八年级轴对称与对称轴提高压轴题

1、轴对称压轴题1.问题背景：如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B',连接A B与直线l交于点C,则点C即为所求.（1）实践运用：如图（b）,已知，。的直径CD为4,点A在。O上，/ACD=30°, B为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点， 则BP+AP的最小值为 .（2）知识拓展：如图（c）,在Rt ABC中，AB=10 , /BAC=45 °, / BAC的平分线交 BC于点D, E、F分别是线段 AD和AB上 的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.2. （1）观察发现如图（

2、1）:若点A、B在直线m同侧，在直线 m上找一点P,使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B',连接AB与直线m的交点就是所求的点 P,线段AB的长度即为AP+BP的 最小值.三二去C图口）图3）如图（2）:在等边三角形 ABC中，AB=2，点E是AB的中点, 最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点 C重合，连接CE交AD 1AD是高，在 AD上找一点 P,使BP+PE的值点，则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为.（2）实践运用如图（3）:已知OO的直径CD为2, AC的度数为60°,点B是AC的值最小，则 BP+AP的值最小，则 BP+A

3、P的最小值为 阿（3）国（4）（3）拓展延伸的中点，在直径 CD上作出点P,使BP+AP如图（4）:点P是四边形ABCD内一点，分别在边 AB、BC上作出点M,点N,使PM+PN+MN的值最小，保留 作图痕迹，不写作法.如图（1）,要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向 A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线（图（2）,问题就转化为，要在直线l上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的： 作点B关于直线l的对称点B连接AB交直线l于点P,则

4、点P为所求.请你参考小华的做法解决下列问题.如图在ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6 , BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点 P,使4PDE得周长最小.（1）在图中作出点 P （保留作图痕迹，不写作法）.（2）请直接写出 4PDE周长的最小值： .4. （1）观察发现：如（a）图，若点A, B在直线l同侧，在直线l上找一点P,使AP+BP的值最小.做法如下：作点 B关于直线l的对称点B',连接AB',与直线l的交点就是所求的点 P.再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在 AD上找一点 巳 使BP+PE的值最小.做法如

5、下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点 P,故BP+PE 的最小值为.（2）实践运用：如（c）图，已知OO的直径CD为4, /AOD的度数为60°,点B是茄的中点，在直径 CD上找一点P,使BP+AP的值最小，并求 BP+AP的最小值.（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形 ABCD的对角线AC上找一点P,使/ APB= / APD.保留作图痕迹，不必写出作法.29 / 315 .几何模型：条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点.问题：在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法：作点A关于直线l的对称点A',连接AB交l于

6、点P,则PA+PB=A B的值最小(不必证明).模型应用：(1)如图1,正方形ABCD的边长为2, E为AB的中点，P是AC上一动点.连接 BD ,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是 ;(2)如图2,。的半径为2,点A、B、C在。上，OA ± OB , / AOC=60 °, P是OB上一动点，求 PA+PC的 最小值；(3)如图3, /AOB=45°, P是/AOB内一点，PO=10, Q、R分别是 OA、OB上的动点，求 4PQR周长的最小6 .如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为 A (2, -

7、3), B (4, -1).(1)若P (p, 0)是x轴上的一个动点，则当 p=时，4PAB的周长最短；(2)若C (a, 0), D (a+3, 0)是x轴上的两个动点，则当 a=时，四边形ABDC的周长最短；(3)设M, N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M (m, 0)、N (0, n),使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=, n= (不必写解答过程)；若不存在，请说明理由.7.需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A, B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置.8 .如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区 A, B,已知AB=10千米，直

8、线 AB与公路MN的夹角/AON=30°,新开发区B到公路MN的距离BC=3千米.(1)新开发区A到公路MN的距离为 ;(2)现要在MN上某点P处向新开发区 A, B修两条公路PA, PB,使点P到新开发区A, B的距离之和最短.此时PA+PB=(千米).9 .如图：(1)若把图中小人平移，使点 A平移到点B,请你在图中画出平移后的小人；(2)若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边 l上点P处喝水后，再游到 B,但要使游泳的路程最短，试 在图中画出点 P的位置.1,庠:JJii1'I l) |i1A_'1! T1_L_'_;员j11；ipN*N111 1

