第10讲二元一次不等式组及简单的线性规划-简单难度-讲义

1、二元一次不等式组及简单的线性规划思考1:在平面直角坐标系中，方程x y 6=0表示一条直线，对于坐标平面内任意一点P,它与该直线的相对位置有哪几种可能情形?在直线上；在直线左上方区域内;在直线右下方区域内思考2:若点P (x, y)是直线左上方平面区域内一点， 那么x-y-6是大于0?还是小于0?为什么？因为 yy0 x y06=0所以 x一y一6 0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是()A. 1, +00)B. (一0, 1 C. (1, +oo)d. (一oo, 1)【分析】 根据二元一次不等式表示平面区域进行求解即可【解答】解：若点(m, 1)在不等式2x+3y-50所表示的平面区域

2、内，则满足2m+3-50,解得m 1.故选：C2. (2017秋刈阳区期末)在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(x+2y-1)(x-y+3) 0表示的平面区域内的是()A. (0, 0)B. (-2, 0)C. (0, T) D. (0, 2)【分析】 分别将点的坐标代入不等式左边的式子，验证一下不等式是否成立即可【解答】解：A.当x=0, y=0时，(x+2y-1) (x-y+3) = - 30,不满足条件，B.当 x= -2, y=0 时，(x+2y1) (x-y+3) = ( 21) ( 2+3) =-30,不满足条件，C.当 x=0, y=- 1 时，(x+2y 1) (x-y+3

3、) = ( - 2- 1) (1+3) =- 120,满足条件，故选：D.3. （20187庆模拟）不等式组-2;?表示的点集记为A,不等式组0 0 ?0 4? ?+ 2 0? ?9A.一32表示的点集记为B,在A中任取一点P,则PCB的概率为（_7B.一32C.916_7D.一16【分析】分别画出点集对应的区域，求出面积,利用几何概型的公式解答.【解答】解：分别画出点集A, B如图,(?+A对应的区域面积为4X4=16,B对应的区域面积如图阴影部分面积为 /-12 - ?)? J ? + 2? 1 ?) I 22 / 2 3 3-I929由几何概型公式得，在 A中任取一点P,则PC B的概率

4、为=一;16324. （2017秋?!充期末）不等式组（?-?+5)(?+ ?)0表小的平面区域是（A.矩形B.三角形C.直角梯形D.等腰梯形?+ 5 0?r- ?+ 5 0【分析】先将原不等式组化为： ?+?20或 ?+?0 0 ，再线性规划的0 0? ?+ 5 0 0【解答】解：原不等式组化为： ?+? 0或 ?+ ?右0 0 0 ?C 30 0 ?C 3画出它们表示的平面区域，如图所示是一个等腰梯形.?0 05. （2018?工西模：?H）若A为不等式组 ?20表示的平面区域，则a从-2连? ?0,对于A:当x=-3, y=4时，-9+8+50,故满足,对于B:当x= - 3, y=-2

5、时，-9 - 4+5 0,故不满足,对于 C: x= - 3, y=- 4, - 9- 8+50,故不满足,对于D: x= - 3, y=-2时，0-6+5 0,故不满足,7. （2017砌南学业考试）不等式2x+y-3W0表示的平面区域（用阴影表示）是A.【分析】作出不等式对应直线的图象，然后取特殊点代入不等式，判断不等式是否成立后得二元一次不等式表示的平面区域.【解答】解：画出不等式2x+y - 300对应的函数2x+y3=0的图象，取点（0, 0）,把该点的坐标代入不等式2x+y-3&0成立，说明不等式2x+y - 300示的平面区域与点（0, 0）同侧，所以不等式2x+y-3W0表示的

6、平面区域在直线2x+y-3=0的右下方，并含直线.故选：B.8. （2016?可南模拟）下列各点中，位于不等式（x+2y+1） （x-y+4） 0表示的平面区域内的是（）A. (0, 0)B. ( - 2, 0)C. (T, 0)D. (2, 3)【分析】分别将点的坐标代入不等式，满足不等式即可.【解答】解：A.当x=0, y=0时，1X40不成立，B.当 x= -2, y=0 时，( 2+1) ( 2+4) = 20 成立C.当 x=-1, y=0 时，(1+1) (1+4) =00 不成立D.当 x=2, y=3 时，(2+6+1) (2-3+4) =9X 3=270 不成立,故选：B.9

