考研数学二公式高数线代(费了好大的劲)技巧归纳

1、实用文档标准高等数学公式一、常用的等价无穷小当x 一 0时x sinx tan x arcsin x arctan x ln (1 + x) ex -1ax-1x In aa(1+x) -1 a x (a为任意实数，不一定是整数 )1-cosx 1x2增加x-sin x lx36对应arcsin x -x 1x36tan x -x lx33对应x - arctan x 1x33+= X打! (« +1)? K'产2situ X+T (-1)*+ £?(.t3! 02n + l)!141JC- J X CO£X= 1 4 2! 4!6!+ + 14-o(x&

2、#39;' !2nljy#>l+0( jf*1).-1 + ,t+ X- + -+yr +。劣r. nj ni -11ci + xr = i + j泣i +尸 .2r二、利用泰勒公式sin x x23!ex = 1 + x + o (x2) 2!导数公式:cosx= 1o (x2)In (1 + x) = x(tgx)sec2 x(ctgx)csc2 x(secx)secx tgx(cscx) cscx ctgx (ax)axlnaZl 、1(log a x) xlna基本积分表：tgxdx In cosx C ctgxdx In sinx C secxdx In secx tg

3、x Ccscxdx In cscx ctgx Cdx 1, x 八-2 - arctg 一 Ca x a adx 1 Jx a 八-2 丁1nCx a 2a |x a|dx 1 , a x 仆 -2 In Ca x 2a a xdx. xarcsin- Ca2 x2a(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)dx2- cos xdx2sin xsecxcscxa xdx1. 1 x21Tx212x11 x22.sec xdxcsc2 xdxtgxdxsecxctgxdxshxdxchxdxdx2xtgx Cctgxcscx Cx a1n achxshx一 1n(

4、 x , x2 a2)Ca22In sinnxdx cosn xdxooIn三角函数的有理式积分：- 2usin x 2,1 u.x2 a2dxx2 a2dx_22a x dxx 22-x a2x 22x a2x 22a x22a-1n(xx2a2) C22a 三 2 小 1n x vx a C22 axarcsin - C2ad 21 u, xcosx 2, u tg ,1 u2dx2du1 u2两个重要极限:一些初等函数:双曲正弦：shx双曲余弦：chx双曲正切：thx2shx exchx ex esinx /lim 1x 0 xlim(1 -)x e 2.718281828459045a

5、rshx ln(x x2 1)archxln(xx2 1)1 . 1 xarthxIn2 1 x三角函数公式:,诱导公式：和差角公式:sin()sincoscossincos()coscossinsintg()Mtg_1 tgtgctg()ctg_ctg1ctgctg和差化积公式:sinsin2 sincos22sinsin2 cossin22cos cos 2 coscos22cos cos 2 sinsin22工7数角 Asincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90°- acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ct

6、g a-tg a180。- asin a-cos a-tg a-ctg a180。+ a-sin a-cos atg actg a270。- a-cos a-sin actg atg a270 0+ a-cos asin a-ctg a-tg a360。- a-sin acos a-tg a-ctg a360 0+ asin acos atg actg a倍角公式:sin 2cos2ctg2tg22sin cos 2cos2 1 ctg212ctg 2tg1 tg21 2sin22 cos2 sin3sin3 3sin 4sin3cos3 4cos 3costg33tg tg31 3tg2半角

7、公式:'1 cos sin J2V21 cos 1 cos tg _2，1 cos sinsin1 cos1 cos cos.2'2'1 cos 1 cos sin ctg J2 V1 cos sin 1 cos.正弦定理：2Rsin A sin B sinC22, 2余弦定理：cab 2ab cosC反三角函数性质arcsinx arccosx2arctgxarcctgx高阶导数公式莱布尼兹( Leibniz )公式：n (n)小k(n k) (k)(UV) CnU V k 0(n) (n i) n(n 1) (n 2)n(n 1) (n ku v nu v u v