9、1LI ：fc11|<g1：1li1卜i! i1!-iho11 j , F -*1： iib1NiLI1| 1X：ri*IIi l .1 _ _J1L!1111JM11bJli ii liL111;|11111j ii i10 .如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y轴.(1)请画出：点 A、B关于原点。的对称点A2、B2 (应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明)(2)连接AiA2、B1B2 (其中A2、B2为(1)中所画的点)(3)设线段AB两端点的坐标分别为 A (-2, 4)、B (-使A1B1C与4A2B2c的周长之和最小？若存在，求出点，试证明：x轴垂直平分线

10、段 A1A2、B1B2；4, 2),连接(1)中A2B2,试问在x轴上是否存在点 C, C的坐标(不必说明周长之和最小的理由)；若不存在，11 .某大型农场拟在公路 L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益.请你在图中标明加工厂所在的位置C,使A、B两地到加工厂 C的运输路程之和最短.(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)I AB12 .阅读理解如图1, AABC中，沿/ BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿/B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿/BnAnC的平分线An

11、Bn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一 次恰好重合，Z BAC是4ABC的好角.小丽展示了确定 / BAC是4ABC的好角的两种情形.情形一：如图2,沿等腰三角形 ABC顶角/ BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3,沿/BAC的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿ZB1A1C 的平分线A1B2折叠，此时点 B1与点C重合.探究发现(1) AABC中，/B=2/C,经过两次折叠，/BAC是不是4ABC的好角？ (填是"或不是“).(2)小丽经过三次折叠发现了 /BAC是AABC的好角，请探究/ B与/ C (不妨设/ B > /

12、C)之间的等量关系.根 据以上内容猜想：若经过 n次折叠/BAC是AABC的好角，则/ B与/C (不妨设ZB>ZC)之间的等量关系为 应用提升(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15。、60。、105。，发现60。和105。的两个角都是此三角形的好角.请你完成，如果一个三角形的最小角是4。，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角.413 .如图，AABC中AB=AC , BC=6 ,点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点 Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点 P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图，当点P为AB的中点时，求CD的长

13、；(2)如图，过点P作直线BC的垂线垂足为E,当点P、Q在移动的过程中，线段 BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由;14 . (2012?东城区二模)已知：等边 4ABC中，点。是边AC, BC的垂直平分线的交点，M, N分别在直线 AC,BC 上，且/ MON=60 °.(1)如图1,当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出 AM、CN、MN三者之间的数量关系；(2)如图2,当CMRN时，M、N分别在边AC、BC上时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3,当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接

14、写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系.V15.如图，线段 CD垂直平分线段 AB, CA的延长线交 求证：DE=DF .BD的延长线于E, CB的延长线交 AD的延长线于F,16.如图，在 4ABC和4DCB中，AB=DC , AC=DB , AC与DB交于点 M.求证:(1) AABCADCB;(2)点M在BC的垂直平分线上.17 .如图，4ABC的边BC的垂直平分线 DE交ABAC的外角平分线 AD于D, E为垂足，DFLAB于F,且AB >AC,求证：BF=AC+AF .18 .已知4ABC的角平分线 AP与边BC的垂直平分线 PM相交于点P,作PKAB, PLXAC,垂足分

15、别是 K、L, 求证：BK=CL .19.某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村 n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置.A、B的距离必须相等，且到两条公路（要有作图痕迹）m、20 .如图，在 4ABC中，AB=AC , / A=120 °, BC=9cm , AB的垂直平分线 MN交BC于M ,交AB于N ,求BM21 .如图，在4ABC中，/BAC的平分线与 BC的垂直平分线 PQ相交于点 P,过点P分另作PNXAB于N,PM，AC 于点M,求证：BN=CM .22 .如图己知在 4ABC中，/C=90°, /B=15&#

