讲义课件教程

1、 第六章线性马昱春计算机系myc1回顾nå c j x j=一般形式mx (min)ZGenerl formj =1nå aij x j£ (=³ ) bi(i = 12 L m )j =1x j³ 0(j = 12 L l )n variables，n³lmax Z =cj xj标准形式Augmenti non-negatived formì= bi=1× 2Laij xjïíx³=1×Lïîj2单纯型法(Simplex Method)顶点若S=XAXb

2、,X0有解，则必可在的某个顶点上取得最大值。X是S的顶点的充要条件是X的非0元对应的A的列向量线性无关BmaxZ0040ù00Bx=b210x=B-1 ê0=ê ï3=12;x4=8;xxíïïx5=16;x6=12úxx2604000x1 x2x3 x4xx63CB=c1,c2cm为基变量对应的目标系数向量bmaZ=2x1+3x2+0x3+0x4+0x5+0x60 +maxZ042éêù0 1221002=CB=0ú=0816A=êúú

3、9;+=xx+1íïêêx1xï26找出一个初始可行解0ë400012,3X1=(0,0,12,8,16,12)，Z1=0bi Q x= min12812是：变量迭代 )=32224是是否最优初等变换 B-1最优解P0PjB-1Aj循否é0-0.05ù2100环621 ê-0.5ú001P =êúú转移到另一个目标函数0ê（找更大的基本可行解）4001106ê1ú0ë000.205û3变量的变换Z?X2=(0,3,6

4、,2,16,0) Z2=94P0A2éêù0 122100ú变量的变换00ú8A=êê16x1 = 0 时， x2 为换入变量ê4ú012当0ë00P0( 1 2 m )T再设 Pj(1j 2j mj )T，5x=3-x 2³确定换出变量x=-x 2³b x= m in(1281 ) = 3i222 , 4x=³x=12-4x³x6=0 成为变量，与 x2交换CB=c1,c2cm为基变量对应的目标系数向量APP0é0-0.05ù

5、9;0 12210012210062ê0-0.05ú0ú108P =êúúú初等变换 B-1A0êêê44001106316êúú0120ë1000.205û000PjB-1Aj，于是CPjCBB-1Aj目标函数： Z=C P0= CB-1bBB目标函数有所åcjmaZxj x(ia1ij x j 2ibmL)0Z ( cjCBPj ),xj(j12n)L又因为PjB-1Aj，于是CBPjCB 1A时j 同 Z(X1)CjC，令6jZ

6、( cjCBPj ),收敛性讨论：jcjzj， Z j,若存在j>0,目标函数可= (k/kj) 于是Aj进入，Ak，由原顶点X转到新顶点X若Pj= (1j mj)T02j目标函数无上界，此线性问题无最优解 若所有j0,目标函数已经达到最大，X是问题的解求极小问题则若所有j0,目标函数已经达到最大，X是问题的解7Z ( cjCBPj ),定理 设X( 1 2 m 0 0 ) 是线性问题maxZCX，AXb，X0的一个解.A1，A2，Am是X的正元对应的基 如果j0，j1，2， ，n+m，则X是最大值点 其中jcjCBB-1Aj。证 设S是线性，任给YS，Z(Y)问题的CY根据假设j0，即

7、jcjzj 0cjzj，j1，2， ,nm写成矩阵形式就是C(CBB-1A1， CBB-1A2 , , CBB-1Aj )C CBB-1A于是CY CBB-1AY，CY CBB-1b而B-1bP0，CBP0CX从而CYCX， 即X是最大值点8其步骤总结如下：是是否最优最优解循环否结束转移到另一个目标函数（找更大的基本可行解）nx = b' -åx (i = 1,2,L, m)a'iiijj j = m +1直到找出为止，是：变量迭代9nnz = z0 + å(cj - z j )x j = z0 + ål j x j j =m+1j =m+1找出一

