沪教版九年级上册-垂径定理,带答案

1、初中数学备课组教师班级初三学生日期上课时间主课题：垂径定理教学内容知识精要垂径定理1 .圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。2 .垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。3 .垂径定理的推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。（2）平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的弧。（4）平分弦和弦所对的弧的直线经过圆心，并且垂直于这条弦。（5）垂直于弦并且平分弦所对的弧的直线经过圆心，并且平分这条弦。在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系 中，如果

2、有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。热身练习1 .有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离 都相等；半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有（B ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2 .如图， ABC内接于D为线段AB的中点，延长0D交。0于点E,连接AE, BE,则下列五个结论AE=-AEBABIDE, ®AE=BE,（3X）D=DE, ZAEO=ZC ,2，正确结论的个数是（B ）A、2个B、3个 C、4个D、5个3 .如图，点B、C在。上，且BO二BC,则N8AC等于（d ）A. 60。 b, 50。c, 4。D. 30。4

3、.如图，。0的直径CDJ_AB, NA0C=50° ,则NB大小为（D ）A. 25°B. 35°C. 45°D. 65°（第3题图）D5、等边三角形内切圆的而积为9），则AABC的周长为 18736、如图，A。为248。外接圆的直径，AO_L3C,垂足为点F, NA8C的平分线交于点E ,连接3。,CD.（1）求证：BD = CD；（2）请判断8, E ,。三点是否在以。为圆心，以03为半径的圆上？并说明理由.解：(1)垂径定理，弧BD=弧CD,所以比) = 8;(2)AD为直径:.ZABD=90°所 以 NBED= ZABE+ N

4、BAE= /EBF+ ZFBD= NEBD(3) . BD=ED=DC精解名题例1:基本概念1 .下面四个命题中正确的一个是（）A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D.在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2 .下列命题中，正确的是（）.A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧B.过弦的中点的直线必过圆心C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D.弦的垂线平分弦所对的弧策略点击：1、A平分直径的弦有可能是直径，所以错；B、不一定：C、不一定过弦中点：2、A. B不一定垂直弦：D、不一定过弦中点解：1、D；

5、 2、C例2：垂径定理1、如图，已知在。中，弦48 = 8,且AB_LC。，垂足为“，0E上AB于E, OF LCD于F.(1)求证：四边形是正方形.(2)若C=3, DH = 9,求圆心。到弦48和。的距离.策略点击：证明是正方形只要先证明是矩形，然后证明邻边相等即可，求0到弦AB、CD的距离即是0E。由垂径定理可求出；解：(1)证明：因为A3_L8, OE1AB, OF LCD,所以四边形OEHF为矩形，又因为AB=CD,所 以AE=DF,所以由勾股定理有OE=OF所以四边形OEHF为正方形；(2)因为CD=AB, OF_LCD,所以HF=OF=3二0E,即圆心0到弦AB和CD的距离为3：

6、2、已知：ZiABC内接于。0, AB=AC,半径0B=5cm,圆心0到BC的距离为3cm,求AB的长.策略点击：等腰三角形三线合一及垂径定理解：因为 0B=5cm, 0D=3cm,所以 BD=4cm,因为 AB=AC,所以AD±BC, AD=A0+0D=8cm,所以由勾股定理 AB=4例题3、度数问题1、已知：在。中，弦AB = 12cm,。点到A3的距离等于A8的一半，求：NAOB的度数和圆的半 径.策略点击：因为。点到A3的距离等于A8的一半，再由垂径定理可以得到OC=AC解：过 0做 0CLAB,则 AC=所以N4O8 = 2NAOC = 902AO = 6 J5即是半径为A

7、O = 6721创新三维学习法让您全面发展6例题4、相交问题如图，已知。0的直径AB和弦CD相交于点E, AE=6cm, EB=2cm, ZBED=30° ,求CD的长.策略点击：由已知AE=6cm, EB=2cm知直径为8cm,再由垂径定理可求出；解：因为AE=6cm, EB=2cm,所以AB=8cm,所以圆0的半径为4cm, 0E=2cm,过0做OF±CD,因为 所以OFncm,由勾股定理有CF715,所以CD=2jl5cm。C例题5、平行问题在直径为50cm的。0中，弦AB=40cm,弦CD=48cm 且ABCD,求：AB与CD之间的距离.策略点击：由于圆是对称图形，