16、176;, DE垂直平分 AB, E为垂足交 BC于D, BD=16cm ,求AC长.2013年10月初中数学组卷参考答案与试题解析一.解答题（共22小题）1. （2013?日照）问题背景：如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B',连接A B与直线l交于点C,则点C即为所求.W2（1）实践运用：如图（b）,已知，。的直径CD为4,点A在。O上，/ACD=30°, B为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点， 则BP+AP的最小值为.（2）知识拓展：如图（c）,在Rt ABC中，AB=10 , /BA

17、C=45 °, / BAC的平分线交 BC于点D, E、F分别是线段 AD和AB上 的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.考点：轴对称-最短路线问题.分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和 MN的交点P就是所求作的位置.根据题意先求出/C'AE,再根据勾股定理求出 AE,即可得出PA+PB的最小值； （2）首先在斜边 AC上截取AB =AB ,连结BB 再过点B作B FLAB ,垂足为F,交AD于巳 连结BE,则线段BF的长即为所求.解答：解：（1）作点B关于CD的对称点巳连接AE交CD于点P此时PA+PB最小，且等于 AE .作

18、直径AC',连接C'E.根据垂径定理得弧 BD=弧DE. / ACD=30 °, ./AOD=60 °, Z DOE=30 °, . / AOE=90 °,/ C AE=45 °,又AC为圆的直径，. / AEC =90°, ./C = /C'AE=45°, . C E=AE=gAC =2厄即AP+BP的最/、值是2M.故答案为：22;（2）如图，在斜边 AC上截取 AB =AB ,连结BB. AD 平分 ZBAC ,点B与点B关于直线AD对称.过点B作BFXAB ,垂足为F,交AD于E,连结BE,

19、则线段B F的长即为所求.（点到直线的距离最短）在 RtA AFB 中， / BAC=45 °, AB =AB=10 ,B F=AB ' Sin45 =AB ?sin45 =10点评:此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识,根据已知得出对应点.BE+EF的最小值为Er/2.P位置是解题关键.2. （2013?六盘水）（1）观察发现如图（1）:若点A、B在直线m同侧，在直线 m上找一点P,使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B',连接AB与直线m的交点就是所求的点 P,线段AB的长度即为AP+BP的最小值.如图（2）:在等边

20、三角形 ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在 AD上找一点 P,使BP+PE的值 最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点 C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点 P,故BP+PE的最小值 为：；（2）实践运用如图（3）:已知OO的直径CD为2, AC的度数为60°,点B是AC的中点，在直径 CD上作出点P,使BP+AP的值最小，则 BP+AP的值最小，则 BP+AP的最小值为 V2（3）拓展延伸如图(4)作图痕迹,考点： 专题：分析：:点P是四边形ABCD内一点，分别在边 AB、BC上作出点M,点N,使PM+PN+MN的值最小，保留 不写作法.圆的综

21、合题；轴对称-最短路线问题.压轴题.(1)观察发现：利用作法得到 CE的长为BP+PE的最小值；由AB=2，点E是AB的中点，根 据等边三角形的性质得到 CEXAB , / BCE=a / BCA=30 °, BE=1 ,再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=”；(2)实践运用：过 B点作弦BEXCD,连结AE交CD于P点，连结 OB、OE、OA、PB,根 据垂径定理得到 CD平分BE,即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值;由于菽的度数为60°,点B是正厂的中点得到 /BOC=30°,/AOC=60°,所以ZAOE=60 +3

22、0 =90°,于是可判断4OAE为等腰直角三角形，则 AE=V2OAW2；(3)拓展延伸：分别作出点 P关于AB和BC的对称点E和F,然后连结EF, EF交AB于M、 交BC于N.解答:解：(1)观察发现如图(2), CE的长为BP+PE的最小值，.在等边三角形 ABC中，AB=2 ,点E是AB的中点 CEXAB , Z BCE=ZBCA=30 °, BE=1 ,2 .CE= ：；BE=.故答案为Vs；(2)实践运用如图(3),过B点作弦BEXCD,连结 AE交CD于P点，连结 OB、OE、OA、PB , .BEX CD, .CD平分BE,即点E与点B关于CD对称， &am

