最全圆锥曲线知识点总结

1、注意：若PFiPF2F动点P的轨迹无图形.2 X(1)椭圆：焦点在X轴上时六 a2为参数)，焦点在y轴上时-yy a2.椭圆的几何性质：22(1)椭圆(以x2冬 1( a b两个焦点(c,0)；对称性：访：2 ,则动点P的轨迹为线段2-y- 1 (a2 b2 c2) b2x2-v= 1 ( a b 0)。bb 0)为例)：范围：弃对称轴x 0, y 0 ,高中数学椭圆的知识总结1.椭圆的定义：平面内一个动点 P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(PF1 PF2 2a F1F2)，这个动点P的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距F1F2；若 PF1 |PF2F1

2、F2I，则x acos (参数方程，其中 y bsina x a, b y b ;焦点：一个对称中心(0,0 ),四个顶点(a,0),(0, b),其中长轴长为2a,短轴长为2b；离心率：e c,椭圆 0 e 1, e a越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。22(2).点与椭圆的位置关系：点P(x0,y0)在椭圆外x2 y 1；a b2222点P(X0,y°)在椭圆上笠咚=1;点P(X0,y°)在椭圆内多 写1aba b3.直线与圆锥曲线的位置关系 ：(1)相交： 0直线与椭圆相交；(2)相切： 0直线与椭圆相切；(3)相离：0直线与椭圆相离；22如：直线ykx 1=0与椭圆

3、 上 1恒有公共点，则 m的取值范围是 ;5 m4 .焦点三角形(椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形)5 .弦长公式：若直线y kx b与圆锥曲线相交于两点 A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB =J1 k2|x x2 ,若y1，y2分别为A、B的纵坐标，则 AB = Jy ,若弦ABk k所在直线方程设为 x ky b ,则|AB = V1 k21y1 y2 。6 .圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法” 求解。在椭圆222xyb x021中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 k=工；aba y0x2 y如(1)如果椭圆 一 匚 1弦被点A (

4、4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是 ;36922(2)已知直线y=x+1与椭圆 4 1(a b 0)相交于A、B两点，且线段 AB的中点在直 a b线L: x2y=0上，则此椭圆的离心率为 ;22(3)试确定m的取值范围，使得椭圆 上 1上有不同的两点关于直线 y 4x m对称；43特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0!椭圆知识点的应用1 .如何确定椭圆的标准方程任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是 坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准

5、方程需要三个条件：两个定形条件a,b； 一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2 .椭圆标准方程中的三个量 a,b,c的几何意义椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：一 222(a b 0), (a c 0),且(a b c )。可借助右图理解记忆：a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3 .如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2, y2的分母的大小，哪个分母

6、大，焦点就在哪个坐标轴上。4 .方程Ax2 By2 C(A,B,C均不为零)是表示椭圆的条件方程Ax2By2Ax2C可化为CBy2C21,即三 cBy2 c1,所以只后A、B、C同号,ABC CC C且A B时，方程表本椭圆。当一 一时，椭圆的焦点在x轴上；当一 一时 椭圆的焦点在 y A BA B轴上。5 .求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6 .共焦点的椭圆标准方程形式上的差异22

7、共焦点，则c相同。与椭圆与 1 (a b 0)共焦点的椭圆方程可设为 a2 b222xv 一 .2、一 一 一 、一. -y- 1(m b ),此类问题常用待定系数法求解。a m b m7 .判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的x换成x,方程不变，则曲线关于y轴对称； 若把曲线方程中的y换成y,方程不变，则曲线关于x轴对称； 若把曲线方程中的x、y同时换成 x、 y,方程不变，则曲线关于原点对称。8 .如何求解与焦点三角形 PF1F2 (P为椭圆上的点)有关的计算问题思路分析：与焦点三角形 PFF2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦、一 一一 、一 1定理(或勾

8、股定理)、三角形面积公式 S pFiF2 - PFi PF2 sin F1PF2相结合的 1 22方法进行计算解题。将有关线段|pf1、pf2、F1F2| ,有关角 F1PF2( F1PF2F1BF2)结合起来，建立PF1I 匹卜|PFj IPF2之间的关系.9 .如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系22xyoo例3.已知P为椭圆 1 1上的一点，M , N分别为圆(x 3)2 y2 1和圆 2516(x 3)2 y2 4上的点，则PM |PN的最小值为题型2:求椭圆的标准方程例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)经过两点 A(V3, 2), B( 2后)；(2)经过点(2, - 3)