8、所以要分类讨论；解：如图，因为圆是对称图形，当AB与CD在圆心两边时，0F=7cm> 0G=15cm,则 FG=8cm,当AB与CD在圆心一边时，0E=7cm,则EG=22cm,所以AB与CD之间的距离为8cm或22cme例题6、同心圆问题ZBED=30° , *如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为。，6求证:ADBD = a2-b2.策略点击：由垂径定理即得；解：AM =；AB = ；（AO + BO）, CM =CD = （AD-BD）在 RtZAMO 中，0M2= "2 一人用2 在 Rt/kCOM 中，OM2=b2-

9、CM 所以？-CM?二 /一人2,即 a2-b2=AM2-CM2 =；（AO + 8£）2-（AO一则二 AD BD例题7、平行与相似已知：如图，A8是。的直径，CD是弦,AE_LC£于E, CO于尸.求证： EC = FD.策略点击：由中位线及垂径定理可得：解：过0作0GLEF,因为0为AB中点，所以G为EF中点，又由垂径定理有：CG=DG,所以ECRF巩固练习一、填空题1、过。0内一点P的最长弦为10cm,最短的弦为6cm,则0P的长为 .2 .在。中，弦A8长为8cm,圆心到弦A3的距离为3cm,则。半径长为 cm3 .半径是5cm的圆中，圆心到8cm长的弦的距离是

10、cm4 .如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径。4 = 10m,桥拱的距度A8=16m,则拱高CD =5 . 一水平放置的圆柱型水管的横截而如图所示，如果水管横截面的半径是13cm,水而宽A8 = 24,则水管中水深是6 .己知。0中，0C,弦AB于点C, 28, 0C=3,则。0的半径长等于7 .如图,AABC为。0的内接三角形,0为圆心,0D_LAB,垂足为D,0E，AC,垂足为E,若DE=3,则BC=8 .如图，在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽AB=8m,那么油的最大深度是.9、圆的两互相平行的弦长分别18cm和24cm,又两弦之间距离为3cm，则圆的半径长是 cm10、在半

11、径为5cm的圆内有两条互相平行的弦,弦长分别为8cm、6cm,则这两条弦之间的距离为D. 8B.垂直平分弦的直线必经过圆心D.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦二、选择题L如图所示，矩形ABCD与。0相交于M、N、F、E,若AM=2, DE=1,EF=8,则MN的长为（）A. 2 B. 4C. 62.下列命题中，不正确的是（）A.平分弦的直径垂直于弦C.垂直于弦的直径平分弦所对的弧3,下列语句中，正确的有（） 相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；长度相等的两条弧是等弧: 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴:（A）l 个；（B）2 个；（C）3 个：（D）4 个;4如图。0的直径为10,

12、弦AB=8, P是弦AB上的一个动点，那么0P长的取值范围是（）A. 3W0PW5 B. 4W0PW5 C. 4W0PW8 D. 8W0PW105、如图，在以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D A3 = 10cm,CQ = 6cm 两 点，则AC的长为（）A. 0. 5cmB- lcm C. 1.5cm D. 2cm三、解答1、如图，。0的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=lcm, EB=5cm, NDEB = 60 ,求CD的长。2 .如图，。内两条相等的弦A8与。相交于P,求证：PB=PD3 .如图，AABC 内接于。0,弦 AD_LBC 于 E, CF_LAB 于 F

13、,交 AD 于 G, BE = 3, CE=2, K tanZ0BC = b 求四边ABDC的面枳。2,证明：过 0 作 OF_LAB, OE_LCD,连 OP,因为 AB=CD=>OF = OE,所以 RtZFOPgRtzEOPA PF = PE, BF= LcD = ED,所以 PD 二 PB23,解：过 0 作 OM±BC, ON±AD. BE = 3, EC=2,所以 8M = ± = OM = NE, OB = ->/2 = AO ,所以2277 57 5AN = = ND = ED = ND NE =二=1，AE = AN + NE = - + -= 622 22 21