8、个初始可行解问题是：max zc1x1+c2x2+cn+mxn+m，约束条件：x1, x2 , , xn+m0。c1c2cn+mB-1( b A1 A2 An+m)( P0 P1 P2 Pn+m )a1a211bXB CBa31Z=CBP0j =cjCBPj10max300=Z=ïï+=xxíïï15= x0 =,=Zx（90，3，6，2，16+x 6=x 2 16 ,we can incraseto enlrge Z.3111110cBxBP0P1P2P60x36-6/20x42-20x516/43x21/4-Z-3/4(1) 计算 z0及c

9、jzj如果cjzj0，则不可能使目标函数有所,问题的最优解是xb1 P0(1)， xb2 P0(2) ， , xbm P0(m) ，xj0，jb1 , b2 , , bm , 1 j n+m 目标函数值即为 z0( 2 ) 如若不然，进入的基Pj的选取应满足 cjzj0, 然而当n很大时，增加了很多计算量，所以也 可以选第一个cj zj0确定了进入基Pj后,计算的基Pk以确定( 3 )表中第k行第 j 列元素akj(0)取作主元素，对第 j 列进行消元 把所得的结果写入表，返回( 1 )这样周而复始，直至达到最优c1c2cn+mB-1( b A1 A2 An+m)( P0 P1 P2 Pn+m

10、 )11bXB CB112Z=CBP0j =cjCBPjmax Z =cj xj（四）、单纯形表ìï= bi=1× 2Laij xj³í=1×Lïîxjc jc 1cccL LL L+ 1mmnbicPPPPXPLLBB+ 101mmnb110Ma1,m+1Ma1nMc1x1b1LLLLMMM1Mam,m+1Mbmcmxmbm0amnLLLL- å ci aijl j= c jZ00LLcibiP0保持非负b = min( bi> 0)akja13kj+Zmaxì2ïï

11、20=4：例 =+=xxíïï+xx26,3c0bicxPPPPPBB012360x3120x480x5160x611Z014c0icBxBP0P1P2P3P60x31212/20x488/20x5160x61112/4Z00c0bicBxBP0P1P2P3P600x3x620100-1/204x52161010-1/24000103x23010001/4Z15c0icBxBP0P1P2P3P60x36-1/6/220x42-1/16/403x5 x2161/4-3/4Z9c0bicBxBP0P1P2P3P60203x3 x1 x5 x22281441216-1/

12、1/4Z11/4cj0bicxBP0P1P2P3P60x32142x12-1/1/40x5843x2311/4Z13c0bicBxBP0P1P2P3P60x6420x1x40X1=4,x2=2得到最优解35x-10Zmax=142Z1-117cj0bicxBP0P1P2P3P60x321-1/1/4420x1 x52843x2311/4Z13c0icBxBP0P1P2P3P60x30-120x14411X1=4,x2=2得到最优解36x1-10Zmax=142Z1-3-1018X1=4,x2=2得到最优解Z=2*4+3*2=14maxZ2x3x12ì 2x + 2x £12

13、12ï2*4+2*2=12x +x £ 8ïíï1x124+2*2=84*4=16£x £2ïïîx124*2=8<12³x219=max Zm2 ax Z 22£ì +x=3ï4£ 1ï+ x= í35ïï,x³ x 0 ³0î345c0icxPPPPPBB012352/40x420x51/3Z0020c0icBxBP0P1P2P3P50x422/40x51/3Z00c

14、0icBxBP0P1P2P3P525-5-4/30x42/56x211/21/31Z2-221故最优解为x1=2/5,x2=1/5,目标函数z=12522c0cBxBP0P1P2P3P5i3x123-4/56x21-13/5Z12/5-3-6/5ci0cBxBP0P1P2P3P50x42/35-5-42/56x21/31211Z2-2=maxZì1-+=xï4 ï íï+x=ï-ïï+=x7x³ 0x,.,îc-1bP2cBxBP0P1P3P6i0x445/7-121/-3/5/902x55/7

