届高三数学总复习抛物线教案新人教A版

1、2014届高三数学总复习抛物线教案新人教A版考情分析考点新知建立并掌握抛物线的标准方程，能根据已知 条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简 单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理 一些简单的实际问题.了解抛物线的定义、几何图形和标准方 程，了解它们的简单几何性质 .掌握抛物线的简单应用.1 .已知抛物线的焦点坐标是 （0 , 3）,则抛物线的标准方程是 .答案：xa2 , AO- OF= 16= 4,则a = 64.又a> 0,所以a = 8,该抛物线的方程是 y = 8x.=12y1p2解析：:2=3，P =6'x =- 12y.2 .抛物线y2=8x的准线方程是 .答案：x=

2、2解析：2p= 8,p =4,故所求准线方程为 x = 2.3 .抛物线y= ax2的准线方程是 y=2,则a的值是.1答案：- 8解析：抛物线的标准方程为x2 =1y.则av 0且2=得2=；.a4a84 .（选彳11P44习题2改编）抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为 3,则点M的横坐标 x=.答案：25 析：: 2p= 4, . p =2,准线方程x= 1.由抛物线定义可知，点M到准线的距离为 3,则 x+ 1 = 3,即 x = 2.6 .已知斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a >0）的焦点F,且与y轴相交于点 A,若 OAF（O为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为 .

3、答案：y2=8xaa.解析：依题意得，OF= 4,又直线l的斜率为2,可知AO= 2OF=4AOF的面积等于1 .抛物线的定义平面内到一个定点 F和一条定直线l（F不在l上）距离相等_的点的轨迹叫做抛物线, 点 F叫做抛物线的焦点，直线 l叫做抛物线的准线.2 .抛物线的标准方程和几何性质（如下表所示）标准方程y2= 2Px(p>0)y2= - 2px(p>0)图形性质范围x-0, yCRXW0, y C R准线 方程x=-P x2PX =-2焦点2_0二 Q对称轴 顶点关于一轴对称（0, 0）离心率e= 1标准方程x2 = 2py(p>0)x2 = - 2py(p>0

4、)图形性 质范围y>0, xCRyW0, xCR准线 方程p y = 2P y = 2焦点九2。2对称 轴关于y轴对称顶点(0, 0)离心 率e = 1题型1求抛物线的基本量例1抛物线y2= 8x的焦点到准线的距离是 .答案：4解析：由y2=2px=8x知p=4,又焦点到准线的距离就是 p,所以焦点到准线的距离为 4.备选变式（教师专享）抛物线y2=- 8x的准线方程是.答案：x=2解析：: 2p= 8,p=4,准线方程为x= 2.题型2求抛物线的方程例2 （选彳11P44习题5改编）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直 线2x y 4=0上，求抛物线的标准方程.解：直线2x

5、y4 = 0与x轴的交点是（2, 0）,与y轴的交点是（0, 4）.由于抛物线 的顶点在原点，对称轴为坐标轴，则若抛物线焦点在x轴上，则抛物线的标准方程是y2= 8x;若抛物线焦点在 y轴上，则抛物线的标准方程是x2=- 16y;故所求抛物线方程为y2= 8x 或 x2= 16y.变式训练已知RtAOB的三个顶点都在抛物线 y2=2px上，其中直角顶点 。为原点，OA所在直线 的方程为y=®, 4AOB的面积为63,求该抛物线的方程.解：: OA,OB且OA所在直线的方程为 y=73x, OB所在直线的方程为 y= g3x,y=2px，2d 2/3p由 厂得A点坐标为胃，* ,y=

6、#x,33y2= 2px,由x/3得B点坐标为（6p , 2d3p）,y=-1"x， OA= 3lp| , OB= 4731P| , 3又 SaOAB=芭3p2=6j3,p=±2.该抛物线的方程为 y2= 3x或y2 = 3x.题型3抛物线的几何性质探究例3在平面直角坐标系 xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点 A（2, 2）,其焦点F(1)求抛物线C的标准方程；(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程；(3)设过点M(m 0)(m>0)的直线交抛物线 C于H E两点，MP 2DM记D和E两点间 的距离为f(m),求f(m)关于m的表达式.解：(1)由题意，可设

7、抛物线 C的标准方程为y2 = 2px.因为点A(2, 2)在抛物线C上， 所以p=1.因此抛物线C的标准方程为y2= 2x.12(2)由可得焦点F的坐标是2, 0 ,又直线OA的斜率为5= 1,故与直线OA垂直的直八，一 1线的斜率为一1,因此所求直线的方程是x+y2=0.(3)(解法1)设点D和E的坐标分别为 仅1»)和(x2, y# ,直线DE的方程是y=k(x -m),1 ±小 + 2mkkkw0.W x = + mRA y2=2x,有 ky2-2y- 2km= 0,解得 yb 2= k由 ME= 2DMH 1+巾+ 2mK=2(、1 + 2mH-1),化简得 k2