7、. （2016展东模拟）在平面直角坐标系中，不等式组 ?0 2|?2 2| ?我示的平面区域的面积是（A. 8v2B. 8C. 4V2D. 4【分析】转化不等式为不等式组，画出约束条件表示的可行域，结合图形求解图形的面积.?右2【解答】解：因为不等式|y-2| wx&2等价于 ? 2 ?,它的可行域为:-?0? 2?展2可行域是二角形，由 Ga、； 得父点A（2, 4）,?= 2,一.C的坐标由-?= ? 2解得，为（2, 0）, B的坐标（0, 2）,1可仃域二角形的面积为：-X 4X 2=4.2故选：D.10. （2016旗浦区一,K）已知 P为直线y=kx+b上一动点，若点P与原点均在直

8、线x-y+2=0的同侧，则k, b满足的条件分别为（）A. k=1, b2 C. 21, b2【分析】设出P的坐标，根据点与直线的位置关系转化为二元一次不等式的关系， 结合不等式包成立进行求解即可.【解答】解：: P为直线y=kx+b上一动点，设 P （x, kx+b）,二点P与原点均在直线x y+2=0的同侧,(x kx- b+2) (0 0+2) 0,即 2 (1 k) x+2b0 恒成立,即(1-k) x+2-b0恒成立，则1 -k=0,止匕时2 b0,得 k=1 且 b0的解集为x| - 3x 0的解集为B. x| x彳32D. x|x2. .11A. x| -3x2C. x| -3x

9、0的解集为一3Vx2,得至U a0,即（3x+1） （2x-1） 0,解得：-!x或x!32则不等式cx2+bx+a0的解集为x| - 1x或x1 32故选：B.12. （2018春存州期末）不等式（x-1） （x-2） 0的解集是（）A. x| x2,或 x01B. x|x2,或 x1C.x|1x2D. x| 1x0?或20?K0,解可得不等式20? ?1 0? K0或,20? 22或x2或乂1;故选：B.? 113. （2018?折江模拟）若实数x, y满足?+ ? ?+0,则y的最大值是（1 0A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】画出约束条件的可行域，即可判断 y的最大值的位置，求解

10、即可.? 1 0 0【解答】解：实数x, y满足?+? 1 0的可行域如图:?s- ?+ 1 0可行域是三角形的区域，A的纵坐标取得最大值,由?= 1 一一?+ 1 = 0,可行 x=1, y=2.故选:B.14. （2018春初州期中）若实数大值为（? 2?+?+ 1 01 ?- - 2 ?03?2 60,贝 z=y 2x的最A. 11B.一2【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线 y=2x结合图象可得结论.? ?+ 100”1【解答】解：作出条件实数x, y满足 .A2?0 2?+ 3?- 6 0,得（m+4） （m - 6） 0,得 m6 或 m017. （2018春？工阴市校级期中

11、）不等式组 ?+? 0所表示的平面区域的面 ?018. （2018油通模拟）已知实数 x, y满足?2?0 4 0【解答】解：作出实数x, y满足?+2? 4 00对应的平面区域如图，? ?2 1 0 0则由图象知x0,由不等式（k1） xy+k 20恒成立得 k （x+1） 2+y+x,即 k?+?+2=1+-+1,?+1?+1?+1设2=西，则z的几何意义是区域内的点到定点 Q （ - 1, -1）的斜率，由图象知BQ的斜率最大，,2?+ ?2 2 = 0 由珍 2?2 4- 0得 B（0，2）， ?+2?- 4=0此时z的最大值为z=3,即 k4,即实数k的最小值为：4.故答案为：4.?

12、 1 0 019. （2018碇邺区校级模拟）设变量x, y满足约束条件?+?+ 1 0,则目标 ? ?+ 3 0函数z= - 2x+y的最大值是 5 .【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据 z的几何意义，利用数形结合即可得到结论.【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由 z= - 2x+y 得 y=2x+z,平移直线y=2x+z,则由图象可知当直线y=2x+z经过点B时，直线y=2x+z的截距最大，.一.?+?+ 1 = 0 , 一此时z最大，由刃- n，解得B（-2, 1）, ?F ? + 3 = 0此时z=5, 故答案为：5.? 6 0 0 ?+ 2 0 ? 0 ? 0.解答题(共

13、3小题)3?0?20. (2018春？9家庵区校级期末)设x、y潴足约束条件一(1)画出不等式组表示的平面区域，并求该平面区域的面积;(2)若目标函数z=ax+by (a0, b0)的最大值为4,求【分析】(1)利用约束条件画出可行域，然后求解可行域的面积即可.(2)求出目标函数的最优解，得到ab的关系式，然后利用基本不等式求解最小值即可.3?0 ?- 6 0由3?真解得 C(4, 6), A (2, 0), B (0, 2) ?- ? + 2 = 0可行域的面积为：1X2X6+1X2 X4=10. 22(2)目标函数z=ax+by (a0, b0)的最大值为4,可知，z=ax+by经过C时,

