山东省泰安市泰山中学2020届高三数学第五次模拟考试试题(含参考答案)

1、山东省泰安市泰山中学2020届高三数学第五次模拟考试试一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）1.已知复数z满足= 则卜卜A. >/2B.2C, 272D. 82.已知集合4 =卜丫7<0,8 =卜|工>1或¥<0,则A. Bq. A B. Ac B C. A<jB = R 3.已知集合 a = log3 0.2力=log02 0.3,c = 10叫则 A. a <b<cB, a<c<bC. c<a<b4.(1x)(l+"的展开式中，V的系数为

2、A. 2B. -2C. 3D. -35.函数/(x)与g(x) =x的图象关于y轴对称,则函数/ （x）的部分图象大致-1-6.在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在九章算术注 出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不 则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的 作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等 角形（如图所示），当变得很大时，等腰三角形的面积之 似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin3。的近似值为（乃取近似值3.14）A. 0.012B. 0. 052C. 0. 125D. 0. 2357.已知函数/(x) = x3 + ig(Jp77 + x),若等

3、差数列q的前项和为S“，且 /(%1)=-10,/3汹1)=10,贝is2020MA. -4040B. 0C. 2020D. 40408 在四而体 ABC。中，BC = CD = BD = AB = 2, ZABC = 90 ,二而角 A-3C-O 的平面角为150° ,则四面体ABCD外接球的表面积为B.丝r3C. 314D. 124 万二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰一一恢疫情防控期间某企业更1职工调查复经济正常运行.国人

4、万众一心，众志成城，防控疫情、复 工复产，某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行 调查，调查结果如图所示，则下列说法正确的是A. x = 0.384B.从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率为 0. 178C.不到80名职工倾向于继续申请休假D.倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名10,已知向量 =（2/）,8=（1,一1）,。=（m一2,-）,其中团,均为正数，且下列说法正确的是A. 4与加勺夹角为钝角C. 2/7? +77 = 4B.向量。在方向上的投影为当D. 的最大值为211.已知椭圆。：，+ % = 1（>>。）的右焦点为F,点P在椭圆

5、C上，点Q在圆-3-E：（x + 3）2+（y-4）2=4±,且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|尸。|一|尸日的最小值为2>/5-6,且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是A.椭圆C的焦距为2B.椭圆C的短轴长为C. |PQ| + |PF|的最小值为2"D.过点F的圆E的切线斜率为主史12.已知函数/（x）=|cosx|卜inx|,则下列结论中，正确的有A.乃是/（X）的最小正周期B. /（X）在（三,£）上单调递增I 4 2 ）c. “X）的图象的对称轴为直线x = ? + k/r（AeZ）D. /（x）的值域为0三、填空题（本题共4小题

6、，每小题5分，共20分）13 .若曲线/（x） = Rlnx+x在点（1, 7（I）处的切线与直线2x + “y4 = 0平行，则14 .已知圆锥的顶点为S,顶点S在底面的射影为0,轴截而SAB是边长为2的等边三角形， 则该圆锥的侧面积为，点D为母线SB的中点，点C为弧AB的中点，则异面直线 CD与0S所成角的正切值为.15 . CES是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会. 2020CES消费 电子展于2020年1月7日10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES消费电子展上，我国某 企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3名员 工负责接

7、待工作（这3名员工的工作视为相同的工作），再选出2名员工分别在上午、下午讲 解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有 种.2216 .已知点与 鸟分别为双曲线。：£一a=11/>0力>0）的左、右焦点，点A, B在C的 右支上，且点心恰好为A"A8的外心，若（丽+丽）丽=0,则C的离心率为. 四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17 .（本小题满分10分）在asinC-Gccos8cosc = ?cos2C ；5ccos5+4/? = 5a ：（2Z?-）cosC = ccosA,这三

8、个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在ABC中，内角A, B, C所对的边分别为4,b,c.且满足.求sinC：已知a + = 5.AA8C的外接圆半径为土，求4ABC的边AB上的高/1.3注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18 .（本小题满分12分）已知数列an的前八项和为S“，且S“ = 2a +1 -.（1）求证：数列q+ 1为等比数列；设bn =/?（«+I）,求数列也的项和Tn.19 .（本小题满分12分）如图，在四棱锥E-ABCD中，底而ABCD为直角梯形，AB/CD ,BC ± CD,AB = 2BC = 2CD,AEAB