23、p;C的度数为60°,点B是A0的中点， ./BOC=30 °, /AOC=60 °, / EOC=30 °, . / AOE=60 +30 =90°, .OA=OE=1 ,.,.ae=V2oa=|V2,.AE的长就是BP+AP的最小值.故答案为V2；点评:(3)拓展延伸 如图(4).本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经 常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称-最短路径问题.3. （2012?凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题.如图（1）,要在燃气管道l上修建一个泵站

24、，分别向 A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线（图（2）,问题就转化为，要在直线l上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的： 作点B关于直线l的对称点B连接AB交直线l于点P,则点P为所求.请你参考小华的做法解决下列问题.如图在ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6 , BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点 P,使4PDE得周长最小.（1）在图中作出点 P （保留作图痕迹，不写作法）.（2）请直接写出 4PDE周长的

25、最小值：8 .考点：轴对称-最短路线问题.专题：压轴题.分析：（1）根据提供材料 DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D',连接D'E,与BC交于点P, P点即为所求；（2）利用中位线性质以及勾股定理得出DE的值，即可得出答案.解答：解：（1）作D点关于BC的对称点D',连接D'E,与BC交于点P,P点即为所求；(2)二.点D、E分别是AB、AC边的中点， .DE为4ABC中位线，BC=6 , BC边上的高为 4, .DE=3, DD =4, .D E=Jde2+DD , 2=732 + 42=5, PDE周长的最小值为： DE+D

26、E=3+5=8 , 故答案为：8.点评:此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识, 小值，求出DP+PE的最小值即可是解题关键.根据已知得出要求4PDE周长的最4. （2010?淮安）（1）观察发现：如（a）图，若点A, B在直线l同侧，在直线l上找一点P,使AP+BP的值最小.做法如下：作点 B关于直线l的对称点B',连接AB',与直线l的交点就是所求的点 P.再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在 AD上找一点 巳 使BP+PE的值最小.做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所

27、求的点 P,故BP+PE 的最小值为V3（2）实践运用：如（c）图，已知OO的直径CD为4, /AOD的度数为60°,点B是7市的中点，在直径 CD上找一点P,使BP+AP的值最小，并求 BP+AP的最小值.（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形 ABCD的对角线AC上找一点P,使/ APB= / APD.保留作图痕迹，不必写出作法.考点：轴对称-最短路线问题.分析：（1）首先由等边三角形的性质知，CEXAB ,在直角4BCE中，Z BEC=90 BC=2 , BE=1 ,由勾股定理可求出CE的长度，从而得出结果；（2）要在直径CD上找一点P,使PA+PB的值最小，设 A '是

28、A关于CD的对称点，连接 A'B,与 CD的交点即为点P.此时PA+PB=A B是最小值，可证AOA B是等腰直角三角形， 从而得出结果.（3）画点B关于AC的对称点B',延长DB'交AC于点P.则点P即为所求.解答：解：（1） BP+PE的最小值 =a/ec2 - BE2=7s2 - 12=5.（2）作点A关于CD的对称点 A；连接A'B,交CD于点P,连接OAAA OB .点A与A关于CD对称，ZAOD的度数为60°,/ A OD= / AOD=60 °, PA=PA点b是AD的中点,/ BOD=30 °,，乙 A OB= /

29、AOD+ / BOD=90 °,OO的直径CD为4,，OA=OA =2, .A B=2点.PA+PB=PA +PB=A B=2/2.(3)如图d:首先过点 B作BBAC于。，且 OB=OB 连接DB并延长交AC于P.(由AC是BB '的垂直平分线，可得 / APB= / APD). 点评:此题主要考查轴对称-最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问 题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边.5. (2009?漳州)几何模型：条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点.问题：在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法：作点A关

30、于直线l的对称点A',连接AB交l于点P,则PA+PB=A B的值最小(不必证明).模型应用：(1)如图1,正方形ABCD的边长为2, E为AB的中点，P是AC上一动点.连接 BD ,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是；(2)如图2,。的半径为2,点A、B、C在。上，OA ± OB , / AOC=60 °, P是OB上一动点，求 PA+PC的 最小值；(3)如图3, Z AOB=45 °, P是/ AOB内一点，PO=10, Q、R分别是 OA、OB上的动点，求 4PQR周长的最小考点：轴对称-最短路线