15、1-1/0-10/3-1x66/7-31-2164Z4/72-1023由于c1z10，但P1(3 2 ,1/2,3)T,所有元素都为负数，故问题解cbi-1cBxBP0P1P2P3P60x445/7-121/-3/5/902x55/71-1/0-10/3-1x66/7-31-214Z4/72-10Z ( cjCBPj ),-1P6i0x4-3-11-1/22x5-10x2Z0进入基的选择若j0，则Aj进入基阵可使目标函数增大选择最大的j? 当问题规模十分大时,计算量可观,而且有现象 不能保证迭代次数少?25例3 x1 + 2 x2max Zì 2 x1 + x2£ 4

16、63;ïx + xí12ï³xxî12260P1cBxBP0P2P3P4(1)0x320x411Z00c0icxPPPPPBB012341-2/510/0x3103x153Z7-3/527c0P1cBxBP0P2P3P4i0x3420x411Z00c0bicxPPPPPBB01234(3/3-2-52x23x1/31/1Z/31/328c0icBxBP0P1P2P3P40x323-2/10/33x11/551Z37-3/5c0icxPPPPPBB01234-52x210/35-2/1/3x1-11/31Z23/3-71/3X1=0,x2=4,m

17、aZ =29c0icBxBP0P1P2P3P420x2x40Z0选较小的j进0cBxBP0P1P2P3P40211051330X1=0,x24 ma0cBxBP0P1P2P3P42x2100301-020因此并不一定要选择较大的jBland法则 如果有多个基可以进入,序数下标最小的基作为进入基. 每一次目标函数的升高不是最快的,但是减少了计算量31的单纯形法单纯形法在进行列消元时相当于左乘以某一基矩阵B的逆所以计算B是关键若求得B1, 便可计算PjB1Aj，jCjZjCjCBB1Aj 因而计算j时CB B1是公共部分，可以先计算因为CBB1Aj (CBB1) Aj CB( B1Aj )， 故在

18、原有的单纯形表格中要增加一列CBB1,B1存于A中的m阶矩阵的单元中APbP02éé0-0.05ù210012 02106úê0-0.05ú010ú100108162106P =êúú初等变换 B-1A=0ê41úêú04000120ë1000.205û3B-1( b A1 A2 An+m)( P0 P1 P2 Pn+m ) 1953年美国数学家G.B.克为了改进单纯形法每次迭代中 积累起来的进位误差，提出改进单纯形法。 其基本步骤和单

19、纯形法大致相同，主要区别是在逐次迭代中 不再以消去法为基础，而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆，再由此确定检验数。这样做可以减少迭代中的累积误差，提高计算精度，同时也减少了在计算机上的量。对于线性问题的单纯形法计算步骤如下( a )计算B1，B1b( b )计算CBB , CBB1b1 , 2 , ,n+m.( c )计算jCjCBB1Aj，j若所有j0，计算结束由P0所确定的Z(X)便是所求的目标函数最大值否则令cjzjm x cl zlcl zl0或遵循bland法.) PjB1Aj，计算相应的，确定主元素及设为Pk，以Aj取代Ak，回a )基，33c1c2cn+mb£92&#

20、163;Z=CBP0j c j =CBB-1Ajïíï- 4 £0ïî³cj-0bicxBP0P1P2P3P6CBB-1B9/20x4090x502-1/200x6014Z434jCjCB1AjBB-1( b A1 A2 An+m )CBB-1XB CB( P0P1 P2 Pn+m )11maZx=1x6出，x3入35PjB1Ajcj-0bP1cBxBCBB-1P0P2P3P6i0x40131/30x5060-1-4x441-4Z3jCjCBB1Ajcj-0bA1A2A3A69201cj-0cBxBCBB-1P0x1x2x3

21、x6i-10x1x5101-24x13/11/3Z173601AAAcj000bicxB-1PP5x40131/30-1x5046401-43jCjCBB1Aj单纯形法的进一步讨论 （一）、模型情况量：xjxjxj无约束变结唯一最优无穷最优1、组成= bm约束条件：解目标函数： m无可行解2 、变量xj令 xj= -xj ，xj0xj不处理xj 无约束令x= xj xj, xj0 , xj0375单纯形法的进一步讨论nx = b' -åj = m +1x (i = 1,2,L, m)a'iiijj的判别准则:不同变量对应的j =0，则存在无穷多个最优解若存在38nnz

