广州市南沙区高一下期末数学试卷(有答案)

1、广东省广州市南沙区高一（下）期末数学试卷、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知aC R, bCR,且a>b,则下列不等式中一定成立的是（B.a2>b21_C. (2)a< (D. lg (a b) > 02.角a的终边上有一点（1 ,2),则 sin a=()B.C.D.3.cos (一16几的值为（返B-2C.D.4.tan a=2,sinG- -sinCL fees CLB.C.D.ABC中，AB=AC=BC=2 ,贝UABBC=5.如图，在1B. - 1C.D. - 26.设平面向量b=

2、( - 2, y),若七/二，则|23一电等于（B. 5C.D.7.在等差数列an中，a3+a8=8,贝 U Sio=()A. 20B. 40C.60D. 808.为了得到函数 y=cos （ d x+ 一彳）的图象，只要把 y=cos的图象上所有的点（）7T共33A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度9.若关于x的方程x2+ax+a2 - a - 2=0 的 根大于 1,另一根小于1,则a的取值范围为（0<a< 1B. a>- 1C. T v av 1D.a< 110.已知cos产1213Tt, 2 兀)，则 COS

3、( a-）的值为（B.7V23T1W2C. 26D.CO>0, - Tt< （f）<兀）一个周期的图象（如图）,则这个函数的一个解y2sin2A.11.已知函数y=Asin析式为（B.y=2sin(3x12 .在实数集R中定义一种运算*'”,对任意a, bC(1)对任意 aC R, a*0=a；(2)对任意a, bC R,a*b=ab+(a*0) + (b*0).则函数 f (x) = (ex) *的最小值为（A. 2eB. 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分y=2sin (3s -)C.ER, a*b为唯一确定的实数,C. 620分.13.不等式-x2-

4、2x+3>0的解集为 ;（用区间表示）D.ySsin (3工 -)bl-且具有性质:D. 814.已知 cos a+sin a=,贝U sin2 a=15 .已知x, y为正数，且 x+y=20,贝U m=lgx+lgy的最大值为 16 .如图，设A, B两点在河的两岸，一测量者在 A的同侧，在A所在的河岸边选定一点 C,测出AC的 距离为50m, Z ACB=45 °, / CAB=105 °后，则 A, B两点的距离为 m.三、解答题：本大题共 6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.一In-:一-KjP-417 .已知向量 汽b满足|引二3,

5、 | b| 32, (3 + I.-)(a2匕)=4.(1)求b；*求 d期.“F . 2 ,18 .已知函数 f (x) = sinxcosx sin x+ n .(1)求f (x)的最小正周期值；(2)求f (x)的单调递增区间；兀(3)求f(x)在0,二厂上的最值及取最值时 x的值.19 .已知数列an的前n项和为，且 Sn=n2+n,(1)求数列an的通项公式；(2)令bn=3an,求证：数列bn是等比数列.20 .某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多 少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使

6、得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？资金单位产品所需资金(百元)空调机洗衣机月资金供应量(百兀)成本3020300劳动力(工资)510110单位利润6821 .在4ABC中，内角A, B, C所对的边分别是 a, b, c,已知a=2, c=, cosA=- 返 .4(1)求sinC和b的值；7V(2)求 cos (2A+ 3 )的值.一22 .已知正数数列an的前n项和为Sn,点P (an, Sn)在函数f (x) = ? x + x x上，已知b

7、i=1,*、3bn-2bn 1=0 (n>2, nC N ),(1)求数列an的通项公式；(2)若Cn=anbn,求数列 cn的前n项和Tn;(3)是否存在整数 m, M ,使得mv Tn< m对任意正整数n恒成立，且 M-m=9,说明理由.【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得【解答】 解：由题意可得 x=1, y= - 2,二百，sina=r=-V5=-H,sin a的值.【点评】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.磔3 ）的值为（B.D.广东省广州市南沙区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，满分60分.在每

8、小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.1 .已知aC R, bCR,且a>b,则下列不等式中一定成立的是（）A. b>ib. a .角a的终边上有一点（1 , - 2）,则sin a=（>b2c.（2）av （2） b d. 1g （a-b） >0【分析】根据不等式的基本性质，结合指数函数和对数函数的图象和性质，分别判断四个答案中的不等式 是否恒成立，可得结论.a【解答】解：当a> 0> b时，卜<0,故A错误； 当0 > a> b时，a2 v b2,故B错误；当a>b时，（？）a< （ 2） b一定成立，故C正确；

9、当 b+1 >a>b 时，1g （a b） v 0,故 D 错误； 故选：C.【点评】 本题考查的知识点是不等式的基本性质，指数函数和对数函数的图象和性质，难度中档.【分析】直接根据诱导公式转化求解计算即可.【解答】解：cos （-16元 16兀)=cos 3=cos (6 兀一)=cos 3 =-/故选：D.【点评】本题考查诱导公式的应用： 求值.此类题一般依照 负角化正角，大角化小角”的顺序进行角的转化.sind -4 .若 tan“=2,贝U 对门口+8£口 =（）A.aB. 3C, 3D. 4【分析】原式分子分母除以 cos a,利用同角三角函数间基本关系化简，将