14、3.取得最大值，可得4a+6b=4? a+2b=11 2 _?3?1 2 井37?=2+3? 2?一+4 2? 3?当且仅当2a=3b=1时取得最小值4.? 4?+ 3 021.变量 x, y 满足3?+ 5?2 25 1(1)设z=-+2? ?求z的最大值；(2)设z=x2+y2 - 4x+2y+3,求z的取值范围.?【分析】(1)先回出满足条件的平面区域，求出A, B, C的坐标，根据z=2+j?勺几何意义，从而求出z的最小值;(2) z= (x-2) 2+ (y+1) 2-2的几何意义是可行域上的点到点(2, -1)的距离的平方，结合图形求出即可.? 4?+ 3 1?= 1由3?+ 5?

15、- 25 = 0解行,22、A(1,石),?= 1由? 4?+ 3=0，斛行 C(1,1),?2 4?+ 3=0由30 可得由3?+ 5?- 25 = 0件?+2? ?B (5, 2),(1) z=?T=2+?z的值即是可行域中的点与原点 O连线的斜率,2 12观祭图形可知Zmin=2+k0B=2k=；5 5(2) z=x2+y2 - 4x+2y+3= (x-2) 2+ (y+1) 2-2的几何意义是可行域上的点到点P (2, - 1)的距离的平方,结合图形可知，可行域上的点到P (2, -1)的距离中，PB距离最大，z=25+4-20+4+3=10Zmax=10.z=x2+y2- 4x+2y

16、+3= (x-2) 2+ (y+1) 2-2 的最小值为：(%4 )2=17.81所以z的取值范围是：方，10.22.某厂使用A、B两种原料生产甲、乙两种产品，生产 1吨甲产品需A原料2吨及B原料1吨，纯利润100万元，生产1吨乙产品需A原料1吨及B原料4吨，纯利润80万元，现有A原料6吨及B原料10吨，问如何安排生产才能使利润最大？最大利润为多少？【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据 约束条件画出可行域，设z=100x+80y,再利用z的几何意义求最值，只需求 出直线z=100x+80y过可行域内的点时，从而得到 z值即可.【解答】解：设该企业生产甲产品为x

17、吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为 z=100x+80y,?20, ? 0则满足条件的约束条件为 2?+ ? 6满足约束条件的可行域如下图所小:?+ 4?0 10z=100x+80y可化为y=-5xJz,平移直线y=-5xz,由图可知，当直线经4 804 80过P (3, 4)时z取最大值，-2?+ ?= 6 ，一一联立?+ 4?= 10，斛行 x=2, y=2;.z 的最大值为 z=100X 2+80X2=360 (万元).归纳总结1、二元一次不等式（组）与平面区域f（f（x, y）0（1）满足二元一次不等式（组）f （X, y） 0或 /:C的x和y的取值构g（x, y）0成有序实数对

18、（x, y）,所有这样的有序实数对（x, y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解因为有序实数对（x， y） 可以看成直角坐标平面内点的坐标所以，二元一次不等式（组）的解集是直角坐标系内的点构成的集合（ 2） 在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax By C 0 （AB 0） 在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0 某一侧所有点组成的平面区域当点P（ x1， y1）在直线Ax By C 0上时，Axi By C 0 ;当点P（x1，y1）不在这条直线上时，则 Ax1 By1 C 0 或 Ax1 By1 C 0 于是直线Ax By C 0 把平面分成两部分，此直线是这两部分平面区域的边界

19、.若其中一部分平面的点用P（xi, yi）表示,则 Ax1 By1 C 保持相同的符号；若另一部分平面上的点用Q （x2， y2） 表示，则Ax2 By2 C 保持相同的符号且与前者符号相反所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（x0， y0） ， 由 Ax0 By0 C 的正负即可判断Ax By C 0（ 0） 表示的是直线哪一侧的平面区域特别地，当C 0时，常有原点作为特殊点画不等式表示的平面区域是线性规划的入门知识，也是必备知识，其要点是“以线定界、以点（原点）定域”，同时还要注意哪条线应画成实线，哪条线应画成虚线2、简单的线性规划问题(1) 一般地说，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解(x, y)叫可行解，由所有可行解组 成的集合叫做可行域.在可行域内存在使得线性目标函数取最大值或最小值的可 行解叫做这个问题的最优解.(2)线性目标函数z ax by(b 0)的几何意义：,是直线ax by z 0在y轴 b上的截距.(3)生产实际中有许多问题都可以归纳为线性规划问题.在线性规划的实际问 题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这 些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二