8、2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b) f(a) f ( )(b a)柯西中值定理： fb-胆 -f-(- F(b) F(a) F ()当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。1) (n k) (k)u vuv(n)曲率:弧微分公式：ds v11 丫,*,其中丫 tg平均曲率：K .:从M点到M点，切线斜率的倾角变 化量；s： MM弧长。M点的曲率：K lim II ys 01 s| ds Qi y 2)3直线：K 0;1半径为a的圆：K 1定积分的近似计算:矩形法：f(x) L/(y。Vlyn 1)梯形法：f(x) Lg(yo yn) VlVn 1an 2aVn

9、 2) 4(yi y3yn 1 )b - b a抛物线法：f(x) (yo yn) 2( y2 y,03n定积分应用相关公式:功：W F s水压力：F p A引力：Fkmm2,k为引力系数 r_ 1 b函数的平均值：y f(x)dxb a a均方根：1 bb-2f (t)dt aa多元函数微分法及应用全微分： dz dx dy x y全微分的近似计算：z dz 多元复合函数的求导法： z fu(t),v(t) dz dt uz fu(x, y),v(x, y)x当 u u(x,y), v v(x,y)时，du dx dy dv x y隐函数的求导公式：隐函数F(x,y) 0,5dx隐函数 F(

10、x,y,z) 0,-x, u u udu dx dy dz x y zfx(x,y) x fy(x, y) yuz v tv tz uz v u xv xvvdx dyxy2三，粤-(邑)+-(36Fydx x Fyy Fy dxFxzFyFz 'yFzF FJ (F,G)% 飞(u,v)G Gu vFuGuFvGvu1(F,G)v1(F,G)xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v工(F,G)yJ(y,v)yJ(u,y)隐函数方程组：F(x,y,u,v) 0G(x, y,u,v) 0微分法在几何上的应用：方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法:设fx(xo, yo)fy(xo,y

11、o) 0,令：fxx(xo,yo) A,fxy(xo,yo) B, fyy(xo,yo) CAC B2则：AC B22AC B2A o,(x0,yo)为极大值 oA o,(xo,yo)为极小值 o时，无极值o日t,不确定重积分及其应用:f (x, y)dxdyDf(r cosD,r sin )rdrd2 2曲面z f(x,y)的面积A1 一 一 dxdyd , x y平面薄片的重心:x (x, y)dx Mx _DM (x,y)dDy (x, y)dD(x,y)dD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2 (x,y)d , 对于y轴IyD平面薄片(位于 xoy平面)对殍由上质点M(0,0,a),(

12、a 0)的引力：F2,、，x (x, y)dDFx,Fy,Fz,其中:(x,y)xdD / 2(xFyD / 2(x(x, y)ydFzfaD / 2(x(x,y)xd322 2y a )微分方程的相关概念:一阶微分方程：y f(x, y) 或 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy f(x)dx的形式，解法:g(y)dy f(x)dx 得：G(y) F(x) C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成包f(x,y) dx、几 ydydudu,、 dx设 u ,则u x , u (u),xdxdxdxx即得齐次方程通解。(x,y)

13、,即写成¥的函数，解法:du(u)x-分离变量，积分后将上代替u, ux一阶线性微分方程:1、一阶线性微分方程：dy P(x)y Q(x)dx/当Q(x) 0时,为齐次方程，y Ce ""dx'/Q(x) 0时，为非齐次方程，y ( Q(x)e "x'dxdxP(x) dxC)e2、贝努力方程： P(x)y Q(x)yn,(n 0,1) dx全微分方程:如果P(x, y)dx Q(x, y)dy 0中左端是某函数的全微 分方程，即:u _ u 一du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy 0,其中：一 P(x, y) Q(x

14、, y) xyu(x,y) C应该是该全微分方程的 通解。二阶微分方程：d2y dx2即以Q(x)y "叫；)0时为齐次0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) y py qy 0,其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2 pr q 0,其中r2, r的系数及常数项恰好是(*)式中y , y , y的系数;2、求出()式的两个根r1,r23、根据不2的不同情况，按下表写 出(*)式的通解:r曾r2的形式(*)式的通解两个不相等实根(p2 4q 0)r1xrxy Ge1C2e2两个相等实根(p2 4q 0)y (c1 c2x)er1x2一对共轲复根(p 4q