10、 tan a的值代入计算即可求出值.【解答】 解：tana=2,【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键.5 .如图，在 ABC 中，AB=AC=BC=2 ,则 AB ' K=()A. 1B. - 1C. 2D. - 2【分析】利用向量的数量积运算即可得出.元,证 瓦|辰leg（冗-4）乂2X（货吟）【解答】解：=$= =-2.【点评】 本题考查了向量的数量积运算，注意向量的夹角，属于基础题.6 .设平面向量白=（1, 2）, b=（ 2, y）,若回/匕，则|23一电等于（）A. 4B. 5C,D, 4B-»【分析】利用向量共线定理即可得

11、出y,从而计算出24-b的坐标，利用向量模的计算公式即可得出.【解答】 解：: »/ "2X2y=0,解得y=-4.至2 (1, 2) - (- 2, - 4) = (4, 8),I2 - g=vN + /=4近故选D.【点评】熟练掌握向量共线定理、向量模的计算公式是解题的关键.7 .在等差数列an中，a3+a8=8,则S10=()A. 20B. 40C. 60D. 80【分析】由已知利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解.【解答】解：二.在等差数列an中，a3+a8=8, .-80=3'回 + 0加=与 (% + %)=5X8=40.故选：B.【点评】本题考查等

12、差数列的前 10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合 理运用.1_ K的图象，只要把 y=cos2的图象上所有的点(8 .为了得到函数 y=cos x+ 兀A .向左平移 §个单位长度B.向右平移个单位长度2兀C.向左平移 3个单位长度2JTD.向右平移 3个单位长度【分析】利用函数y=Asin (亦+力的图象变换规律，得出结论.1 兀 12KHI I I- I 12兀 1 支y=cosZ (x+ 3 ) =cos (2 x+ )【解答】 解：由于cos ( 2x+ 3 ) =cos? (x+ 3 ),故把y=cos 2'的图象上所有的点向左平移3个

13、单位长度，可得函数的图象，故选：C.【点评】本题主要考查函数 y=Asin (cox+(f)的图象变换规律，属于基础题.9.若关于x的方程x2+ax+a2-a-2=0的一根大于1,另一根小于1,则a的取值范围为()A . 0vav1B . a>-1C. Tvav1D. a< 1【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得a的取值范围.【解答】 解：二关于x的方程x2+ax+a2a 2=0的一根大于1,另一根小于1,令 f (x) =x2+ax+a2- a - 2,贝U f (1) =1 +a+a2 - a- 2=a2 - 1 < 0,求得一1vav 1

14、,故选：C.【点评】本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题.12IT10.已知cos炉。3纯A. 13B.兀，2兀），贝U cos （77213D.V226【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin a的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解.12【解答】解：cos a=71, 2 兀),sin a=COS (a )=COS aCOS4丝乂+ +sin asin 4 =132-13【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想，属于基础题.11.已知函数y=Asin （ w

15、x+（f） （A>0, w>0,-兀 产 兀）一个周期的图象（如图）析式为（）,则这个函数的一个解y=2sin(37C.匕D.y=2sin(3s（a）x+?） （A>0, W> 0, - TtW ?< Tt）的图象，我们分别求出函数的最大值,最小值及周期，进而求出 A值和3值，将最大值点代入结合正弦函数的性质求出4值，即可得到函数的解析式.【解答】 解：由函数的图象可得函数的最大值为2,最小值为-2,结合A>0,可得A=22TT又,函数的图象过（,2）点和（2,0）点，则T= 3,结合3>0,可得3=35= -Y3,则函数的解析式为 y=2sin （3

16、x+?） ir,2）代入得+（j）=7C了+2k河7T当 k=0 时，(j)= - 2jr山y=2sin(3x故函数的解析式为2 '故选D【点评】本题考查的知识点是由函数 y=Asin ( cox+?)的图象确定函数的解析式，其中根据函数的图象分析 出函数的最大值，最小值，周期，向左平移量，特殊点等是解答本题的关键.12 .在实数集R中定义一种运算*'”，对任意a, bCR, a*b为唯一确定的实数，且具有性质: (1)对任意 aC R, a*0=a；(2)对任意 a, bC R, a*b=ab+ (a*0) + (b*0).1的最小值为()B. 3C. 6D. 81 1=(e

17、x) *eE=i+ex+ex ,利用基本不等式，即可得出结论. 1 1(x) = (ex) *ex =i+ex+eK > 1 +2=3,1=(ex) * 口”的最小值为3.则函数f (x) = (ex) * 已其【分析】根据性质，f (x)A. 2【解答】解：根据性质，f1当且仅当ex=亡时，f (x) 故选：B.【点评】 本题考查新定义，考查基本不等式的运用，正确理解新定义是关键.二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，满分20分.13 .不等式-x22x+3>0的解集为(一3, 1);(用区间表示)【分析】把不等式化为(x+3) (x-1) <0,得出不等式对应方程的实