9、且与椭圆9x2 4y2 36具有共同的焦点；(3) 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为472 -4.题型3:求椭圆的离心率例1、 ABC中， A 30o, AB 2, Svabc J3,若以A, B为焦点的椭圆经过点 C ,则椭圆的离心率为.例2、过椭圆的一个焦点 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于 P,若 F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为题型4:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等)22例1.已知实数x, y满足上L421,贝U x2 y2 x的范围为c长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e -(0 e 1),因为 a22例2.已知点A,

10、 B是椭圆上万岂21m nuuum 0, n 0 )上两点，且AOuurBO ,则=22,2c a b , a c 0,用a、b表小为e1 (b)2(0ae 1)。题型5:焦点三角形问题22例1.已知F1,F2为椭圆941的两个焦点，p为椭圆上的一点,已知P,F1,F2为一个直角三显然：当b越小时，e(0 a椭圆形状越趋近于圆。题型1：椭圆定义的运用e 1)越大，椭圆形状越扁；当越大，e(0 e 1)越小, a角形的三个顶点，且 PF1IpfJpf2，求一1的值.PF22 x 例1.已知F1,F为椭圆 252y-1的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A、B两点若F2A EB 12,则 AB 2

11、2例2.已知后下2为椭圆C：1的两个焦点，在C上满足PF1PF2的点的个数为.841 一一例3.已知椭圆的焦点是F)(Q 1),F2(Q1),且离心率e - 求椭圆的方程； 设点P在椭圆上，且 PF1PF2 1,求 cos F1PF2.例2.如果方程x2 ky2 2表示焦点在x轴的椭圆，那么实数 k的取值范围是 2y 1恒有公共点，求实数 m的取值范围;m题型6:三角代换的应用x2y2 .、, 一 .例1.椭圆一 匚 1上的点到直线l: x y 9 0的距离的最小值为169x2 y2 .一例2.椭圆一 U i的内接矩形的面积的最大值为169题型7:直线与椭圆的位置关系的判断22例1.当m为何值

12、时，直线 y x m与椭圆 1相交相切相离1692x例2.若直线y kx 1(k R)与椭圆一 5题型8:弦长问题223.椭圆上工 1的一条弦被 A 4,2平分，那么这条弦所在的直线方程是3694 .若F1,F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，若 PF1F2： PF2F1： F1PF2 1:2:3,则此椭圆的离心率为x2 y2_.、一.一 5 .在平面直角坐标系中，椭圆 一2 七 1(a b 0)的焦距为2c,以。为圆心，a为半径的圆， a b2过点(,0)作圆的两切线互相垂直，则离心率 e=.c，双曲线基本知识点例3.椭圆mx2OC的斜率为22ny(O为原点)，求椭圆的方程.双曲线标准方程

13、(焦点在x轴)22与 4 1(a 0,b 0) a b标准方程(焦点在 y轴)22当3 1(a 0,b 0) a b定义定义：平面内与两个定点 F1 , F2的距离的差的绝对值是常数(小于 F1F)的点的轨迹叫 双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。M MF1 MF2 2a 2a "眉pyxF1F2yF1范围x a, y Ry a, x R对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点O(0,0)焦点坐标F1( c,0) F2(c,0)F1(0, c)F2(0,c)4x2 y2,例1.求直线y 2x 4被椭圆 ，1所截得的弦长992例2.已知椭圆 y2 1

14、的左右焦点分别为 F1,F2,若过点P (0, -2 )及F1的直线交椭圆于 A,B 2两点，求ABE的面积；题型9:中点弦问题22例1.求以椭圆 1内的点A (2,-1)为中点的弦所在的直线方程。85例2.中心在原点，一个焦点为F1 (0,450)的椭圆截直线y 3x 2所得弦的中点横坐标为 j ,求椭圆的方程.1与直线x y 1相交于A B两点，点C是AB的中点.若AB巩固训练1 .如图，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线AB1与BF交于D,且 BDB1=90o,则椭圆的离心率为x2_uuu uuu2 .设F1，F2为椭圆 y2 1的两焦点，P在椭圆上，当 F1PF2面积为1时，PF1 PF

15、2的值为4焦点在实轴上，c Ja2 b2 ；焦距：F1F2 2c顶点坐标(a,0)( a,0)(0, a,)(0, a)离心率e a JHF,(e 1)渐近线方程b y -x aay bx共渐近线的双曲线系方程22、k (k 0)a2 b222与0 k (k 0)a2b2直线和双曲线的位置22双曲线 二 1 1与直线y kx b的位置关系： a b221-利用 a2 b21转化为一兀二次方程用判别式确定。y kx b二次方程一次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦 AB的弦长 |ab J1 k2>/（x1 x2）2 4x（x2补充知识点:22c. - -y- 1(y > 3)169同

