数列不等式及数学归纳法

1、 数列，不等式及数学归纳法(深圳)21（本小题满分14分）已知数列满足：，（其中为自然对数的底数）（1）求数列的通项；（2）设，求证：， 解：（1），即 3分令，则，因此，数列是首项为，公差为的等差数列， 5分 6分（2）（方法一）先证明当时，设，则，当时，在上是增函数，则当时，即8分因此，当时， 9分当时， 10分12分14分（方法二）数学归纳法证明（1），当时，成立；，又，当时，成立 8分（2）设时命题成立，即，当时，要证， 即证，化简，即证 9分设，则，当时，在上是增函数，则当时，即因此，不等式成立，即当时成立 11分当时，要证， 即证，化简，即证 根据前面的证明，不等式成立，则时成立由

2、数学归纳法可知，当时，不等式， 成立14分（佛山）21（本题满分14分）设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为.(1)用表示和;(2)求证:;(3)设,求证:21（本题满分14分）解： (1)由点在曲线上可得, 1分又点在圆上，则, 2分从而直线的方程为, 4分由点在直线上得: ,将代入化简得: . 6分(2) , 7分又, 9分(3)先证:当时,.事实上, 不等式后一个不等式显然成立,而前一个不等式.故当时, 不等式成立., 11分(等号仅在n=1时成立)求和得: 14分（揭阳）20（本小题满分14分）已知数列是公比的等比数列，且，又 （1）求数列的通项公式；（2）若（

3、），且求证：对有20解：（1）解法1：，且解得-2分 -4分 =-6分【解法2：由，且得 -2分 -3分又-4分是以3为首项，2为公差的等差数列，-5分；-6分】（2）当时，-8分当时，-10分=-12分，又即对，.-14分（东莞）21（本小题满分14分）已知数列中，其前项和满足，令（1）求数列的通项公式；（2）若，求证：（）21（本小题满分14分）解：（1）由题意知即 -2分 -3分-5分检验知、时，结论也成立，故 -7分（2）由于-10分故-12分 -14分（云浮）21. （本小题满分l4分）已知数列的前n项和为，正数数列中(e为自然对数的底)且总有是与的等差中项，的等比中项.(1) 求证

4、: 有； (2) 求证：有.21解：(1) 是与的等差中项 （2）由（1）得 6分 的等比中项 综上所述，总有成立 14分解法二：（2）的等比中项 ii)假设时不等式成立， 则n=k+1时要证明 只需证明： 即只需证明： .9分 .10分 只需证明只需证明 13分由 可知上面结论都成立 综合(i)(ii)可知, 成立 .14分法三：n=1时同法一：时左边证明同法一 10分当时，证明右边如下： 只需证明 11分 只需证明只需证明 13分由 可知上面结论都成立 综上所述, 成立 .14分注1：必须才行 实际上30。（福建卷）已知数列a满足a=1,a=2a+1(nN)（）求数列a的通项公式；（）若数

5、列bn满足4k1-14k2-14k-1=(an+1)km(nN*),证明:bn是等差数列;（）证明:(nN*).解析：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列。即（II）证法一：，得即，得即是等差数列。证法二：同证法一，得令得设下面用数学归纳法证明（1）当时，等式成立。（2）假设当时，那么这就是说，当时，等式也成立。根据（1）和（2），可知对任何都成立。是等差数列。（III）证明：35（湖南卷）在m（m2）个不同数的排列P1P2Pn中，若1ijm时PiPj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列