22、 = z0 + å(cj - z j )x j = z0 + ål j x j j =m+1j =m+1maxmin最优解j 0j 0换入变量lk = max( l j > 0)jlk = min( l j < 0)j换出变量讨论 mZax=ì+=ì4x£- ïï- xï-2 -³=ï5íí2ï -+ x3=x+xxï00=+miZnx67x+4= ìxï-+=xxïíï2 - =7³

23、,x5.1人工变量 § 标准化后找不到 入人工变量阵，采用人造基给方程加åa x + x= båa x £ bn+iijjiijji³ 0xn+i åaij xj - xn+iåaij xj= bi³ bi称为剩余变量³ 0xn+i 由于所添加的剩余变量的技术系数为-1，不能初始基变量，为此引入一个人为的变 量（注意，此时约束条件已为“=”型），以便取得初始基变量，故称为人工变量403、约束å px£=xxb加入松弛变量加入人工变量jjs条件：å pxbajjxs 再加上xa

24、å p³b先减去xjj例： minZ £1 ³3 ì-ïïí 2 -+=xxï3 ³41mZinì3+-=x-ïx+=xïíï- =³4、目标函数：m x , min模型约束条件为 åpJ=x，b 需加入人工变 设J量 xa ，而得到一个m×m的矩阵，即基变量组合。因人工变量为虚拟变量，且存在于初始基本可行解中，需要将它们从基变量中替换出来。若基变量中不含有非零的人c- zj £，0 而还有人工工变量，表示

25、原问题有解。若当j变量（非零）时，则表示原问题无可行解。42加入人工变量后，目的是找到一个向量，叫人工基。其目标价值系数要确定，但不能影响目标函数 的取值。一般可采用两种方法处理：大M法和两阶段法。.大M法：即假定人工变量在目标函数中的系数为M（任意大正数），如果是求极大值，需加-M；如果是求极小值，需加M。如基变量中还存在M，就不能实现极值。如上例：Z=+0x+x0+6M+x+M345743-c³ z0 来： Min计算过程如用最优解jjcBxBbP1P2P3P4P5P6P7b i0x4103-20100-1Mx61000-11-211x31-2010001Z-11-M00M03M

26、-1441cj-31100MMcBxBbP1P2P3P4P5P6P7b i0x4111-21100011Mx63-4120-1103/2Mx71-2000011Z-3+6M1-M1-3M0M0010）Z = 2最优解为45cBxBbP1P2P3P4P5P6P7b i-3x141001/3-2/32/3-5/31x210100-11-21x390012/3-4/34/3-7/3Z-20001/31/3M-1/3M-2/3cj-31100MMb icBxBbP1P2P3P4P5P6P70x412001-22-541x210100-11-21x31-2010001Z2-10001M-1M+13.两阶

27、段法：用计算机处理数据时，只能用很大的数代替M,可能造成计算机上的错误，故多采用两阶段法。第一阶段：在原线性问题中加入人工变量，构造如下模型：L + Wmin0 nxìx11+L+ a n1+1 =axn+n1xb1ïMïMOí+L a+x=aïx m1ïîxxb+m1mnnnmm³1 L n x+46对上述模型求解（单纯形法），若W=0,说明问题存在基本可行解，可以进行第二个阶段；否则，原问题无可行解，停止运算。 第二阶段：在第一阶段的最终表中，去掉人工变量，将目标函数的系数换成原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始表（用单纯形法计算）。mZin+= ìx例：-ï-+ x=x ï =íï-,3miZnxx7 + x= ìï -第一阶段-+=xxïí-=ï, ³ 7 x,347cj0000011bicxBbP1P2P3P4P5P6P7B0x4111-211000111x63-4120-1103/21x71-2000011Z46-1-301000x4103-20100-11x61000-11-