8、=m.因此 de2 = (x i X2)2+(y i y2)2=222、1 4 (1 + 2mk)k2k24(m2 + 4m),一,3所以 f(m) = 2ym +4m(m>0). $212(解法 2)设 D1, s , E, t .,-一 一>_12由点 M(m 0)及 ME= 2DM 得 2tmt=22 m- , t 0=2(0s).因此 t = 2s, m= s2.2 s2 2o 3所以 f(m) =DE='/ 2s 十 ( 2s s) = 2jm+ 4m(m>0).备选变式(教师专享)抛物线y2= 2px的准线方程为x=-2,该抛物线上的每个点到准线x=-2的

9、距离都与到定点N的距离相等，圆 N是以N为圆心，同时与直线l1： y = x 12： y=- x相切的圆，(1)求定点N的坐标；(2)是否存在一条直线l同时满足下列条件：l分别与直线11和12交于人、B两点，且AB中点为E(4, 1);l被圆N截得的弦长为2.解：(1)因为抛物线y2=2px的准线方程为x= 2.所以p= 4,根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点，所以定点N的坐标为(2 , 0).(2)假设存在直线l满足两个条件，显然l斜率存在，设l的方程为y1 = k(x4), kw± 1.以N为圆心，同时与直线 l 1： y=x和l2： y=- x相切的圆N的半径为 取.因为l

10、 被圆N截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1,即d=|2k_2 =1,解得k=0或4,1 + k34 一当k=0时，显然不合 AB中点为E(4, 1)的条件，矛盾， 当k=时，l的万程为4x-3y- 34x-3y-13=04x-3y-13=013= 0.由，解得点A的坐标为(13, 13);由，解得点B的y = xy= - x坐标为1313.显然AB中点不是E(4, 1),矛盾，所以不存在满足条件的直线l.1.抛物线y= x2上的点到直线4x + 3y 8=0的距离的最小值是 .-4答案：-3解析：设抛物线y = x2上一点为(m, - mi),该点到直线 4x+3y 8=0的距离为43

11、.222.已知双曲线 C : a b2= 1(a>0 ,b>0)的离心率为2.若抛物线 G: x2=2py(p>0)的焦2|4m3m 8|“2n./口目,-L,当m=m时，取得最小值53点到双曲线Ci的渐近线的距离为 2,则抛物线 Q的方程为 .答案：x2=16y解析：双曲线 C ： x2y2= 1(a >0, b>0)的离心率为 2,.C=W b =2, ba ba a= 43a,，双曲线的渐近线方程为 ，3x±y = 0, .抛物线C2：x2=2py(p >0)的焦点0,匀到双曲线的渐近线的距离为V3x0±p2, p = 8.所求的抛

12、物线方程为x2= 16y.3.已知抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原点O,并且经过点 M(2, y。).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则OM=.答案：2 3解析：依题意，设抛物线方程是y2=2px(p>0),则有2 + p=3,得p=2,故抛物线方程是y2=4x,点M的坐标是(2 , ±2小)，OM= 口+8 = 2/.4.已知抛物线D的顶点是椭圆22c：2+15=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.(2)求抛物线D的方程；过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M N两点.若直线l的斜率为1,求MN的长；是否存在垂直于x轴的直线m被以MM直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存

13、在,求出m的方程；如果不存在，说明理由.解：(1)由题意，可设抛物线方程为 物线的焦点为(1 , 0), p =2.抛物线D的方程为y2=4x.(2)设 M(x1, y。，N(x2, y2).y2= 2px(p>0).由 a2b2= 43= 1,得 c= 1, 抛直线l的方程为y=x4,联立y： 4，整理得 x212x + 16=0,即 M(6-2j5,2-2洞，N(6 + 2乖，2+24)，MN = 勺(x1 x2)2+ ( y1 y2)2 =410.x1 + 4 y1设存在直线m： x = a满足题意，则圆心 E厂，,过E作直线x = a的垂线，垂 足为E',设直线m与圆E的

14、一个交点为 G.可得|E' G|2=|EG|2-|EE，| 2,即|E' G| 2= |EA|,2TEE I =/八 22(x1 4)+ y1x1 + 4a=一y1 +4，/，、2/，、(x1 4) (x1+4)22-+ a(x 1 + 4) a = x14x1+a(xd4) a2=(a 3)xd4a a2.当 a=3 时，|E ' G|2=3,此时直线 m被以 AM直径的圆E所截得的弦长恒为定值2季,因此存在直线m： x= 3满足题意.5.如图，等边三角形OAB的边长为83,且其三个顶点均在抛物线E: x2=2py(p>0)(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线

15、l与抛物线E相切于点P,与直线y=- 1相交于点Q.证明：以PQ为直径 的圆恒过y轴上某定点.解：(1)依题意，OB= 8J3, / BOy= 30° .设 B(x, y),则 x= OBsin30° = 43, y = OBcos30° = 12.因为点 B(443, 12)在 x2 = 2py 上，所以(4，3) 2= 2pX 12,解得 p=2.故抛 物线E的方程为x2= 4y.一 ， 八 1 2,1(2)由(1)知 y = 4* , y = 2x.设 P(x0, y(),12则x0w0, yo = -xo,且l的方程为 411122x0(x x。), 即

