矢量分析与场论(2)

1、个人收集整理仅供参考学习第02讲本节内容1,方向导数2,梯度3,散度4,旋度5,正交坐标系第一章矢量分析与场论(2)1,数量场的方向导数1.1方向导数由上节可知，数量场u=u(M)的分布情况，可以借助于等值面或等值线来了解，但这只能大致地了解数量场中物理量 u的整体分布情况。而要 详细地研究数量场，还必须对它作局部性的了解，即要考察物理量u在场 中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况。为此，引入方向导数的概念。文档收集自网络，仅用于个人学习设M0是数量场M0出发沿某一方向引一近取一动点M, M。M =u= u(M )中的一点，从条射线l ,在l上M0的邻若当Mt M0时(即P T 0）： 的极限

2、存在，则称此极限为函数 u(M)在点M0处沿l方向的方向导数。记为M0一 、，一 dU 一一、， 可见，方向导数 或 是函数u(M)在点M0处沿l方向对距离的变化率 l M0.u当了0时，表示在M0处u沿l方向是增加的，反之就是减小的。在直角坐标系中，方向导数有以下定理所述的计算公式：定理若函数 u = u(x,y,z)在点 Mo(X0,y0,Z0)处可微，cos" , cos? , cos?为方向的方向余弦。则 U在M0处沿l方向的方向导数必存在，且：证：M 坐标为(X。+ ”, y。+ Ay,z。+ “),.U在点M0可微，故：°3是比高阶的无穷小。两边除以得两边取t

3、0时的极限得一 一，X2 y2例 求数量场二工在点M(1,1,2)处沿l=？+ 2?+ 2?方向的方向导数。12 / 38解：方向的方向余弦为:1cos =二一3)cos :cosu 2x * = 2y u x2 y2一= =2x z ) y z ) z z:1,£uz7 .z Mu12122 一 = 1 1=. . l332332,梯度2.1 .概念方向导数为u(M )在给定点处沿某方向变化率。 但从场中一点出发无穷多方向，通常不必要更不可能研究所有方向的变化率。人们往往只关心沿何方向变化率最大，此变化率为多少？下从方向导数的计算公式出发来讨论此问题。 文档收集自网络，仅用于个人学

4、习,.cosa、cosP、cos'为l方向的方向余弦.方向的单位矢量可表示为：若把3，1看成是某矢量G的三分量。即：一.£u _ 一 二则：T = G l °= G cos（G,l） 11G在给定点处为一常矢量。由上式， G在；方向上的投影恰等于函数 u在该方向上的方向导数。显然，当1与G的方向一致时，即cos（Gr） = 1时，方向导数取得最大值， 或说沿G方向的方向导数最大，此最大值为：这样即找到了一个矢量 G ,其方向为u(M)变化率最大，且其模即为最 大变化率，该矢量称函数 u(M)在给定点处的梯度。在数量场u(M)中的一点M处，其方向为函数u(M)在M点处

5、变化率最 大的方向，其模恰好等于此最大变化率的矢量 G,称为u(M)在M点处的 梯度，记为： 文档收集自网络，仅用于个人学习需指出，梯度的定义与坐标系无关，它由数量场u(M)的分布所决定，在不同的坐标系中只是表达形式不同。前面已得出其在直系中的表达式： 文档收集自网络，仅用于个人学习从此公式可以看出，梯度在形式上可以视为矢量微分算子7?+?+i?x 、y 、z与函数u的乘积，算子称为哈密尔顿算子。所以梯度又常表示为“U。文档收集自网络，仅用于个人学习2.2.梯度的性质10梯度与方向导数的关系：在某点M处沿任一方向的方向导数等于该二 u点处的梯度在此方向上的投影。了 =G12°梯度与等

6、值面的关系：场u(M)中每一点M处的梯度，垂直于过该 点的等值面，且指向u(M)增大一方。这是因为点 M处“u的三个分量詈恰为过M点的等值面 x y zu(x, y, z) = c的法线方向数，即梯度在其法线方向上，故垂直于此等值面。一. 、一 L fu. 一 ，、一、,一又因为u沿 u万向的万向导数= 1grad叱0即u(M )沿grad u万向是增 加的，或者说grad u指向u(M)增大一方。等值面和方向导数均与梯度存在一种比较理想的关系，这使得梯度成为研究数量场的一个极为重要的矢量。例 试证明M(x, y,z)点的矢径r = x5?+ y* z?的模r = | ；|= Jx2+ y2+

