平面向量知识点易错点归纳定稿版

1、平面向量知识点易错点归纳精编WORD版IBM system office room A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8 5.1平面向量的概念及线性运算1 .向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量;向量的 大小叫做向量的长度（或称模）平面向量是自由向量零向量长度为C的向量；其方向是任意 的记作0单位向量长度等于1个单位的向:非零向量N的单位向量为土 ,平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量位或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫 做共线向:相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反

2、向量为02 .向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的 运算交换律：a + 6= 6+a. (2) 结合律：(a+ 为 + c=a+(6+ 0.减法求a与6的相反 向量一6的和的 运算叫做4与6 的差b/a-b4三一三角形法则a b=a( b)数乘求实数4与向 a的积的运算|3=|川W; (2)当20时, M的方向与N的方向相同;当 次()时，船的方向与a的方向担 反;当7=0时，久4 = 03 = (W)a；司 4(a+b) =3 .共线向量定理 向量wQRO)与6共线的充要条件是存在唯一一个实数人使得b=U方法与技巧1 .向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边

3、形法则，做题时，要注意三角形法则与 平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向 量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是 “起点重合”.2 .可以运用向量共线证明线段平行或三点共线.如崩/乞力且与 8 不共线，则 AB II 8;若;方/瓦7,则X、B、C三点共线.失误与阿范1 .解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向 量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2 .在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.5.2平面向量基本定理及坐标表

4、示1 .平面向量基本定理如杲 小g是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量N,有且 只有一对实数 八 不，使N=4a+4Q.其中，不共线的向量小6叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2 .平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘反向量的模设 a=（s, 乂），6=（应,必则）+5=（5+鼻，也+丁2,a-b=（.Yi yy=（% 例）, |N|=Jd + /.向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设且（汨，/1）, Bg %,则成=（豆邛，八一不）,I后I =弋咫_*+8一万.3 .平面向量共线的坐标表示设 N=（xi,，Z=（Az,后，其中 6力0争

5、 6a/一尊=0.方法与技巧1 .平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.2 .平面向量共线的坐标表示两向量平行的充要条件若a=（R,为，6=（*2,必 则a b的充要条件是a=Ab,这与汨及一切,=0在本质上 是没有差异的，只是形式上不同.三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.失误与防范1.要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量 共线有方向相同、相反两种情况.Xi V2,若2=（不，%），6=（双，方，则a

6、M b的充要条件不能表示成一=二，因为咫，先有可能 xz yz等于0,所以应表示为沟角一.年Fi = 0. 5.3 面向量的数量积1 .平面向量的数量积已知两个非零向量a和, 它们的夹角为，则数量|a| |b|CQS，叫做w和b的数量积（或 内积）,记作 a b= a |Z|cos规定：零向量与任一向量的数量积为两个非零向量a与b垂直的充要条件是a /=（）,两个非零向量a与b平行的充要条件 是 a b= /a/b/.2 .平面向量数量积的几何意义数量积a . 6等于n的长度| a|与6在a的方向上的投影| bcos H的乘积.3 .平面向量数量积的重要性质（l）e w=z - e= 21 c

7、os ；（2）非零向量 b, b=。；当a与6同向时，Nb=/ab/；当N与6反向时，a b= 6/, N ,幺=/，a =小 z；a , b（4）cos但南In b|_W_6/.4 .平面向量数量积满足的运算律z 6= 6 式交换律）；（2）（4 6=4。-6） = n 缶与口为实数）；S+e c= a c+b c.5 .平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量2=（不，%）, 6=（短，必 则N 6=更2土竺2，由此得到（1）若w=（x,力 则以|2=左+或|川=qy+/.设小私，3（双，必 则4 5两点间的距离I=Ll x+e-%2.设两个非零向量a,瓦w =（工，坨,b= （a-2，必则

8、w_L %*+*=（）.方法与技巧1 .计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形 有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2 .求向量模的常用方法：利用公式|知2 =才，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3 .利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.失误与阿范1 .（）与实数0的区别：。2=（）*（），a+（a）=OR（）, a （）=（）*（）； （2）0的方向是任意的， 并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系.2 . a , 6=0不能推出n=0或6=0,因为a , 6=0时，有可能 5.4 面向量的

9、应用1 .向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平 行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：，左= 出 b* 0)迎一引1=0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 b= Oxj.y；4- =0.求夹角问题，利用夹角公式a , b.x，+ %心COS仁丽=乒乒 s为w与b的夹角).2 .平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法 相似，可以用向量的知识来解决.物理学中的功是一个标量，这是力尸与位移s的数量积.

10、即W=F-s=F/scos H (“为尸与s的夹角).3 .平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知 识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以 得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以解有关函数、不等式、三角函数、数 列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.方法与技巧1 .向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提， 运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.2 .以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的 一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决 这