知识点26等腰三角形与等边三角形2019

1、一、选择题12.（2019 烟台）如图，AB是eO的直径，直线DE与eO相切于点C,过点A,B分别作AD DE , BE DE,垂足为点D, E,连接AC, BC.若ADJ3, ce 3,则Ac的长为（空B.立C.巫D任3323第12胆唱 D C E第12题答图【答案】D【解题过程】连接 OC, 因为 AD DE , BE DE ,所以 ADC CEB 90所以 DAC ACD 90 因为AB是e O的直径， 所以ACB90 ,所以BCEACD90,所以BCEDAC ,在ADC 与 CED,因为ADCCEB90,BCE DAC所以 ADCA CED,所以BCACCEAD3-3BC 一在 RtA

2、CB 中，sin BAC 33, AC所以 BAC 60 ,又因为OA OC ,所以 AOC是等边三角形，所以 ACO 60 ,因为直线DE与e O相切于点C,所以OC DE ,因为 AD DE , OC DE ,所以 AD/OC ,所以 DAC ACO 60 ,所以 ACD 90 DAC 30 ,所以 AC 2AD 2M,所以 AOC是等边三角形，所以 OA AC 26，AOC 60 ,所以Ac的长为60也迎18038. （2019 娄底）如图（2）,边长为2J3的等边 ABC的内切圆的半径为（）CA. 1 B. V3C.2 D. 273【答案】A【解析】由等边三角形的内心即为中线，底边高，

3、角平分线的交点，则在直角三角形OCD中，从而解得.如图（2 1）,设D为。与AC的切点，连接 OA和OD , 等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点， ODXAC, /OAD = 30, OD 即为圆的半径.又 AC 2J3,1 1 LAD -AC - 2.332 2，在直角三角形 OAD中，tan OAD tan 30OD OD 3AD 33代入解得：OD = 1.故答案为1.1. （2019 潍坊）如图已知/ AOB,按照以下步骤作图：以点。为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交/AOB的两边于C, D两点，连接CD.分别以点C, D为圆心，以大于线段 OC的长为半径作弧，两弧在/

4、 AOB内交于点E,连接CE, DE.连接OE交CD于点M .下列结论中错误的是（）A . /CEO = /DEO B. CM=MDC. /OCD = /ECD D. S 四边形 oced=1cD OE2【答案】C【解析】 由作图可知 OC=OD, CE=DE, OE=OE,所以 OCEODE ,，/ CEO= / DEO,选项 A正确，根据“三线合一”可知， CM=MD, CDXOE,所以选项B、D正确；选项 C错误；故选 C.2. （2019 衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA, OB组成，

5、两根棒在O点相连并可绕O转动。C点固定,OC=CD=DE,点D, E可在槽中滑动，若/ BDE=75 ,则/ CDE的度数是A. 60B.65 C. 75 D. 80【答案】D【解析】本题考查等腰三角形及三角形外角的性质，因为OC=CD=DE ,所以/ O= / CDO, / DCE= / CED.所以/ DCE=2 / O , / EDB=3 / O=75，所以 / O=25 , / CED= / ECD= 50 ,所以/ CDE=180 - / CED- / ECD= 180 -50 -50 =80 ,故选 D.3. （2019 重庆A卷）如图，在 ABC中，D是AC边上的中点，连ZBD,

6、把 BDC 沿BD翻折，得到 BDC,DC与AB交于点E,连结 AC,若AD= AC =2, BD = 3,则点D到BC的距离为（）3.21B.7d. VT3B如答图，过点D作DMBC于点M,过点B作BNDC于点N,由翻折可知 DC =DC = AD = 2, /BDC = Z BDC . AD= AC =2,， ADC是等边三角形，从而/ ADC =Z BDC =/BDC = 60 .在 Rt BDN 中，DN = - BD = , BN = ,从而 C N =.于是，BC = jg)2 ()2 = S BDC22 L2 2DC BN 1BC皿,-寸=?=3故选巳4.（2019 聊城）如图在