9、是以A3为斜边的等腰直角三角形，且平而E45 _L平面ABCD,点 F满足，EF=AEA(AeOAy（1）试探究4为何值时，CE平而BDF,并给予证明:（2）在（1）的条件下，求直线AB与平面BDF所成角的正弦值.20 .（本小题满分12分）已知点M（0,2）,点P在直线 =5/+2上运动，请点Q满足"2 =："户，记点Q的为 曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设。（0,3）,£（0,3）,过点D的直线交曲线C于A, B两个不同的点，求证，ZAEB = 2ZAED.2L （本小题满分12分）证明.已知函数J'(x) = e”-cosx,xe -一（1）/

10、（X）存在唯一的极小值点：（2） /（X）的极小值点为小,则1/（毛）0.22.（本小题满分12分）十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫.某县积极引导农民种植一种名贵中药材, 从而大大提升了该县村民的经济收入.2019年年底，该机构从该县种植的这种名贵药材的农 户中随机抽取了 100户，统计了他们2019年因种植，中药材所获纯利润（单位：万元）的情况 （假定农户因种植中药材这一项一年最多获利11万元），统计结果如下表所示：分组1,3)3,5)5,7)7,9)9,11频数1015452010由表可以认为，该县农户种植中药材所获纯利润Z（单位：万元）近似地服从正态分布 N（,b2）,其中近

11、似为样本平均数7 （每组数据取区间的中点值），4近似为样本方差 ?«2.12.若该县有1万户农户种植了该中药材，试估算所获纯利润Z在区间（1.9, 8.2）的 户数；（2）为答谢广大农户的积极参与，该调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动，抽奖规则 如下：在一箱子中放置5个除颜色外完全相同的小球，其中红球1个，黑球4个.让农户从 箱子中随机取出一个小球，若取到红球，则抽奖结束；若取到黑球，则将黑球放回箱中，让 -5-他继续取球，直到取到红球为止(取球次数不超过10次).若农户取到红球，则视为中奖，获 得2000元的奖励，若一直未取到红球，则视为不中奖.现农户张明参加了抽奖活动，记他

12、中 奖时取球的次数为随机变量X,他取球的次数为随机变量Y.证明：P(X =)( e< 10)为等比数列：(ii)求Y的数学期望.(精确到0.001)参考数据：O.89«O.1342,O.8,o«O.1O74.若随机变量Z N(,/),则尸( crvZ4+cr)=0.6827, P(/-2(t<Z</+2b) = 0.9545.数学试题参考答案一、单项选择题:题号12345678答案cDABDBCB二、多项选择题:题号9101112答案BDCDADBD三、填空题：,、庆V3 + 113. -114. 24.15.36016.-32四、解答题：17.解：选择条

13、件：(1)因为c”sinC->/5ccos8cosc = Vicos'C ,所以由正弦定理得 sin A sin C = >/3 sin C cos B cos C + y/3 sin B cos2 C , 即 sin A sin C = 73 cos C（sin Ccos B + sin Bcos C,故 sin Asin C = >/5cosCsin A.（3 分）又Ae（0,;r）,故sinAwO,所以 sin C = JJcosC, UP tan C =由。£（0,乃），得c = g.-9-所以 sin C = sin /=-. 32(5分)（2）由

14、正弦定理得c = 2x土叵sin£ = 4, 33(6分)由余弦定理得/ =(/+Z?2 -2aZ?cosg = (a + Z?)- -3" = 16 ,(ci + b 16所以"，故帅=3.3于是得A43C的面积S = absin C = ch , 22（8分）33r 所以底制（10 分）选择条件：（1）因为5ccos5+4/? = 5。，由正弦定理得5$由。8$3+45由3 = 551114,即 5sinCcos5+4sin3 = 5sin(B + C) = 5sin3cosC+5cos8sinC,于是 sinB(45cosC) = 0.在 AA8C,sin8

15、wO,4 所以 cosC =一,sin C = 5/1-cos2 C =三(2)由正弦定理得c = 2x33x| = ¥由余弦定理得r2 =a2 +b2 2“cosCz18 z192= a + b) 一一ab =,V7525g”,八 219215433所以 R?= (a+Z?) x =,L2518 90于是得A4BC的面积S = lsin C = -ch , 22（3分）（5分）（6分）（8分）g、一 absinC 433 354336八/八、所以=x-x= =. (10 分)c 90 5 8近 720选择条件：(1)因为(2Z?-)cosC = c8sA,所以由正弦定理得(2sin