16、y = 2x0x4x0.yy0=11 2y = -x0x-x0,由 24y = - 1,2x0 4所以Q为H，2x02x0 4x=,2x0 'y=- 1.设M(0, y1),令MP- Mq= 0对满足12,y°= 4x°(x 0W 0)的 x°, y°恒成乂.由于 MP= (x 0, y0 y1),x24MQ= -2xT, t-y1，. 一 x2 4r由MP- MQ= 0,得一2一一y°y°y1 + y1 + y1 = 0,2即(y1 + y1 2) + (1 y1)y 0=0.()由于(*)式对满足y0= 4x0(x 0W

17、0)的y0恒成立,1 y1 = 0,所以 y0-2 = 0,解得y1=1.故以PQ为直径的圆恒过 y轴上的定点 M（0, 1）.1.（文）已知抛物线 y2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 答案：相切解析：设抛物线焦点弦为 AB,中点为M,准线为l , Ai、Bi分别为A、B在直线l上的射 1_1_影，贝U |AA1| = |AF| , |BB1| = |BF| ,于是 M到 l 的距离 d=-（|AAi| 十|BBi|） =2（|AF| 十 |BF|）1=2|AB| =半径,故相切.（理）下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面 2 m,水面宽4 m.水位下降 m后

18、，水面宽 m.答案：2 6解析：设抛物线的方程为x2= 2py,则点（2 , -2）在抛物线上，代入可得 p=1,所以x = - 2y.当y = - 3时，x = 6,即x= ± 6,所以水面宽为 21/6.2.（文）已知抛物线y2=2px（p >0）的焦点为F, P、Q是抛物线上的两个点，若 PQF是 边长为2的正三角形，则 p的值是.答案：2土木22p _y1y22y22y1斛析：依题息得 F 2,。，设P 2p，丫1，Q 2p，y2（ywy2）.由抛物线7E义及 PF= QF,P221.2p 2 2P 卜2'所以 丫1 = 丫2，所以 丫1 = y2.又 PQ=

19、2,因此 |y “ = |y 2| = 1,点 P-2p, 1 .又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得（理）抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线一 1 pPF= 2-+2=2,由此解得 p=2±73./px2 y2孑-Y=1（a>0, b>。）的一个焦点,并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为杂,求抛物线与双曲线方程.解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，p=设抛物线方程为y2 = 4c - x.332;抛物线过点 2,、/6 , 6= 4c 2. c= 1,故抛物线万程为y =4x.又双曲线2c,一 1 396 p 2221

20、过点 2，加"4?一m=1.又 a+b=c=1，96° 1c-4pH7=1.'a =7或2=9（舍）小3-,故双曲线方程为 4x2-4y-=1. 433.（文）如图，过抛物线 y2=2px（p>0）的焦点F的直线1交抛物线于点 A B,交其准线于点 C.若|BC| =2|BF| ,且 |AF| =3,则此抛物线的方程为答案：y2=3x解析：由抛物线定义，|BF|等于 由 |BC| =2|BF| ,得/ BCM 30° . 又|AF| =3,从而 A 2+2, 2B到准线的距离.由A在抛物线上，代入抛物线方程y2=2px,解得 p=3.（理）如图所示，

21、直线11和12相交于点 M 112,点NC 11,以A、B为端点的曲线段 C上任一点到12的距离与到点 N的距离相等.若AMN锐角三角形，|AM|=07, |AN| =3, 且|NB| =6,建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.解：以直线11为*轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以12为准线的抛物线的一段.其中A、B分别为曲线段 C的端点.设曲线段C的方程为y2= 2px(p >0)(x aW xWxb, y>0),其中Xa、 Xb为A B的横坐标， p= |MN|, M 1 0、2p一p nN, 0 .由 |AM| =5，|AN|

22、 =3,得 XA+2 +2pxA=17,XA- p +2pxA= 9.联立，解得4，、一、一xa=-，代入式，并由p.p p= 4, p = 2, , w .p>0,解得或.AMN锐角xa= 1xa= 2.一一， p二角形，2>xA.p= 4,由点xa= 1.B在曲线段C上，得xb=综上，曲线 C的方程为y2=8x(1WxW4,p|BN| - = 4.y>0) .4.( (2) 解:文)求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程.过点(一3, 2);焦点在直线x2y 4=0上.(1)设所求抛物线的方程为y2= 2px或x2= 2py(p >0).、一八2 ,、9过点(-3, 2), . 3)或9=2-3或p = 4.，所求抛物线的万程为y2= 3x或x2 = |y,前者的准线方程是x = 3,后者的准线方程是y = -98.(2)令x=0得y= 2,令y = 0得x = 4, 抛物线的焦点为(4, 0)或(0 , 2).当焦 p2p点为(4, 0)时，2