7、等腰直角三角形 ABC中,/ BAC =90 ,一个三角尺的直角顶点与 BC边的中点。重合，且两 条直角边分别经过点 A和点B,将三角尺绕点 。按顺时针方向旋转任意一个锐角 ，当三角尺的两直角边与 AB,AC 分别交于点E,F时,下列结论中错误的是A.AE+AF = ACB. Z BEO+ / OFC= 18021C.OE+OF = - BCD.S 四边形 AEOF = S ABC【答案】C【解析】连接 AO,易得 AEOCFO,，AE+AF =CF+AF = AC,故 A 正确；/ BEO+/ OFC= / BEO+/ AEO =180 ,故B正确；随着三角形的转动，OE和OF的长度会变化，

8、故C错误；S四边形aeof = Saaeo+S*fo = Sacfo+S/fo1 一=2s4ABC,故D正确；故选C.5.6.7.8.9.10.二、填空题14. （2019绍兴 ）如图，在直线 AP上方有一个正方形 ABCD , / PAD=30 ,以点B为圆心，AB为半径作弧, 与AP交于点A,M，分别以点A,M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点 巳连结ED,则/ADE的度数为【答案】15或45【解析】因为/ PAD = 30,以点B为圆心，AB为半径作弧，与 AP交于点A,M ,而/ BAM =60,所以 BAM 是等边三角形；又以点A,M为圆心，AM长为半径作弧，交点有两个E或B有两种

9、情况：由题意 4AME是等边三角形，所以/ EAM = 60,所以/ DAE =30 +120 = 150,又 AD =AM =AE,所以/ ADE = / AED = - (1802 150) = 15;点 E 与 B 重合，所以/ ADB (E) =45.C /14. (2019 常德)如图， ABC是等腰三角形， 逆时针旋转45得到 ACD,且点D、D、二AB= AC, / BAC = 45，点 D 在 AC 边上，将 ABD 绕点 A B三点在同一直线上，则/ ABD的度数是.4.【答案】22.5BAC = / CAD =45 , AD = AD , . . / ADD = / AD

10、D =【解析】 根据题意可知 ABD ACD180 45-80=67.5 , D、D、B 三点在同一直线上， ./ ABD = /ADD /BAC = 22.5 21.(2019 怀化)若等腰三角形的一个底角为 72。，则这个等腰三角形的顶角为 【答案】36.【解析】 解：二.等腰三角形的一个底角为72。，这个等腰三角形的顶角为180-72 2=36 .故答案为36.2.5.6.7.8.三、解答题19. (2019浙江省杭州市，19, 8分)(本题满分8分)如图在 ABC中，AG AB BC.(1)已知线段AB的垂直平分线与 BC边交于点 巳 连接AP,求证：/APC= 2/B.(2)以点B为

11、圆心，线段 AB的长为半径画弧，与 BC边交于点 Q连接AQ.若/AQC= 3/ B,求/ B的度数.【解题过程】(1)证明：二线段 AB的垂直平分线与 BC边交于点 巳PA=PB / B=Z BAP,/ APCh B+/ BAP/ APC=2/ B;(2)根据题意可知 BA=BQBAQ=/ BQA / AQC=& B, / AQCh B+Z BAQ. / BQA=2 B, /BAQ廿 BQA吆 B=180 ,. 5/B=180 , . . / B=36 .25. (2019江苏盐城卷，25, 10)如图是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：(I)将矩形纸片沿 DF折叠，使点A落在CD边上点E处

12、，如图；O；(II)在第一次折叠的基础上， 过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B处，如图，两次折痕交于点(III)展开纸片，分别连接 OB、OE、OC、FD,如图【探究】(1)证明： OBCOED ;(2)若AB = 8,设BC为x, OB2为y,求y关于x的关系式.图图图图【解题过程】解：(1)由折叠可知 BC=AD=AF=DE , ： CB=CB ,由两次折叠可知 /BCO=/DCO =ZODE=45O, AOCD是等腰直角三角形，OC=OD AOBC AOED(2)如图，过。向BC做ONBC于N,则4OCN是等腰直角三角形，又4OCD是等腰直角三角形，OC=OD ,CD=8 , OC