7、 z2的梯 r度 L；=r。r x 2c 3 n -址，x x2 y2 z2 r，. y r， z r、x仁 y c z仁、=一1上？一?-r r r, u例 求 r=|r|= Jx2 + y2 + z2 在 M(1,0,1)处沿 l = i +2j + 2k方向的 - ou 一 ，、 一解法1 :直接由了公式(略)解法2 :作为梯度在上投影-rx :ry :rzxr) yr) zr,一：r 1：r 0 八:r 1在 M(1,0,1)处，- = T2,百丁 °, TzF11cleM 处72?72?2.3.梯度的运算法则17c = 0(c为常数)2。 (cu)= c7 u (c 为常数

8、)3 7 (u * v)- u" v4 V (uv) = W u + u个人收集整理仅供参考学习u、1 /、5。寸(一)=T(v7 u - u7 v)5 V v6。f(u) = f'(u)v u例 已知位于原点处的点电荷q在其周围空间任一点 M(x,y,z)处产生的电位为'=477 ( r = |r| = Jx2+y2+z2 ),且知电场强度E= 求E。解：由法则6° :3矢量场的通量与散度3.1、 通量f|F8ds个人收集整理仅供参考学习为区分曲面的两侧，常规定其一侧为曲面的正侧，另一面为其负侧。这种取定了正侧的曲面称为有向曲面。对于封闭曲面，习惯上总是取

9、其外侧为正侧。在研究实际问题时，常规定有向曲面的法向矢量n恒指向研究问题时所取的一侧。 文档收集自网络，仅用于个人学习下面通过例子导出通量定义。设s为流速场V(M)中一有向曲面，考虑单位时间流体向正侧穿过 s的流量Q。( n指向s正侧)文档收集自网络，仅用于个人学习在s上取ds, M三ds。因ds甚小，可认为v和n在ds上均不变，分别与M处v和n相同。流体穿过ds的流量为： n其中n =尉为M处单位法向矢量则单位时间内沿正向穿过 s的总通量为：数学上把这种形式的曲面积分称为通量。设A（M）为一矢量场，沿其中有向曲面 S正（负）侧的曲面积分：称为矢量场A向s正（负）侧穿过曲面 S的通量。如磁感应

10、强度为B的磁场中，穿过曲面 S的磁通量为：若某一矢量场是由两个以上的矢量场迭加而成，则总场穿过某曲面的通量等于每个矢量场穿过该曲面的通量之和。-1m即若A=人+FC A则： iN在直角坐标系中，若 A可表示为：而 ds = n ds = ds cos - i dscos j dscos k其中COS& , cosP , cosY是n的方向余弦-= A ds = Pdydz Qdxdz Rdxdy ss例 场r = xi + yj + zk s:圆锥面x2+ y2= z2与平面z=H所围封闭面,求从s内穿出的屋解：: r dss若s为上半球面x2+y2 + z2 = R2,Hr ds s

11、2上任一点r工ds总流量Q=Hv ds为单位时间内向上侧穿过S的正流量和负流量的代S数和。当Q>0时表示向正侧流量多于向负侧流量；Q<0时向正侧流量小于向负侧流量；Q=0时向正侧流量等于向负侧流量。文档收集自网络，仅用于个人学习对于封闭曲面s,提及穿过它的通量时，通常指从内向外。此时：当，>0时，表明穿出的通量大于穿入的，称 s内有产生的正源；当 ' <。时，表明穿入通量大于穿出的，称 s内有产生*的负源。正源和负源 可同时存在。 文档收集自网络，仅用于个人学习例 原点处点电荷q在其周围产生的电场中，任一点处的电位移矢量 _ qrx?y?z? 、D'kr

12、 (r = Jx2 + y2+ /),求穿过以原点为球心，R为半径的球面的电通量。 文档收集自网络，仅用于个人学习解：e; D dS s可见，s内产生电通量的源即为电荷 q, q为正电荷时，3>0,表明q为正源；反之q为负源。3.2散度根据穿出闭合面的通量的正负，可判断出该曲面内有正源或负源,但源在s内的分布情况和强弱却是通量无法说明的。为此，引入矢量场的 散度。 文档收集自网络，仅用于个人学习设M是矢量场A(M )中的一点，在M的某个邻域内取一包含 M在内的任一闭合曲面”，其所包含区域的体积为 AV,以"表示穿出"S的通量。若当该区域以任意方式缩向点M时，文档收集自