31、问题.专题：压轴题；动点型.分析：(1)由题意易得 PB+PE=PD+PE=DE ,在4ADE中，根据勾股定理求得即可；(2)作A关于OB的对称点A',连接AC,交OB于P,求A C的长，即是 PA+PC的最小值；(3)作出点P关于直线OA的对称点M,关于直线OB的对称点N,连接MN,它分别与 OA, OB的交点Q、R,这时三角形 PEF的周长=MN ,只要求MN的长就行了.解答：解：(1)二.四边形ABCD是正方形， AC垂直平分 BD, .PB=PD ,由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE ,在4ADE中，根据勾股定理得，DE=J7PJE；(2)作A关于OB的对称点A'

32、,连接A C,交OB于P, PA+PC的最小值即为A C的长， / AOC=60 °Z A 00=120°作 ODA 'C 于 D,则 Z A OD=60 ° .OA =0A=2 .A D=V3 A 02的；(3)分别作点 P关于OA、OB的对称点 M、N,连接OM、ON、MN , MN交OA、OB于点Q、 R,连接PR、PQ,此时4PQR周长的最小值等于 MN .由轴对称性质可得， OM=ON=OP=10 , / MOA= / POA, / NOB= / POB,，/MON=2 Z AOB=2 M5°=90°,即 PQR周长的最小值等

33、于 1明.此题综合性较强，主要考查有关轴对称-最短路线的问题，综合应用了正方形、圆、等腰直角 三角形的有关知识.在 RtA MON 中，MN=+02=61()2+10 2=10/.点评:6. (2006?湖州)如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为 A (2, -3), B (4, -1).(1)若P (p, 0)是x轴上的一个动点，则当 P总时，PAB的周长最短；(2)若C (a, 0), D (a+3, 0)是x轴上的两个动点，则当 a上时，四边形ABDC的周长最短；4(3)设M, N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M (m, 0)、N (0, n),使四边形AB

34、MN的周长最短？若存在，请求出 m=W，n=(不必写解答过程)；若不存在，请说明理由.考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质.专题：压轴题.分析：(1)根据题意，设出并找到B (4, -1)关于x轴的对称点是B',其坐标为(4,1),进而可得直线AB'的解析式，进而可得答案；(2)过A点作AE，x轴于点E,且延长 AE,取A'E=AE .做点F (1, -1),连接A'F .利用两 点间的线段最短，可知四边形 ABDC的周长最短等于 A'F+CD+AB ,从而确定C点的坐标值.(3)根据对称轴的性质，可得存在使四边形ABMN周长最短的点 M、N,当且

35、仅当mfi , n=2-旦时成立.3解答:解：(1)设点B (4, - 1)关于x轴的对称点是B',其坐标为(4, 1),设直线AB'的解析式为y=kx+b ,把 A (2, -3), B' (4, 1)代入得:俨田-3,4k+b-l解得J ",b=-7, y=2x - 7,令 y=0 得 x=-,即 p=.2(2)过A点作AEx轴于点E,且延长 AE,取A'E=AE .做点F (1 , - 1),连接A'F.那么A' (2, 3).3 1( - 1 )L.rr直线A'F的斛析式为y - 1二.(X 1 )，即y=4x 5,.C

36、点的坐标为(a, 0),且在直线 A'F上，(3)存在使四边形 ABMN周长最短的点 M、N,作A关于y轴的对称点A 彳B关于x轴的对称点B 连接A B 与x轴、y轴的交点即为点M、N,.A ' ( 2, -3), B' (4, 1),直线A'B'的解析式为：y=-x -M (£, 0), N (0,点评:考查图形的轴对称在实际中的运用，同时考查了根据两点坐标求直线解析式，运用解析式求直线 与坐标轴的交点等知识.7. （2007?庆阳）需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到 A, B两个城市的距离之和最小，请作出机场 的位置.考点：轴对称

