角函数诱导公式及推导

1、三角函数诱导公式：所谓三角函数诱导公式，就是将角 n （兀/2） ± “的三角函数转化为角a的三角函数。常用公式：公式一： 设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kjt+a)=sina(kCZ)cos(2k九+ a )=cosa(k Z)tan(2k兀+ a )=tana(kZ)cot(2k兀+ a )=cota( k Z)公式二：设a为任意角，冗+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：sin (九 + a )=？一 sin acos (九 + a ) = cos atan (九 + a ) = tan acot (九 + a ) =cot a公式三：任意角

2、a与-a的三角函数值之间的关系：sin ( a ) = sin acos ( a ) = cos atan ( a ) = tan acot ( a ) =cot a系:公式四：利用公式二和公式三可以得到冗-a与a的三角函数值之间的关sin (九一a ) = sin acos （九一a ） =cos atan （九一a ） =tan a2九-a与a的二角函数值之I可的关cot （九一a ） =cot a公式五：利用公式一和公式三可以得到系：sin (2 冗-a ) =sin acos (2 冗-a ) = cos atan (2 冗-a ) =tan acot (2 冗-a ) =cot a公

3、式六：九/2 ± a与a的三角函数值之间的关系：sin (冗 /2+ a ) =cos asin (九 /2 a ) =cos acos (冗 /2+ a ) = sin acos (九 /2 a ) =sin atan (兀 /2+ a ) = cot atan (九 /2 a ) =cot acot (兀 /2+ a ) = tan acot (九 /2 a ) =tan a推算公式：3九/2 ± a与a的三角函数值之间的关系:sin (3 冗 /2+ a ) =cos asin (3 冗/2 a) = cos acos (3 冗 /2+ a ) =sin acos (

4、3冗/2 a) = sin atan (3 兀 /2+ a ) =cot atan (3 兀 /2 a ) =cot acot (3 兀 /2+ a ) =tan acot (3 兀 /2 a ) =tan a诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。“奇、偶”指的是九/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称 的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限” 的含义是：把角a看做锐角，不考虑a角所在象限，看 n (冗/2) ± a是第几象 限角，从而得到等式右边是正号还是负号。以 cos (兀/2+ a ) =sin a为例， 等式左边cos (

5、兀/2+ a )中n=1,所以右边符号为sin a,把a看成锐角，所以 冗/2< (兀/2+a) <兀，y=cosx在区间(冗/2,冗)上小于零，所以右边符号为 负，所以右边为一sin a。符号判断口诀：全,S,T,C,正。这五个字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种 三角函数值都是“ +” ；第二象限内只有正弦是“ +”，其余全部是“-"；第三 象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“-"；第四象限内只有余弦是“+”， 其余全部是“-”。也可以这样理解：一、二、三、四指的角所在象限。全正、正弦、正切、余 弦指的是对应象限三角函数为正值的名称。口诀中未

6、提及的都是负值。“ASTC 反 Z。意即为 “ all(全部)"、“sin ”、“tan”、“cos” 按照将 字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。另一种口诀：正弦一二切一三，余弦一四紧相连，言之为正。推导过程：万能公式推导sin2 a =2sin a cos a =2sin a cos a /cos 2( a )+sin 2( a ),(因为 cos 2( a )+sin 2( a )=1 )再把分式上下同除 cosA2( a ),可得 sin2 a =2tan a /1+tan 2( a )然后用a /2代替a即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余

7、弦得到。三倍角公式推导tan3 a =sin3 a /cos3 a=(sin2 a cos a +cos2 a sin a )/(cos2 a cos a - sin2 a sin a )=2sin a cos 2( a )+cos 2( a )sin a sin 3( a )/cos 3( a ) cos a sin 2( a ) 2sin 2( a )cos a 上下同除以cos3( a ),得：tan3 a =3tan a tan 3( a )/1 -3tan 2( a )sin3 a =sin(2 a + a )=sin2 a cos a +cos2 a sin a=2sin a co

8、s 2( a )+1 2sin 2( a )sin a=2sin a 2sin 3( a )+sin a 2sin 3( a )=3sin a 4sin 3( a )cos3 a =cos(2 a + a )=cos2 a cos a sin2 a sin a=2cos 2( a ) 1cos a 2cos a sin 2( a )=2cos3( a ) cos a +2cos a 2cos3( a )=4cos3( a)3cos a即sin3 a =3sin a 4sin 3( a )cos3 a =4cos 3( a ) 3cos a和差化积公式推导首先,我们矢口道 sin(a+b尸sin

9、acosb+cosasinb, sin(a-b尸sinacosb-cosasinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb同理，若把两式相减，就得到 cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的，我们还知道cos(a+b尸cosacosb-sinasinb , cos(a-b尸cosacosb+sinasinb所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb同理，两式相减我们就得到sinasinb=-cos(a+b)-cos(a-b)/2这样，我们就得到了积化和差的公式：cosasinb=sin(a+b)

10、-sin(a-b)/2sinasinb=-cos(a+b)-cos(a-b)/2好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式我们把上述四个公式中的a+b设为x, a-b设为y,那么a=(x+y)/2 , b=(x-y)/2把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式：sinx+siny=2sin(x+y)/2cos(x-y)/2sinx-siny=2cos(x+y)/2sin(x-y)/2cosx+cosy=2cos(x+y)/2cos(x-y)/2cosx-cosy=-2sin(x+y)/2sin(x-y)/2三角函数同角三角函数的基本关系式倒数关系

11、tan a - cot a =1sin a - csc a =1cos a - sec a =1商的关系sin a /cos a =tan a =sec a /csc a cos a /sin a =cot a =csc a /sec a 平方关系sin 2( a )+cos 2( a )=11+tan 2( a )=sec 2( a )1+cot 2( a )=csc 2( a )同角三角函数关系六角形记忆法构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间 1”的正六边形为模型。倒数关系对角线上两个函数互为倒数；商数关系六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚

12、线两端的三角函数值的乘积，下面 4个也存在这种关系。)由此，可得商数关系式。平方关系在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三 角函数值的平方。两角和差公式sin(a+ 3 )=sin a cos 3 +cos a sin 3sin(a- 3 )=sin a cos 3 - cos a sin 3cos(a+ 3 )=cos a cos 3 - sin a sin 3cos(a- 3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3tan(a+ 3 )=(tan a +tan 3 )/(1 tana tan3 )tan(a 3 )=(tan a tan 3

13、 )/(1+tana tan3 )二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2 a =2sin a cos acos2 a =cos 2( a ) sin 2( a )=2C0S 2( a ) 1=1 2sin 2( a ) tan2 a =2tan a /1 tan 2( a )tan(1/2) a =(sin a )/(1+cos a )=(1 -cos a )/sin a半角的正弦、余弦和正切公式sin 2( a /2)=(1 cos a )/2cos2( a /2)=(1+COs a )/2tan 2( a /2)=(1 cos a )/(1+COs a)tan( a /2)=(1 cos a

14、 )/sin a =sin a /1+cos a万能公式sin a =2tan( a /2)/1+tan2( a /2)cos a =1 tan 2( a /2)/1+ tan 2( a /2)tan a =2tan( a /2)/1 tan 2( a /2)三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a =3sin a 4sin 3( a )cos3 a =4cos 3( a ) 3cos atan3 a =3tan a tan 3( a )/1 3tan 2( a )三角函数的和差化积公式sin a +sin 3 =2sin( a + 3 )/2cos( a 3 )/2sin a sin 3 =2cos( a + 3 )/2sin( a 3 )/2cos a