13、网络，仅用于个人学习的极限存在，则称之为矢量场a（m）在点M处的散度。记为div Adiv a为一数量，它表示场中一点处的通量对体积的变化率，即该点处穿出包围单位体积的闭合曲面的通量。称为该点处源的强度。div A> 0 该一 点有正源；div A < 0 该点有负源。divA表示产生通量或吸收通量的强度。当divA = o时，表示该点无源。div A= 0的矢量场称为无源场。文档收集自网络，仅用 于个人学习定理（散度在直系中的表达式）在直角坐标系中，矢量场：在任一点M（x,y,z）处的散度为：证.=，A ds = ： Ax dydz Ay dxdz Az dxdyisLS由曲面积

14、分的奥氏公式:Ax因为反：Ay : A . div A =Ax：Ay= M -7ATm- z后、尤均连续，根据中值定理，&V内必存在一点M使得:Ax.M t M ,故 divA - x可见，散度在形式上可看作哈密尔顿算子与矢量A的点乘，所以通常表示为胃Ao此定理不仅告诉我们如何计算散度，也可由之得出以下推论:推论1奥氏公式可以写成矢量形式：高斯定理从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域V中的场和包围区域V的闭合面S上的场之间的关系。因此，如果已知区域V中的场，根据高斯定理即可求出边界S上的场，反之亦然。文档收集自网络，仅用于个人学习

15、推论2由推论1,若在封闭曲面s内处处有 A=0,则：推论3在矢量场A中，若某些点（或区域）上有 A，。或不存在，而其它点上都有 A=05则穿出包围这些点（或区域） 的任一闭曲面的通 量者勺才目等。 文档收集自网络，仅用于个人学习证：设7 A，0或不存在的点在区域 R内，任作二包围 R但互不相交的封闭面Si、S2,外法向矢量ni、n2内7 A处处为0,而si上n与ni相同，s2上n与n2相反。例 原点处点电荷q产生的电位移为 1 一 (r = xi + y j 十 zk , r = | r ),求"D 。解： D = 7"(3i 为j Wk)4 r r rD =_qD =_q

16、yix 4n r3 ， y 4n r3 ，:Dxq r2 - 3x2：Dy _ q r2 - 3y2: Dzq r2 - 3z2:= ex4nr5，y4兀r5，1z 4 r5Dx ：Dy-Dz _ q 3r2 - 3(x2 y2 z2)D 一一一 0555x y z 4r在r = 0以外，V D：。，故为无源场。由推论3,穿过任一包围q的封闭面的电通量：3=nDds=q s散度遵循下列运算法则：1 7 (cA)=cv A (c常数)2°y (A± B) = A±v B3 o 7 (uA) "uA+u$ A下面对法则3。加以证明。证：.uA= uAx?+u

17、Ay?+uAz?CGG, (uA)二(uAx) (uAy) (uAz)一xyz23 / 38个人收集整理仅供参考学习例 r=xi+yj+zk, r = r。求：(1)使 f(r)F= 0 的 f(r)(2)使 口() = 0 的 f(r)解：(1) ”/)；= ”r) r+ 口产 r.f (r) = cr-3,- r ,f(r)L f (r) r令r = et,得：.f (r); G1 C24矢量场的环量及旋度 4.1环量概念设有矢量场A(M),则沿场中某一封闭的有向曲线l的曲线积分称为此矢量场按积分所取方向沿曲线l的环量。(其中dl = ； dl )例如，当A为力场F时，环量表示在F作用下，

18、质点沿曲线l运动一 _ 一周时，场力F对它所做的功。又如，当A为磁场强度H时，7H d表示沿与积分路线方向成右手螺旋关系的方向通过以l为边界的曲面的总电流。(安培环路定律)文档收集自网络，仅用于个人学习在直角坐标系中，A= Ax(x,y,z)? Ay(x,y,z)? Az(x,y,z)?其中 cosa , cosP , cosY 为 dl 的方向余弦，则 71A dl 7 Axdx + Ay dy + 2dz可见，若在闭合有向曲线l上，矢量场A的方向处处与线元dl的方 向保持一致，则环量> 0 ；若处处相反，则r < 0 o可见，环量可以用来 描述矢量场的旋涡特性。文档收集自网络，