37、-最短路线问题.专题：作图题.分析：利用轴对称图形的性质可作点 A关于公路的对称点 A连接A'B,与公路的交点就是点 P的位置.点评：本题主要是利用轴对称图形来求最短的距离.用到的知识：两点之间线段最短.8. （2006?贵港）如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区 A, B,已知AB=10千米，直线 AB与公路MN的夹角/AON=30 °,新开发区B到公路MN的距离BC=3千米.（1）新开发区 A到公路MN的距离为 8 ;（2）现要在MN上某点P处向新开发区 A, B修两条公路PA, PB,使点P到新开发区A, B的距离之和最短.此 时 PA+PB= 14 （千

38、米）.VC0 V考点：轴对称-最短路线问题.专题：计算题；压轴题.分析：（1）先求出OB的长，从而得出 OA的长，再根据三角函数求得到公路的距离.（2）根据切线的性质得 EF=CD=BC=3 , AF=AE+EF=AE+BC=11 ,再根据余弦概念求解.解答：解：（1） BC=3, /AOC=30°, .OB=6 .过点 A 作 AE ±MN 于点 E, AO=AB+OB=16 , .AE=8 .即新开发区A到公路的距离为8千米；（2）过D作DFLAE的延长线（点 D是点B关于MN的对称点），垂足为F. 贝U EF=CD=BC=3 , AF=AE+EF=AE+BC=11 ,

39、 过B作BG, AE于G, .BG=DF , BG=AB ?cos30°=5V3, 期二五产+以2 二（5行）。二= 14，连接 PB,贝U PB=PD, ，PA+PB=PA+PD=AD=14 （千米）.点评:此题主要考查学生利用轴对称的性质来综合解三角形的能力.9. （2006?巴中）如图：（1）若把图中小人平移，使点 A平移到点B,请你在图中画出平移后的小人；（2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l上点P处喝水后，再游到在图中画出点 P的位置.B,但要使游泳的路程最短，试考点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换；作图-平移变换.专题：作图题.分析：根据平移的规律找

40、到点 B,再利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，找到点A的对称点,连接A1B与l相交于点P,即为所求.解答:点评：本题考查的是平移变换与最短线路问题.最短线路问题一般是利用轴对称的性质解题，通过作轴对称图形，利用轴对称的性质和两点之间 线段最短可求出所求的点.作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步.平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；确定图形中的关键点； 利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点； 按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形.10. (2003?泉州)如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y轴.(1

41、)请画出：点 A、B关于原点。的对称点A2、B2 (应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明)；(2)连接A1A2、B1B2 (其中A2、B2为(1)中所画的点)，试证明：x轴垂直平分线段 A1A2、B1B2；(3)设线段AB两端点的坐标分别为 A (-2, 4)、B (- 4, 2),连接(1)中A2B2,试问在x轴上是否存在点 C, 使A1B1C与4A2B2c的周长之和最小？若存在，求出点 C的坐标(不必说明周长之和最小的理由)；若不存在，考点：作图-轴对称变换；线段垂直平分线的性质；轴对称-最短路线问题.专题：作图题；证明题；压轴题；探究型.分析：(1)根据中心对称的方法，找点 A2, B

42、2,连接即可.(2)设 A(X1, y1)、B (x2, y2)依题意与(1)可得 A1 ( - x1, y1) , B1 ( x2, y2) , A2 (一 X1, - y1), B2 (-x2, - y2),得到A1、B1关于x轴的对称点是 A2、B2,所以x轴垂直平分线段 A1A2、B1B2.(3)根据A1与A2, B1与B2均关于x轴对称，连接 A2B1交x轴于C,点C为所求的点.根据 题意得 B1 (4, 2) , A2 (2, - 4)所以可求直线 A2B1的解析设直线A2B1的解析式为y=kx+b则利用待定系数法.解得式为 y=3x - 10.令 y=0,得 x=1曰 3,所以C

