极坐标参数方程知识点总结

1、Word资料第一部分：坐标系与参数程【考纲知识梳理】1 .平面直角坐标系中的坐标伸缩变换0的作用下，点P x,y对应到点x?x,设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：y?y,Px,y，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2 .极坐标系的概念极坐标系A如图(1)所示，在平面取一个定点 。，叫做极点，自极点。引一条射线Ox,叫做极轴 再选定一个长度单位，一个 角度单位(通常取弧度)及其正向(通常取逆时针向)这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几背景；平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐

2、标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系(2)极坐标设M是平面一点，极点0与点M的距离|OM|叫做点M的极径记为；以极轴0劝始边，射线OM为终边的 角 xOM叫做点M的极角，记为 有序数对 ，叫做点M的极坐标，记作M ,.一般地，不作特殊说明R。和直角坐标不同时，我们认为0,可取任意实数.特别地，当点M在极点时，它的极坐标为 0,平面一个点的极坐标有无数种表示.如果规定 0,02 ，那么除极点外，平面的点可用唯一的极坐标表示；同时,极坐标，表示的点也是唯一确定的3 .极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度

3、单位，如图(2)所示：点M直角坐标x, y极坐标 ，互化公式xcosysin222x ytan x 0 x极坐标与直角坐标的互化公式如表：在一般，f#况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角(2)互化公式：设M是坐标平面任意一点，它的直角坐标是x, y，极坐标是，0，于是4.常见曲线的极坐标程曲线图形极坐标程圆心在极点，半径为r的圆(r 02圆心为r,0，半径为r的圆0X2r 22圆心为 r,，半径为r的圆 2(OJ2r sin 0过极点倾斜角为的直线(1) R 或R(2) 0 或0过点a,0，与极轴垂直的直线r(n,0) -rcos a 22过点 a,一，与极轴平行的直2线()L

4、_ K、 ksin a 0注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即，2,都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标程即可.例如对于极坐标程点M一,一 可以表示为4 4M 一，一 2 或 M , 2 或 M4 44 4一 ,5 等多种形式，其中，只有M -4 44 4的极坐标满足程二、参数程1 .参数程的概念x f t一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数,并且对y g t于t的每一个允值，由程组所确定的点Mx, y都在这条曲线上，那么程就叫做这条曲线的参数程，联系变数

5、x, y的变数t叫做参变数简称参数，相对于参数程而言，直接给出点的坐标间关系的程叫做普通程.2 .参数程和普通程的互化(1)曲线的参数程和普通程是曲线程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数程得到普通程(2)如果知道变数 x, y中的一个与参数t的关系，例如x f t ,把它代入普通程，求出另一个变数与参数的x f t关系y g t，那么就是曲线的参数程，在参数程与普通程的互化中，必须使x, y的取值围保持一y g t致.注：普通程化为参数程，参数程的形式不一定唯一。应用参数程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数程的形式也不同。3 .圆的参数如图所示

6、，设圆。的半径为r,点M从初始位置 Mo出发，按逆时针向在圆 。上作匀速圆运动，设M x, y ,x r cos则为参数。这就是圆心在原点 O,半径为r的圆的参数程，其中的几意义是OMo转过y r sin一一 一. 2.22的角度。圆心为 a,b ,半径为r的圆的普通程是 x a y b r ,x a rcos、，它的参数程为：为参数。y b r sin4.椭圆的参数程22x y以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准程为一72万1 a b 0其参数程为 a bx acos y bsin为参数，其中参数称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准程是2y2ax2丁 1 a b 0其参数程为b2x

7、bcos y asin为参数其中参数仍为离心角，通常规定参数的围为 0,2注：椭圆的参数程中，参数的几意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来, 除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外(即在 0到2的围)，在其他任一点，两个角的数值都不相等。但当0 一时，相应地也有 0,在其他象限类似。225.双曲线的参数程22以坐标原点 O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为三 4 1a 0,b 0其参数程为a bx asec为参数，其中 0,2且 一，y btan22x bcoty acsc为参数，其中焦点在y轴上的双曲线的标准程是22乌勺 1 a 0,b 0其参数程为 a b

8、0.2 且以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6 .抛物线的参数程2x 2 pt2以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y2 2px p 0的参数程为pt t为参数y 2pt经过点M x, y ,倾斜角为7 .直线的参数程一 的直线l的普通程是y y0 tan x x0而过M0 x0,y0 , 2x x0 tcos、,公业心倾斜角为 的直线l的参数程为t为参数y V。 t sin注：直线参数程中参数的几意义：过定点M0x0,y0 ,倾斜角为 的直线l的参数程为x x0 t cos0t为参数，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任一点 M x ,y 为终点的有向线段y V。 tsinM0M的数量，

9、当点 M在M0上时，t0;当点M在M0下时，t0;当点M与M0重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以Mo为原点，直线l向上的向为正向的数轴上的点 M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。【要点名师透析】一、坐标系(一)平面直角坐标系中的伸缩变换x/ 3xR例1在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 ：/2y y,1(1)求点A ，2经过 变换所得的点 A的坐标;31,B ( 3,2)”自一(2)点B经过 变换得到点2 ,求点B的坐标;(3)求直线1：y 6x经过 变换后所得到直线的l程；2C : X2 y 1（4）求双曲线64 经过 变换后所得到曲线 C的焦点坐标。（二）极坐标与