19、仅用于个人学习由物理学得知，真空中磁感应强度B沿任一闭合有向曲线l的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空磁导率"0的乘积。即文档收集自哂仅用于个人学习式中电流I的正方向与dl的方向构成右旋关系。由此可见，环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。文档收集自网络，仅用于个人学习4.2 .环量面密度以磁场h为例，其环量为通过磁场中以 l为边界的曲面s的总电流强度。这还不足以了解磁场中任一点 M处沿着某一方向n的电流密度，为研究此类问题，引入环量面密度文档收集自网络，仅用于个人学习设M为矢量

20、A中一OMAS点，n为从M出发的一射线，在M处取一小面元&$与门垂直，取其周界M之正向与n成右手螺旋关系。当A沿的之正向的环量 与面积"之比在灯无限缩向M点时的极限存在,则称之为矢量a在M点处沿n的环量面密度。记为文档收集自网络，仅用于个人学习在磁场中M处，沿某方向n的环量面密度为：:j H dlI dI4 =甄丁=蚂=工 (I n万向电流)为点M处沿n方向的电流密度。下面给出环量面密度的计算公式：在直角坐标系中，A= Ax(x,y,z)? Ay(x,y,z)p Az(x,y,z)?由曲线积分的斯托克斯公式证明：(略)由中值定理，当 普l>sa+(普普)8融+与k>

21、;s连续时，必存在一点M"使得（因为 &ST M 时）Ml M ）-：Ay:A:A- 八 A）cos :（ ）cos - （ ）cos二 z二z二 x二 x二 y4.3旋度由环量面密度的计算公式:A：AV；A:A：AV；AR= （4_）？（_）? （-）?L,L|L|L|L,L,y z z x x yn =R n-。为n方向的单位矢量。即在任一给定点处，矢量R在任一方向n上的投影等于沿该方向的环量面密度。R的方向为"n最大方向，且，max=|R。在矢量场A中的一点M处，其方向为 M处A的环量面密度最大的方43 / 38向，其模恰等于此最大环量面密度的矢量，称为矢量记

22、作rot A O 文档收集自网络，仅用于个人学习A在M点处的旋度,上面已得出rot A的计算公式:?rot A =一 dxAxy:yAy-zAz旋度在形式上可看作哈密尔顿算子与矢量 A的叉乘，所以通常表示为斯托克斯定理同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域S中的 场和包围区域S的闭合曲线l上的场之间的关系。因此，如果已知区域S中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界l上的场，反之亦然。文档收集自网络，仅用于个人学习例 求矢量场A= x(z-y*+ y(x-z)?+z(y-x)?在点M (1,0,1)处的旋度，及沿口 =

23、2? 6? 3?方向的环量面密度:y解:x(z- y) y(x - z) z(y- x)Am = ?+ 2?+?263n 二一灾 ? -2777An2 6 2 3.177 777旋度遵循下列运算法则:1°F M(cA) = cF 父 A（c常数）2。 M(A± B)=5A士 M B3° 父(uA) = u7xA+7uxA4° $ B) = rot A B - A rot B5。"($u) = 06。0A) = 07。一一 A= ( A) - 7 2A其中蜡称为拉普拉斯算子，在直角坐标系中有F面以4°和5 °为例给出证明证 4

24、° ： AgAx? + Ay/Az?)BBxW+By ?+Bz证5°：”(喝针解?+等) 例 已知中AI。，且存在非零函数u(x,y,z)及(x,y,z)使uA 2 试证明A，哂A 证：,uAH /y|(uA)|0 .，A A A A。u A) = 0/uA rot A = 0.u非零 故A±rot A5无散场和无旋场散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。两个重要公式：左式表明，任一矢量场 A的旋度的散度一定等于零。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。及收集自网络，仅用于个人学习右式表明，任一标量场中的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。文档收集自网络，仅用于个人学习6正交坐标系6.1常用的三种坐标系文档收集自网络，仅用于个人学习圆柱(r, , z)z = Z0直角(x, y ,z)/6.2x 0微负5二 exEezey其中OdlZdSJW-称为微分量 r =