43、的坐标为（，0）.即点3M , 0)能使 A1B1C 3解答:与4A2B2c的周长之和最小.解：（1）如图，A2、B2为所求的点.(2)设 A (x1, y1)、B (x2, y2)依题意与(1)可得 A1 ( x1, y1), B1 ( - x2, y2), A2 ( x1, - y1),.A1、B1关于x轴的对称点是 A2、B2,，x轴垂直平分线段 A1A2、B1B2.B2 ( X2, 一 y2)（3）存在符合题意的 C点.由（2）知Ai与A2, B1与B2均关于x轴对称， ，连接A2B1交x轴于C,点C为所求的点. A （-2, 4） , B （-4, 2）依题意及（1）得:B1 （4,

44、 2）, A2 （2, 4）.设直线A2B1的解析式为y=kx+b则有4kH=22k+b=-4k=3b二-L0直线A2B1的解析式为y=3x - 10,.C的坐标为（，0)综上所述，点C （竺，0）能使A1B1C与4A2B2c的周长之和最小.点评:主要考查了轴对称的作图和性质，以及垂直平分线的性质.要知道对称轴垂直平分对应点的连 线.会根据此性质求得对应点利用待定系数法解一次函数的解析式是解题的关键.11. （2001?宜昌）某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地C,使A、B两地到A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益.请你在图中标明加

45、工厂所在的位置 加工厂C的运输路程之和最短.（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）考点：轴对称-最短路线问题.专题: 分析: 解答:点评:作图题.作A关于直线L的对称点E,连接BE交直线L于C,则C为所求.答：如图：E.本题主要考查对轴对称-最短路线的问题的理解和掌握，根据题意正确画出图形是解此题的关键,12. （2012?淮安）阅读理解如图1, AABC中，沿/BAC的平分线ABi折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 /BlAlC的平分线A1B2折叠，剪 掉重复部分；将余下部分沿/BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一 次恰好重合，/BAC是

46、4ABC的好角.小丽展示了确定 / BAC是4ABC的好角的两种情形.情形一：如图2,沿等腰三角形 ABC顶角/ BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3,沿/BAC的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿ZB1A1C 的平分线A1B2折叠，此时点 B1与点C重合.探究发现（1） AABC中，/B=2/C,经过两次折叠，/BAC是不是4ABC的好角？是 （填 是”或 不是“）.（2）小丽经过三次折叠发现了 /BAC是AABC的好角，请探究/ B与/ C （不妨设/ B > / C）之间的等量关系.根 据以上内容猜想：若经过 n次折叠/BAC是AABC的好角，则/

47、B与/C （不妨设ZB>ZC）之间的等量关系为_ / B=n / C .应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15。、60。、105。，发现60。和105。的两个角都是此三角形的好角.请你完成，如果一个三角形的最小角是4。，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角.考点：翻折变换（折叠问题）.专题：压轴题；规律型.分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图3,根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知 /B=2/C;（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知/ A1A2B2=/C+/A2B2c=2/C;根据四边形的外角定理知 /BAC+2/B-2C=180&

48、#176;，根据三角形 ABC的内角和定理知ZBAC+ ZB+ZC=180°，由 可以求得 /B=3/C;利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：/ B=n / C;（3）利用（2）的结论知 /B=n/C, / BAC 是AABC 的好角，/C=n/A, /ABC 是AABC 的好角，/A=n/B, /BCA是4ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数 可以是 4、172; 8、168; 16、160; 44、132; 88°、88°.解答：解：（1） AABC中，/B=2/C,经过两次折叠， /BAC是4ABC的好角；理由如下：小丽展示

49、的情形二中，如图3,沿/BAC的平分线 AB1折叠，/ B= /AA1B1;又.将余下部分沿/B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，/ A1BC=/ C； / AA 1B1=/C+/A1B1C （外角定理），/B=2/C, /BAC 是AABC 的好角.故答案是：是；（2） /B=3/C;如图所示，在 4ABC中，沿/ BAC的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余 下部分沿/B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿/B2A2c的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则/ BAC是4ABC的好角.证明如下：: 根据折叠的性质知， /B=/AA1B1, /C=/