16、B-sin A)cosC = sin Ceos A,所以 2sin Bcos C = sin(A + C) = sinB,因为Be (0,1)，所以sinBHO,所以cosC = L, 2又 Aw(0,;r),所以C=g,所以sinC =正.2（3分）（2）由正弦定理得c = 2x土叵sin£ = 4, 33由余弦定理得/ = a2 +b2 - 2abcos = (a + b) -3ab = 16 ,(a + b)2 -16 .所以!，故帅=3.3于是得A4BC的面积S = -ab sin C = -chf 2233r 所以仁学=十邛（5分）（6分）（8分）（10 分）18.解：(1

17、)因为 S“ =+1 ，所以 S,i =+1 -( 一 1)( 之 2). 当22时，由一得 =2勺_ + 1,即4+1 = 2(%+1)，（3分）-11 -所以 = 2（之2）.。一 +1当 =1 时，S=2% 即4 =0,4 +1 = 1 .（4分）所以数列为+ 1是以1为首项，2为公比的等比数列.（6分）(2)由(1)知4 + 1 = 2"t（7分）所以(q+ l) = 2'i.(8分)所以 7； =lx2° + 2x2i+3x22+ 2”1 贝。27； = lx2i+2x2?+3x2 + 2”,由一®,得7；=lx20 + lx2i + lx22+

18、 1x2”t一2"=(1)2"-1,所以 7>(一1 >2+L（12 分）19.解： 当4 = 一时,CE平面FBD.3（1分）证明如下：连接AC,交BD于点M,连接MF.因为ABCD,所以 AM:MC=AB:CD=2:1> 1 又 EF = EA,3所以FA:EF=2:1.所以 AM:MC=AF:EF=2:L所以 MF/CE.（4分）又MFu平面BDF, CE&平面BDF,所以CE平面BDF.（5分）（2）取AB的中点0,连接E0, 0D.则上。_LA8.又因为平面ABE J«平面ABCD,平面A8石c平面ABCD = AB,EO u平

19、面ABE,所以E。，平面ABCD, 因为QDu平面ABCD, 所以七O_LQD.-13-由及 AB=2CD, AB/CD,得 OZ）LAB,由OB, OD, OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系0x）2 .因为AE4B为等腰直角三角形，AB=2BC=2CD,所以 OA=OB=OD=OE,设 OB=L所以。(OQO),A(1,0,0)1(1,0,0),C(11,O), D(0,1,0),£(0,0,1).（7分）所以荏= (2,0 ，丽= (-1,1,0),333) 33),<43、所以尸8= I 3Z )设平面BDF的法向量为 =（X, 乂 z）,nBb = 0, 方=0

20、,-x + y = 0,所以，42-X-Z =13 3（9分）设直线AB与平面BDF所成的角为6, 则 sin 6 = cos|2xl + 0xl + 0x2| 逐 2>/12+12+226-19-即直线AB与平面BDF所成角的正弦值为g.6（12 分）20.解：（1）设。（x,y）,P（Xo，%）9 1由 =得（乂）' + 2）=；（七,%+2）,所以1工=/，Qi2X。= 2大，%=2y + 2,因为点P在曲线旷=,父+2上, 16所以 >'o =77X0 +2.1O即2y+ 2 = '（2x+2,整理得丁 =8）二16所以曲线C的方程为犬=8%（5分）

21、（2）直线AB的斜率不上辈子在时，不符合题意;当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为丁 =履+ 3,4（外方）,3（%片）y = kx + 3, V=8y,得 F 一 8入 - 24 = 0, A = 64攵 2 + 96 > 0 ,可知玉 +x2=-24 ,（7分）直线AE, BE的斜率之和为C“+3 K+3_E+6 5+6AE BE 演 w 玉 W_ 2kxix? +6(x1 +X2) _ -48k + 48k _=u xx2-24故AB, BE的倾斜角互补.:.ZAED = ZBED.：.ZAEB = 2ZAED.(2 分)21.解：(1) fx) = ex +sinx ,设

22、g(/) = r(x) = e'+sinx,则 g'(x) = e"+cosx,当xe 一7，°卜寸，cosx£0,l).e“ e(0,1),所以g'(x)>0.当xe0,+oo)时，g'(x)2e"+cosx = l+cosx之0, - 综上所述，当唉,+6时，g'(“20恒成立， - - /一 故/'(x) = g(x)在一：+ 8上单调递增.(冗、£又/卜会= ”-</_ =。/(0)= >0,由零点存在定理可知，函数/'(X)在区间-彳刃)上存在唯一的零点如且工0一、，0' (5分)结合单调性可得/(X)在工。上单调递减，在(%,4S)上单调递增， L /所以函数/(X)存在唯一极小值点与.即/'扑。，/(0) = ？)+0 = 1>0,故极小值点小£ -工,0 4且/'() = 6"+$皿人0=0，即 e