15、 0)r1i , r2ip,4q p22,2y e x(c1 cos x C2 sin x)二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f(x), p,q为常数f(x) exPm(x)型，为常数；f(x) exP(x)cos x Pn(x)sin x型1、行列式1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式;2. 代数余子式的性质：、Aj和aj的大小无关；、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为|A ;3. 代数余子式和余子式的关系：Mij ( 1)i jAijAj( 1)i jMj4. 设n行列式D :n(n

16、 1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1 ( 1)十D ;n(n 1)将D顺时针或逆时针旋转 90°,所得行列式为 D2，则D2 ( 1尸D ;将D主对角线翻转后(转置)，所得行列式为D3,则D3 D ;将D主副角线翻转后，所得行列式为D4 ,则D4 D ;5. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；n(n 1)、副对角行列式：副对角元素的乘积(1尸 ；、上、下三角行列式(:主对角元素的乘积;n(n 1)、I，I和I，I:副对角元素的乘积(1)k.、拉普拉斯展开式:a|b、(Dmgn A B、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;、特征值;6.k ,其中

17、Sk为k阶主子式;7.证明A 0的方法:D、Al 1A ；1.、反证法；、构造齐次方程组 Ax 0,证明其有非零解;、利用秩，证明r（A） n ;、证明0是其特征值；2、矩阵A是n阶可逆矩阵：A| 0 （是非奇异矩阵）；r（A） n （是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组Ax 0有非零解；b Rn, Ax b总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为 0;AT A是正定矩阵；A的行（列）向量组是 Rn的一组基;A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A :AAA E无条件恒成立;3.1 *1(A ) (A )(A1)T(AT) 1* T(A )

18、T *(A )(AB )T BTAT*(AB)(AB)4.5.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;关于分块矩阵的重要结论,A其中均 A、B可逆:I、 AA2OAsAJA L |As| ;A11A21As1BO1 ；（主对角分块）n对于n阶行列式| A，恒有：| E A n （ 1）kSkk 1B 1.O ；(副对角分块)、一 1.AC A 1O B OA 1CB 1B1'(拉普拉斯)A 1B 1CA 1BO1 '(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：Er O等价类：所有与A

19、等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B ,若r(A) r(B) A : B ;2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非。元素必须为1;、每行首个非。元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)r、若(A,E) ： (E , X),则 A可逆，且 X A 1 ;c、对矩阵(A, B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B,即：(A,B) (E,A1B);r、求解线形方程组： 对于n个未知数n个方程Ax b ,如果(A,b)： (E,x),则A可逆，且 x A 1b ;4.

20、初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列 矩阵；，左乘矩阵A,i乘A的各行元素；右乘，乘A的各列元n素；111、对调两行或两列，符号E(i,j),且E(i, j) 1 E(i,j),例如：11111、倍乘某行或某列，符号E(i(k),且E(i(k) 1 E(i(1),例如 k(k10)；、倍加某行或某列，符 号 E(ij(k),且 E(ij(k)E(ij( k)，如11 k111 k1 (k 0);15. 矩阵秩的基本性质：、0 r(Am n) min(m,n)；、r(AT) r(A);、若 A : B ,则 r(A) r(B);、若

21、P、Q可逆，则r(A) r(PA) r(AQ) r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩 )、max(r(A),r(B) r(A,B) r(A) r(B) ; (X)、r(A B) r(A) r(B) ; (X)、r(AB) min(r(A), r(B) ; «)、如果A是m n矩阵，B是n s矩阵，且AB 0 ,则：(X)I、B的列向量全部是齐次方程组 AX 0解(转置运算后的结论)；n、r(A) r(B) n、若A、B均为n阶方阵，则r(AB) r(A) r(B) n;6. 三种特殊矩阵的方哥：、秩为1的矩阵：一定可以分解为 列矩阵(向量) 行矩阵(向量)的形式，再采用 结合律；1

