球的体积和表面积(答案)

1、球的体积和表面积学习目标1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.歹知识梳理自主学习知识点一球的体积公式与表面积公式4 1 .球的体积公式 Vn.q(其中R为球的半径).32 .球的表面积公式 S>= 4 7R2.思考 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？答球没有底面，球的表面不能展开成平面知识点二球体的截面的特点1 .球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体， 它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆.2 .利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问 题的主要途径.歹题型探究重点突破题型一球的表面积和

2、体积例1 (1)已知球的表面积为 64 71,求它的体积；(2)已知球的体积为日为求它的表面积.3解 (1)设球的半径为 R,则4欣=64兀，解得R= 4,所以球的体积V= 4q = ：兀43= 256兀333(2)设球的半径为 R则3 tR = 3兀,解得R= 5,所以球的表面积 S= 4g=4 ttX 52 = 100 th跟踪训练1 一个球的表面积是16 为则它的体积是()A.64 兀 B.64兀C.32d D.32兀答案 D解析 设球的半径为 R则由题意可知4痘= 167t,故R= 2.所以球的半径为2,体积V= 4-R3332题型二球的截面问题例2平面“截千O的球面所得圆的半径为 1

3、.球心O到平面a的距离为42,则此球的体积 为（）A.小页B.4 /3兀C.4 郃氏D.6 艰兀答案 B解析如图，设截面圆的圆心为 O ,方克三XM为截面圆上任一点，.则 OO =也，O M= 1.'_J.OM=叱也2+1 = yj3.即球的半径为，3. ' v= z x 寸3）3= 43 兀 3跟踪训练2已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为g 乖,VT5,则它的外接球表面积为.答案 9兀解析 如图，是过长方体的一条体对角线AB的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为 x, y, z,则由已知，产=m，/ =小，得 yz =。5,解得 * y = 1,、zx = /75,、

4、z=m.所以球的半径 R= 2AB= 2y x2 + y2+ z2 = 2,所以S球=4欣=9兀题型三球的组合体与三视图 例3某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积正觇图恻觇图2一2一解由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为_122_ _ .2 一，S= 2*4 ttX 1 +6X2 兀X 1 =24 + 兀 该几何体的体积为V= 23+2xg 7tx 13= 8 + 4p 2 33跟踪训练3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三 个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比 解设正方体的棱长为

5、a.正方体的内切球球心是正方体的中心, 切点是正方体六个面的中心, 经过四个切点及球心作截面, 如图（1）所示，则有2n = a,即1 = 2，所以 S1=4 < 2=而2.球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面,如图（2）所示，则2r2=2a,即r2=ga,22所以S2= 4行2 = 2班.正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面,如图（3）所示，则有2r3=J3a,即3=W3a,所以 S3 = 4 <3 = 3 7a2.综上可得 S ： S2 ： S3= 1 ： 2 ： 3.解题技巧轴截面的应用例4有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个

6、正三角形，在容器内部放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面没过铁球和球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度分析分别表示出取出铁球前后水的体积一由水的体积不变建立等式一求出所求量 解 如图，O O是球的最大截面，它内切于 ABC球的半径为r.设将球取出后，水平面在MNNi, MNW C眼于点 E.则 DO= r, AD=木r, AB= AC= BC= 2V3r,1 一 2 1 一 3 一上CD= 3r.由图形知 V 圆锥 ce： V 圆锥 cd= - uME CE i ： 7 u AD CDi= cE : CD.3 3V圆锥C之53又V圆锥CD=3(V3r)2 3r = 3力3, 33

7、4 3V圆锥CD> V球O= 37r qkT = &< , 333<3=CE： (3 r)3,CE= 3/l5r.球从容器中取出后，水的深度为3 15r自杳自纠r当堂检测1 .直径为6的球的表面积和体积分别是（）A.36 Tt, 144 兀B.36 兀，36 兀C.144 %, 36 兀D.144 兀,144 兀2 .若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（）1A” B.1 C.2 D.33 .两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是 4 .若球的半径由 R增加为2R,则这个球的体积变为原来的 倍，表面积变为原来的倍.5 .某几何体的三视图如图所示

8、，则其表面积为侧视图正视图甯视图A.乖兀 cm* 3B.3233c cmN 3C." 兀 cm3D.3兀cm5.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r, R,则球的表面积为（）课时精练2A.4 M r + R)B.4 7r2R2C.4妹D. MR+ r)26 .已知底面边长为 1,侧棱长为山的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为A.*B.4 兀 C.2 兀 D. 4兀337 .如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为如果不计容器厚度，则球的体积为 （）6 cm,L _500 兀 3386

9、6 兀 331 372 兀 332 048 %33二、填空题8.一个几何体的三视图（单位：m）如图所示，则该几何体的体积为m3.偏视图9 .已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为则正方体的棱长为10 .正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积是11 .圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球 （球的半径与圆柱的底面半径相同 ）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm.三、解答题体，求该几何体的表面积.（其中/ BA930 ）12 .如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径 AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何13 .