16、步练习一：如果双曲线的渐近线方程为例2、A.2 x 763 一x , 42y9 1(y0 3)则离心率为（已知双曲线12 k 1542 y_kD. ,31的离心率为D. 12 kk的范围为（等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是 a=b,但有些地区教材版本不同，不一定用的是 a,b这两 个字母）；(2)其标准方程为x2y2C ,其中 C 0 ；(3)离心率e 、, 2 ；(4)渐近线：两条渐近线y=±x互相垂直;例题分析:例1、动点P与点F1（0,5）与点F2（0, 5）满足PF1PF26,则点P的轨迹方程为（A.22x _y_ d一 191622B .- y

17、11692同步练习二：双曲线与a2例3、设P是双曲线与 ay_b22 y91的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x 2y 0, F1, F2分别是双曲线的左、右焦点，若 PF13 ,则PF2的值为同步练习三：若双曲线的两个焦点分别为（0, 2）,（Q2）,且经过点（2 J15）,则双曲线的标准方程例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（x22(A) - -y =1(C)y 2-二=13同步练习四上且PF12A.和x2-2 x =13y-=13(B)(D)2 -y 2=1 和 y2- 土 =133：已知双曲线的中心在原点,PF2 ,且PF

18、1F2的面积为例5、与双曲线渐近线的距离是(A) 8同步练习五：以22-y 2=1和工39两个焦点Fi, F2分别为（J5,。）和（50,0），点p在双曲线1,则双曲线的方程为（2 x C .42 工16(B)1有共同的渐近线，且经过点(C) 2J3x为渐近线，一个焦点是 F （0,A（2)3,2/3的双曲线的一个焦点到一条(D) 1的双曲线方程为例6、下列方程中，以x± 2y=0为渐近线的双曲线方程是2x5.12012局考江苏8】（5分）在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线一m2(A)162(B)x-4_21 (D)x则m的值为同步练习六：双曲线8kx2-ky 2=8的一个焦点是（

19、0 , 3）,那么k的值是抛物线例7、经过双曲线x221的右焦点F2作倾斜角为330 °的弦AB,(1)求 |AB|.（2） F1是双曲线的左焦点，求 F1AB的周长.2同步练习七过点（0, 3）的直线l与双曲线 42 1只有一个公共点，求直线 l的方程。3高考真题分析1.12012高考新课标文10】等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上，C与抛物线y2 16x的准线交于A, B两点,AB 4J3 ;则C的实轴长为（(A) 2(B) 2 2(C)(D)2.12012高考山东文11】已知双曲线C1 :2 y b21(a0,b 0）的离心率为2.若抛物线C22:x 2py(p0）的焦点到

20、双曲线 C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为(A)28.3x y3(B)216 32x y (C) x 8y3(D)2x 16y3.12012高考全国文10】已知F1、52为双曲线C:x22的左、右焦点，点 P在C上,| PE | 2 | PF2 |,则 cosF1PF2(B)44. （2011年高考湖南卷文科(C) 346）设双曲线的渐近线方程为则的值为（抛 物 线ly2 2px(P 0)4y(y2P2px0)x(1：22pyp 0)Jx (1 y2 2pyp 0)LlF定义平向内与一个定点F和一条定直线l的跑离相等的点的轨迹叫 做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。m|mf|=

21、M到直线l的距离做抛物线，点F叫范围x0,Y Rx 0, Y RxR,Y 0x R, Y 0对称性关于x轴对称关于Y轴对称隹百八、八、4,0)(-r0)。争焦点在对称轴上顶点O(0,0)离心率e=1准线 方程xIpx_p2Y 1准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的跑离相等。顶点到准 线的距离_p2焦点到准 线的距离P焦半径A(Xi, Yi)AF x1 2AFx p x1 2AF Y1 wAFY11焦点弦长AB(x1 x2) p(x1 x2) p(yy2) p(y y) p焦点弦AB的几 条性质 A(x1,y)B(x2,y2)1J - oy<£xxxB2,y2以AB为直径的圆必与准线l相切若AB的倾斜角为,则|AB| 百一sin若AB的倾斜角为 ，则| AB 的p- cos2p2x1x2VlV2p411 AF BFAB2AF BF AF ?BF AF ?BF p切线 方程y°y p(x %)y°yp(x x°)x°x p(y y°)x°xp(y y°)1、直线与抛物线的位置关系y1 y2 kx1b kx2 b k(x1 x2) 2by1y2 (kx1 b)(kx2 b) k2x1x2 kb(x1 x2) b2在涉及弦长，中点，