13、= 4J2,ON=CN=4 ,在直角三角形 BON 中，OB2=BN 2+ON 2222 y (x 4)42 = x2 8x 32 (4xv8)25. (2019 株洲)四边形ABCD是。O的圆内接四边形，线段 AB是。O的直径，连结 AC、BD .点H是线段 BD上的一点，连结 AH、CH ,且/ ACH =/ CBD , AD = CH , BA的延长线与 CD的延长线相交于点 P.(1)求证：四边形 ADCH是平行四边形；(2)若AC = BC, PB= J5PD, AB+CD = 2( J5+1).求证： DHC为等腰直角三角形；求 CH的长度.【解题过程】(1)/ CBD= CAD,

14、/ ACH= / CBD / CAD叱 ACHCH/ AD, AD= CH四边形ADC田平行四边形(2): AB是直径, / ADB4 ACB=90 ,1. CH/ AD, / CHDh ADB=90 , .AC= BC,/ CAB=45 , / CDBh CAB=45 , . DHE等腰直角三角形.四边形ABCD。的圆内接四边形, / PDA4 PBC / P=/ P, . PDA PBCPB BCDHC ABE等腰直角三角形，ABCd5 + 1).-.AB= .2BC ,CD=、2CH.2AD , .AB+ CD= 2(,5CD+CD=2f 5 + 1).CD=2, .CH= 226. (

15、2019 常德)在等腰三角形 ABC中，AB = AC,作CM，AB交AB于点M , BNAC交AC于点N.(1)在图 12 中，求证： BMCA CNB;(2)在图13中的线段 CB上取一动点 P,过P作PE / AB交CM于点E,作PF / AC交NB于点F ,求证：PE+PF =BM ;(3)在图14中动点P在线段CB的延长线上，类似(2)过P作PE/ AB交CM的延长线于点 E,作PF / AC 交NB的延长线于点 F,求证：AM - PF+OM - BN=AM PE.图13图14图12【解题过程】(1) . AB = AC, .ABC = ZACB, -. CMXAB, BNXAC,

16、 . / BMC = /CNB=90 ,又= BC =BC, BMCA CNB;(2)连接 OP, . PE / AB, PF / AC, . BMC = / PEC =90 , ZCNB = Z PFB=90，= SVBOC = 8VB0P + SVCOP ,1. （2019 重庆 A卷）如图，在 ABC中，AB = AC, D是BC边上的中点，连结 AD , BE平分/ ABC交AC于 点E,过点E作EF / BC交AB于点F.（1）若/ C= 36 ,求/ BAD 的度数；（2）求证：FB=FE.解：（1） AB = AC, Z B = Z C= 36 .，/BAC=180 -Z B-Z

17、 C=108 AB=AC, D是BC边上的中点， AD 平分/ BAC. ./ BAD= 1 / BAC=54 .2（2）证明：BE 平分/ ABC,. / ABE = / CBE. EF / BC,./ FEB = Z CBE. FB=FE.2. （2019 重庆 B 卷）如图，在 ABC 中，AB=AC ,AD BC 于点 D .（D 若/ C= 42,求/ BAD的度数；（2） 若点E在边AB上，EF / AC交AD的延长线于点 F .求证：AE=FE工0题图解：（1）（方法）：AB=AC, / C=42.B=/C=42,，/BAC=180 -Z B-Z 0=180 -42 -42 =9

18、6 ADXBC11/ BAD= 2 / BA0= 2 x 96 =48(方法二)： AB=A0 Z 0=42B=/C=42AD B0 于点 DADB=90 .Z BAD=180-90 -42 =48(2)证明： EF / A0CAF = /F AB=A0 , ADXB0 / 0AF = Z BAF/ F= / BAF . AE=FE3. (2019 眉山)如图，在四边形 ABCD中AB/ DC,点E是CD的中点，AE=BE. 求证：/ D=/ C .证明： AE=BE ,/ EAB= / EBA , DC / AB ,/ DEA= / EAB , / CEB= / EBA ,/ DEA= / CEB ,在DE CE EDA 和CEB 中， DEA CEB ,， EDA CEB (SAS), . / D= / C.AE BE4. （2019 无锡） 如图，在4 求证：（1） DBCAECB;