50、A2B2C, Z A1 B1C=Z A1A2B2,，根据三角形的外角定理知，ZA1A2B2=Z C+ /A2B2c=2/ C;: 根据四边形的外角定理知，/ BAC+ / B+ / AA1B1 - / A1 BC=/ BAC+2 / B - 2/ C=180°,根据三角形 ABC的内角和定理知， ZBAC+ Z B+Z C=180°,/ B=3/ C;由小丽展示的情形一知，当 /B=/C时，ZBAC是4ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当 /B=2/C时，ZBAC是4ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当 /B=3/C时，ZBAC是AABC的好角；故若经过n次折叠/BAC

51、是4ABC的好角，则/B与/C （不妨设/ B > / C）之间的等量关系 为 / B=n/C;（3）由（2）知设 /A=4°, ./C 是好角，./B=4n°:/A 是好角，Z C=m Z B=4mn ,其中 m、n 为正整数得 4+4n+4mn=180，如果一个三角形的最小角是4°,三角形另外两个角的度数是4、172; 8、168; 16、160; 44、132; 88°、88°.点评:本题考查了翻折变换（折叠问题）.解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定 理以及折叠的性质.难度较大.*413. （2013?青羊区一模）

52、如图， 4ABC中AB=AC , BC=6 ,9心5二二，点P从点B出发沿射线 BA移动，同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点 P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.（1）如图，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图，过点P作直线BC的垂线垂足为E,当点P、Q在移动的过程中，线段 BE、DE、CD中是否存在长 度保持不变的线段？请说明理由；考点： 专题: 分析:等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质.几何综合题；压轴题；分类讨论.(1)过点P做PF平行与AQ,由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等，再由 AB=AC , 根据等边对等角得角 B和角ACB的相等

53、，根据等量代换的角B和角PFB的相等，根据等角对等边得BP=PF,又因点P和点Q同时出发，且速度相同即 BP=CQ,等量代换得PF=CQ,在加上对 等角的相等，证得三角形 PFD和三角形QCD的全等，根据全等三角形的对应边边相等得出DF=CD= JcF,而又因P是AB的中点，PF/ AQ得出F是BC的中点，进而根据已知的 BC的长，求出CF,即可得出CD的长.(2)分两种情况讨论，第一种情况点P在线段AB上，根据等腰三角形的三线合一得BE=EF,再又第一问的全等可知 DF=CD ,所以ed=ef+FD=BE+DC=403，得出线段de的长为定值；第二种情况，P在BA的延长线上，作 PM平行于A

54、C交BC的延长线于 M,根据两直线平行，同位角解答:相等推出角PMB等于角ACB ,而角ACB等于角ABC ,根据等量代换得到角 ABC等于角PMB , 根据等角对等边得到 PM等于PB,根据三线合一，得到 BE等于EM,同理可得4PMD全等于 QCD,得到CD等于DM ,根据DE等于EM减DM ,把EM换为BC加CM的一半，化简后得 到值为定值.解：(1)如图，过 P点作PF/ AC交BC于F,点P和点Q同时出发，且速度相同，BP=CQ ,1. PF/ AQ ,Z PFB= Z ACB , /DPF=/CQD, X/AB=AC ,/ B= Z ACB ,/ B= ZPFB,.BP=PF,PF

55、=CQ ,又 / PDF= / QDC ,证得PFDQCD,DF=CD=、CF,又因P是AB的中点,.F是BC的中点，即PF / AQ,FC=BC=3 ,CD=-CF= 2(2)分两种情况讨论，得 ED为定值，是不变的线段如图，如果点P在线段AB上，过点P作PF/ AC交BC于F,PBF为等腰三角形，PB=PF,BE=EF,PF=CQ , .FD=DC ,ed冲十pgBE+DC等(X，.ED为定值，同理，如图，若P在BA的延长线上,作PM / AC的延长线于 M ,，/B=/PMC,PM=PB ,根据三线合一得 BE=EM ,同理可得PMDQCD,所以CD=DM ,点评:此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题.14. (2012?东城区二模)已知：等边 4ABC中，点。是边AC, BC的垂直平分线的交点，M, N分别在直线 AC,BC 上，且/ MON=60 °.(1)如图1,当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出 AM