10、一个高为16的圆锥内接于一个体积为972兀的球，在圆锥内又有一个内切球，求:(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥的内切球的体积.当堂检测答案1.答案 B4。解析 球的半径为3,表面积S= 4兀3。= 36 tz,体积V=w兀3 = 36兀 32.答案 D4 ° 一解析 设球的半径为 R,则4戒=三/，所以R= 3. 33 .答案3y2解析 设大球的半径为 R,则有4q3= 2X4 7tx 13, 33R3 = 2, . R= 3/2.4 .答案 8 4解析 球的半径为 R时，球的体积为 = 4不3,表面积为 &=4后，半径增加为2R后，球 3的体积为 V2=WK2R)3=WTiR3

11、,表面积为 Sa=4 42 R)2= 16 tR2. 3332 3 tR3内 c S216隶，所以口 =8，4 启=4V 4 3S14 tR.nR 3即体积变为原来的 8倍，表面积变为原来的 4倍.5 .答案 3兀解析由三视图可知，该几何体为一个半径为 1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面1一积的和，即2X4兀+兀=3式课时精练一、选择题1 .答案 C2解析由题息可知，6a = 24,a= 2.设正方体外接球的半径为R,则y3a= 2R,R= 3f3, v V球= WTR=4'>J3 兀32 .答案 A解析二球的半径为1,且正方体内接于球，球的直径即为正方体的对角线，即正方体

12、的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为 a,则有3a2 = 4,即 a2 = 3.2 _4_，正万体的表面积为 6a = 6x=8.33 .答案 A解析由表面积公式知，两球的表面积之比为R ： F2= 1 ： 9.4 .答案 D解析由正方体的表面积为 24 cm2,得正方体白棱长为 2 cm,故这个球的直径为 2cm,故这43个球的体积为-Tt cm .35 .答案 C解析 方法一 如图，设球的半径为 口,则在RtACDE, DE 21,上了一CE= R r, DC= R+ r.由勾股定理得 4r1=(R+ r)2(R r)2,解得1，、' 飞2= VRr.故球的表面积为 S球=4力1=

13、4不匚八 / 'A方法二 如图，设球心为 Q球的半径为 口,连接OA OB则在RtAAOB, OF是斜边AB 上的高.由相似三角形的性质得 OF=BFAF= Rr,即r2=Rr,故= 炳,故球的表面积为 S 球=4 jRr.6 .答案 D解析 二正四棱柱的底面 边长为1,侧棱长为 啦,，正四棱柱的体对角线 的长为 + i+(32=2.又,正四棱柱的顶点在同一球面上，正四棱柱体对角线恰好是球的一 条直径，球的半径 R= 1.4 3 4故球的体积为v= 3成=3兀7 .答案 A解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解.如图，作出球的一个截面，则MG= 86=2(cm) , BM= 1AB=

14、 1X8=4(cm).设 卜、)2 2球的半径为 R cm,则 R=OM+ MB= (R 2)2 + 42,R= 5,右.V球= 47tX 53= 5005(cm3). 33二、填空题8 .答案 9兀+ 183一 2'解析将三视图还原为实物图后求解 .由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1,427所以 V=-TtX x 2+1X3X6 = 9 71+ 18.389 .答案 。3解析先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长.设正方体棱长为a,球半径为R4?93则7R= -Tt,FR=", - V3a= 3,. a=43

15、.3228110 .答案 下兀 4解析 由已知条件可知， 球心在正四棱锥的高所在的直线上 .设球的半径为 R球心为Q正四棱锥底面中心为 E,则OP |4 R,所以(4 F)2+(42)2=R,解得R= 9.所以球的表面81兀11 .答案 4解析 设球的半径为r,则圆柱形容器的高为6r,容积为Kr2x 6r = 6<3,高度为8 cm的水的体积为82,3个球的体积和为 3*47/ = 4衣3,由题意得6<3-8<23=4行3,解得 r = 4(cm).三、解答题12 .解如图所示,过C作CGa AB于O.在半圆中可得/ BCA= 90°, / BAO30°,

16、 AB= 2R, . AC=班R, BC= R, CO=乎R, . . S 球=4区S几何体表=S球+ Sg锥AO1侧+ Sa锥BO1侧!握+/握_2 Rk 十 2 Rk 一后.故旋转所得几何体的表面积为11423 W.13 .解(1)如图作轴截面，则等腰三角形CA卧接于。Q。0内切于 ABCE43设。0的半径为R,由题意，得-7IR3= 972 K 3所以 F3= 729, R= 9,所以 CE 18.已知CD= 16,所以ED= 2.连接AE因为CE是直径，所以 CAL AE 所以 CA= CECD= 18X 16=288,所以 CA= 12 因为 ABL CD 所以 AD= CDDE= 16X2=32,所以 AD= 4 .2,S 圆锥侧=兀X 4yli2 X 12，2 = 96 兀(2)设内切球O的半径为r,因为 ABC勺周长为2X (12平+44)=32平，一.一 11一所以 Sabc= 2