22、 a c、型如0 1 b的矩阵：利用二项展开式;0 0 1(a b)nm m nCna bm 00 n 1 n 1. 1m n m mn 1 1 n 1 n nCnaCna b LCn a b L Cn a b Cnb注：I、 (a b)n展开后有n 1项;m n(n 1)L L (n m 1) n!0 nCn CnCn11g2瞅 gmm!(n m)!出、组合的性质：Cnm Cn m、利用特征值和相似对角化：mmCn 1CnCm1nCnr 2nr 0rCnrnC： 11 ;r (A) nr(A) n 1 ； r (A) n 17. 伴随矩阵：n、伴随矩阵的秩：r(A*)10、伴随矩阵的特征值:

23、1A (AXX,A* A A 1 A*X LAX);8.9.10.11.关于A矩阵秩的描述:、r（A）、r（A）、r（A）线性方程组:D、A中有A中有A中有阶子式不为0, n 1阶子式全部为0;（两句话） 阶子式全部为0;n阶子式不为0;其中A为m nm与方程的个数相同，即方程组矩阵，则：Ax b有m个方程;n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b为n元方程;线性方程组Ax b的求解：、对增广矩阵B进行初等行变换（、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；由n个未知数m个方程的方程组构成D、a11x1a12x2a21x1a22 x2L L L L LLamxiLa2nxbb

24、2L只能使用初等行变换n元线性方程:am1x1am2x2anm xbnana21Ma12a22MLL OLa1na2nMamnn个未知数）a2 Lx1x2Mxna1x1a2 x2anxn、有解的充要条件:1.2.x1x2Mxmb2MbmAx b （向量方程,（全部按列分块，其中b1b2 )；Mbnn矩阵，m个方程,r(A)（线性表出）r（A, ） n （ n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性m个n维列向量所组成的向量组A :m构成n m矩阵Am个n维行向量所组成的向量组 B ： 1T含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;、向量组的线性相关、无关、向量的线性表出、向量组的相互线性表

25、示AxAxAX0有、m构成m n矩阵BT1T2 ;MTm无非零解；（齐次线性方程组）b是否有解；（线性方程组）B是否有解；（矩阵方程）3 .矩阵Am n与Bl n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax 0和Bx 0同解;（Pioi 例 14）4 .r(ATA) r(A) ; ( P101 例 15)5.n维向量线性相关的几何意义:、线性相关、,线性相关、,线性相关0 ；,坐标成比例或共线（平行）；,共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若1, 2,L , s线性相关，则若1, 2,L , s线性无关，则1, 2,L , s, s 1必线性相关;1, 2,L , s1必线性无关；（向量的个

26、数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上n r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则B也线性无关；反之若 B线性相关，则 A也线性相关；（向量组的 维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7 .向量组A （个数为r）能由向量组B （个数为s）线性表示，且A线性无关，则r s（ 版P74定理7）；向量组A能由向量组B线性表示，则r（A） r（B） ; （ P86定理3）向量组A能由向量组B线性表示AX B有解；r（A） r（A,B）（包定理 2）向量组A能由向量组B等价 r（A） r（B） r（A, B） （P85定理2推论）8 .方阵A可逆 存在有限个初等矩

27、阵 P,P2,L,P,使A P1P2L P ; r、矩阵行等价：AB PA B （左乘，P可逆） Ax 0与Bx 0同解c、矩阵列等价： AB AQ B （右乘，Q可逆）；、矩阵等价： A B PAQ B （P、Q可逆）；9 .对于矢I阵Am n与Bl n ：、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；、若A与B行等价，则Ax 0与Bx 0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有 相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；10 .若 Am sBsn Cm n ,则：、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩

28、阵；（转置）11 .齐次方程组Bx 0的解一定是ABx 0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、ABx 0只有零解Bx 0只有零解；、Bx 0 有非零解ABx 0一定存在非零解；12 .设向量组Bn r : D，b2,L由 可由向量组 An s :a1,a2,L , as线性表示为：(P110题19结论)(bi,b2,L ,br) (a1,a2,L ,as)K (B AK )其中K为s r,且A线性无关，则B组线性无关r(K) r；(B与K的列向量组具有相同线性相关性)(必要性：Q r r(B) r(AK) r(K),r(K) r, r(K) r ;充分性：反证法)注：当r s时，K为方阵，可当作定理使用；13 .、对矩阵Am