15 .在VABC中，内角A, B,C的

17、对边分别为a,b,c,已知B ,a 2,b J3 ,则VABC的面积为1 acsin B 计算即可.2即 3 4 c2 2c,解得 c 1 ,3故答案为：_!2【点睛】本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.16 .已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为9和15 ,则该圆锥的体积为 【答案】12依据圆锥的底面积和侧面积公式，求出底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求出体积。设圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,高为h ,所以有r2 9rl 15解得h 、.l2 r2.52324 1c 1故该圆锥的体积为 V=r2h -33_2-3 4

18、 12本题主要考查圆锥的底面积、侧面积和体积公式的应用。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为:t te e2t 2 t （其中t为参数），直线l的参数方程为 e e22-5m（其中m为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程;（2）若曲线C与直线l交于A,B两点，点P的坐标为2,0 ,求PA |PB的值.【答案】（1） 2cos21（一）（2） 54 4【解析】【分析】（1）首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据x cos , y sin ，得到曲线的极坐标方程;（2）将直线的参数

19、方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义得解；t t e e x 解：(1)曲线C： t 2 t消去参数t得到：x2 y2 1(x 1), e e由 x cos , y sin得 2 cos22 sin21(,)4 4所以 2 cos21(,)4 41 x 2 =m(2),5代入 x2 y2 1,2 y -m,53 24m m 3 05.5设PA m1，PB m2,由直线的参数方程参数的几何意义得:PA PB m2m 5【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题.18.已知函数f x x 1 ,不等式f x f x

20、15的解集为 x m x n .(1)求实数m , n的值；(2)若 x 0, y 0, nx y m 0,求证：x y 9xy.【答案】(1) m 1, n 4. (2)见解析【解析】【分析】(1)分三种情况讨论即可(2)将m, n的值代入，然后利用均值定理即可.【详解】解：(1)不等式f x f x 15可化为x 1x 25.x 1x 2即有或1 x 2或3 2x 52x 3 5解得,1 x 1 或 1 x 2或 2 x 4.所以不等式的解集为x 1 x 4 ,故m(2)由(1)知，nx y m111由 x0,y°得，一一一 xyx4xy1当且仅当之，即x- , yyx614x

21、y- 4x y 5 5 4 9, yy x1时等号成立.故13x考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题rr19.在锐角VABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，m 2b c,cosC , nr .r a,cos A ,且 m/n .(1)求角A的大小;2(2)求函数y 2sin B cos - 2B 的值域. 3.3【答案】(1)A ；(2),232【解析】【分析】(1)由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得cosA,进而得到 A;(2)利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为y 1 sin 2B ,根据B的范围可确63定2B 一的范围

22、，结合正弦函数图象可确定所求函数的值域 6【详解】r r(1) Q m/n , 2b c cosA acosC 0,由正弦定理得:2sin B sin C cosA sin AcosC 0,即 2sin BcosA sin A C 2sin BcosA sin B 0,-.1Q B 0, , sin B 0, cosA 一22(2)在锐角VABC中，A 322sin2 Bcos 2B311 cos2B cos2B2i3sin2B并2B1一 cos2B2sin2B 6函数y2sin 2B【点睛】本题考查三角恒等变换、2B1.一 sin22Bcos 2B的值域为 3,2 .32解三角形和三角函数性

23、质的综合应用问题；涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识2 X20.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C :a2yr1 a b 0的离心率为b2-,且过点0, J3 .21求椭圆C的方程;2已知4BMN是椭圆C的内接三角形,若点B为椭圆C的上顶点，原点。为4BMN的垂心，求线段 MN的长;若原点。为4BMN的重心，求原点 O到直线MN距离的最小值.1； 2433；叵22【答案】1 2L L431根据题意列出方程组求解即可;2由原点。为4BMN的垂心可得BO MN , MN x轴，设M x, y ,则2 .4 2uuuu uuL

24、rx 4 y ,根据BM ON =0求出线段MN的长； 32OD OA,设 MN：设MN中点为D，直线OD与椭圆交于 A, B两点，O为ABMN的重心，则BOy kx m , M %, % , N %, y2 ,则A % X2, % y2 ,当MN斜率不存在时，则 O到直线MN的距离为1,24k 3 x1x2 4mk X1X224m2 6 0,y kx m22，则3x2 4y2 124k222x 8mkx 4m 12 08mk4k2 3k2 14k2 4解：1设焦距为2c,由题意知:因此，椭圆C的方程为:2由题意知:BOMNX24k2X1X22_4m2 124k2 3得出4m24k2 3,根据

25、uuuu uur BM ON x,3yB, M不重合,设MN中点为。为4BMN的重心，则当MN斜率不存在时，则设MN :y kx mXl %2X242y23X13X1X2kx1kx24k23 x1x24mkX11 一1求解即可.4k2 4bb22 ab2故MN /X轴,7 2 3VM x, yN x,y. 3y 413249 'OD与椭圆交于A,BO 2OD OA,O到直线X1,y12X24X20,解得:故MN 2B两点,MN的距离为1;N X2,y2，则 A X1Vi2上1, 3X1X23, 2 c4m 6X2,y14y1 V2y2y 3x2kx m4y212'24k2 38

26、mkx24m2 12 04mk 2. 3 4k2 3 m2_248 4k32-4k2 3则：X1X28mk25 X1X24k2 31 24m2Ik212，代入式子得:32 -8m 6驾岂0, 4m24k 34k2设O到直线MN的距离为d ,则d2-4k2 34k2 41 4PL4当 X x x2 时，f x 0,综上，原点O到直线MN距离的最小值为 旦.【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题1121.已知矩阵 A 八 彳，二阶矩阵B满足AB 01(1)求矩阵B；(2)求矢I阵B的特征值.(2)特征值为1或1 .r 1【答案】(1) B 0【解

27、析】【分析】0彳，按照运算规律，即可求出矩阵B.10,即可求出矩阵B的特征值.1(1)先设矩阵B,根据AB0(2)令矢I阵B的特征多项式等于a b解：(1)设矩阵B 由题意，1 0因为AB 0 11所以0ac1a1bd0b1，即c0c0所以B(2)矩阵令f入2 101 ,B的特征多项式f11,0,解得1或1,所以矩阵B的特征值为1或1 .【点睛】本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值，考查学生的划归与转化能力和运算求解能力.,、一 2a 22.已知函数f(x) 1 2x 6a lnx存在一个极大值点和一个极小值点.x(1)求实数a的取值范围；a的取值(2)若函数f x的极大值点和极小值点分别为x

28、1和X2,且f x1f x22 6e,求实数范围.(e是自然对数的底数)【答案】(1)4,; (2) e,.9【解析】【分析】(1)首先对函数f x求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a的取值范围；(2)首先求出f xf x2的值，再根据f X f x2 2 6e求出实数a的取值范围.【详解】(1)函数f x的定义域为是 0,22a 6a 2x 6ax 2af x 2 -2,x xx若f x有两个极值点，则方程 2x2 6ax 2a 0一定有两个不等的正根，设为x1和x2,且xx2,2-36a16a 04所以x1 x2 3a 0 解得a9x1x2 a 0此时f x2 x x1x x2当0 x x1