10、直角坐标的互化5A（2, JB（2, JR例23在极坐标系中，如果44 为等边三角形 ABC的两个顶点，求顶点 C的极坐标（0,02 ）（三）求曲线的极坐标程R例已知 P, Q分别在/ AOB的两边OA, OB上，/ AOB=一,POQ的面积为8,求PQ中点M的极 坐标程。（四）极坐标的应用R例1如图，点 A在直线x=4上移动，/OPA为等腰直角三角形，/ OPA的顶角为/ OPA （O, P, A依 次按顺时针向排列），求点P的轨迹程，并判断轨迹形状。（一）把参数程化为普通程已知曲线C1 ：（t为参数），C2（i）化cL c=的程为普通程，并说明它们分别表示什么曲线;x =8cos ay =

11、 3 sin & a（c为参数）。（2）若C1上的点P对应的参数为t , Q为C上的动点，求 C中点次到直线2x 3 2ty 2 t（t为参数）距离的最小值。（二）椭圆参数程的应用在平面直角坐标系中，点F8是椭圆3上的一个动点，求S =的最大值解答：（三）直线参数程的应用例过点/萼作倾斜角为厘的直线与曲线4二1交于点乱，求“|同的值及相应的a的值。解析：（四）圆的参数程的应用R例1已知曲线C的参数程是 （1）求曲线C的普通程；r也L卜=沉物为参数），且曲线C与直线j刃=0相交于两点A、B（2）求弦AB的垂直平分线的程（3）【感悟高考真题】求弦AB的长1 .在极坐标系中，点（2, 3）到圆2co

12、s 的圆心的距离为（）(A) 2(B) -4(C)2(D) 32 .在极坐标系中，圆2sin的圆心的极坐标是（）（1，2）(1,(B)(C)(1,0)(D)(1,cos3 .在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数程为 y1 sin（为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy有相同的长度单位，且以原点O为极点，轴正半轴为极轴）中，曲线C2的程为（cos sin ） 10,则C1与C2的交点个数为x 2 cosxOy取的程为4,直角坐标系xOy中，曲线C1的参数程为y *3sin （为参数）.在极坐标系（与直角坐标系 相同的长度单位，且以原点 O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2（cos sin

13、） 10,则C1与02的交点个数为5. （1）（坐标系与参数程选做题）若曲线的极坐标程为= 2sin4cos ，以极点为原点，极轴为 x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标程为6. （2011 高考理科T15C）直角坐标系x0y中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点3 cosA, B分别在曲线C1 : y4 sin为参数）和曲线C2:1上，则1ABi的最小值为7.（坐标系与参数程选做题）直角坐标系xOy中，以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,x 3 cos设点A, B分别在曲线C1 :y sin（为参数）和曲线1上，则1ABi的最小值为8. （2011.天津高考

14、理科.T11）.已知抛物线C的参数程为8t28t（t为参数）若斜率为1的直线经过抛物2 .22,线C的焦点，且与圆（4）y =r （r 0）相切，则9.（坐标系与参数程选做题）已知两曲线参数程分别为点坐标为x 疾cos (00 ,底00)可写为, c 兀一4.过点2, 4平行于极轴的直线的极坐标程是 （A.pcos 0= 4B. psin 0= 4C. psin 0= y2答案：C5.1 x= 1 曲线的参数程是ty=1-t2（t是参数,t%）,它的普通程是（）A.x(x- 1)2(y- 1) = 1 B, y=-x- 21 - x 2C. y = -+ 1 D. y= 1 1 -x211 -

15、x6.直线建。=2关于直线e=称的直线程为（）A.pcos 0= 2 B. psin0= 2 C. psin 0= - 2D. p= 2sin 0x=-1邛7.已知直线l的参数程为（t为参数），则直线l的斜率为 （A.8. 12 C.yDY8.直线3x4y9=0与圆:x= 2cosy=2sin 0,（。为参数）的位置关系是A.9.相切设直线过极坐标系中的点B.相离C.直线过圆心M（2,0）,且垂直于极轴，则它的极坐标程为D.相交但不过圆心10.在极坐标系中，直线八，兀.由in 9+ 4=2被圆p= 4截得的弦长为二、填空题兀.c /11 .在极坐标系中，直线0= 6截圆 尸2cos 9-6(p

16、C R)所得的弦长是12 .直线2x+3y1 = 0经过变换可以化为 6x+6y-1=0,则坐标变换公式是13 .（皖南八校2011届高三第二次联考）已知平面直角坐标系xOy,直线l的参数程式为y t 2 （t为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系(取相同的长度单位)，圆C的极坐标程为44),则直线l的圆C的位置关系是 。x x0 tcos14 .已知曲线的参数程为y y0 tsin，分别以t和 为参数得到两条不同的曲线，这两条曲线公共点个数为.15 .已知 2x2+3y2-6x=0(x,yCR),贝U x2+y2 的最大值为 .16 .从极点O作直线与另一直线 l : cos =4相交于点 M ,在OM上取一点P,使OM OP=12 ,则点P 的轨迹程为 L三、解答题, 一，.，一. 一一一一、一 兀 . .一17 .在极坐标系中，已知圆 C的圆心C 3, 6 ,半径r=3, 求圆C的极坐标程；(2