18、数根，写出解集即可.【解答】 解：不等式x22x+3>0可化为x2+2x - 3< 0,即(x+3) (x-1) <0,解得-3<x< 1,所以该不等式的解集为(-3, 1).故答案为：(-3,1).【点评】 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目.昌 同14 .已知 cosa+sina=2,贝U sin2炉 -4.【分析】把所给的等式平方，利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式求得sin2 a的值.【解答】 解：cosa+sin o= 2 ,平方可得 1+sin2a=q ,贝U sin2a=-4 ,故答案为：-五.【点评】 本题主要考查同角三

19、角函数的基本关系，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题.15 .已知x, y为正数，且 x+y=20,贝U m=lgx+lgy的最大值为2 .【分析】由基本不等式：a+b>27ab (a, b>0, a=b取得等号)，可得xy的最大值为100,再由对数的运算 性质，可得m的最大值.【解答】 解：x, y为正数，且x+y=20 ,可得 x+y>2ME,即有 220,即 xyw 100,当且仅当x=y=10 ,取得等号.则 m=lgx+lgy=lg (xy) & lg100=2 ,即有m的最大值为2.故答案为：2.【点评】 本题考查最值的求法，注意运用基本不等式和对数的运算

20、性质，考查运算能力，属于基础题.16 .如图，设A, B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点 C,测出AC的距离为50m, / ACB=45 °, / CAB=105 °后，则A, B两点的距离为5。6 m.【分析】先利用三角形的内角和求出/ B=30 °,再利用正弦定理，即可得出结论.【解答】 解：在 ABC 中，.一/ ACB=45 °, / CAB=105 ° ./ B=30°AC _ AB由正弦定理可得：wiri/B sinZACBMX 返 V2ACX sinZACB 2-=50 m故答案为：50 :【

21、点评】 本题考查解三角形的实际应用，解题的关键是利用正弦定理，求三角形的边，属于基础题.三、解答题：本大题共 6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17 .已知向量 a, b满足 | 列=3, | b| =V2, (a + b)(君 2b)=4.(1)求日b；(2)求 | a- b| .> '* _ " > .- . -S! . 4【分析】(1)由条件进行数量积的运算便可得出ta + b)*(a - 2b)=9 - a,b - 4= 4 ,从而求出a，b的值;(2)根据上面求得的鼻玉及条件可求出I3的值，从而得出 - E 的值.【解答】解：(1

22、)根据条件，(a+bXa _ 2b)=a2 - a-b -'=9.用-&=4;ab=l；1 日11-2 E- b I 二豆-2a-b+b=9 - 2+2=9;IEY 图.【点评】考查向量数量积的运算，以及要求I名-E I而求I； 一工I?的方法.62 -18 .已知函数 f (x) = sinxcosx sin x+工.(1)求f (x)的最小正周期值；(2)求f (x)的单调递增区间；7T(3)求f(x)在0, 2上的最值及取最值时 x的值.【分析】(1)利用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的正弦公式，化简函数 f (x),再由正弦函数的周期性得答案；(2)由正弦函数的单调性

23、得答案；.7U 7U 行ITT(3)由xC 0, 2 ,得到 6c &,8,再求f (x)在区间0, 2上的最大值和最小值.(2si mcosK)-h1-(l - 2si k)<3工逅【解答】 解：(1) f (x) = sinxcosx sin2x+? = ?-./jTC兀 小 冗*-SLn2xH-Ycos2x sin2zcos-+cos2xsin- sinC2x+-)1. f (x)由,(kCZ),3kn<x<3 k江36,(kJ), .f (x)的单调递增区间为:，kCZ;(3) x 0,兀,T,兀2K故当6 = 2时，即X-8时，f (x)有最大值，最大值为

24、1 ,故当兀 ET=7一时，即2时，f (x)有最小值，最小值为-1.【点评】 本题考查三角函数的二倍角公式和两角和的正弦公式，考查正弦函数的周期性和单调性，属于中 档题.19 .已知数列an的前n项和为,且 Sn=n2+n,(1)求数列an的通项公式；(2)令bn=3an,求证：数列bn是等比数列.【分析】(1)利用递推关系即可得出.(2)利用等比数列的定义即可证明.【解答】(1)解：: Sn=n2+n,当 n=1 时，a1=S1=2；当 n> 1 时，an=Sn - Sn 1=n2+n - ( nT ) 2+ (n T) =2n ,综上所述，数列an的通项公式为an=2n .(2)证

25、明：由(1)得 bn=3an=32n=9n.h a ii0n = 9=9 为常数.则数列 bn是以9为首项，9为公比的等比数列.【点评】本题考查了等比数列的定义、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.20 .某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多 少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？资金单位产品所需资金（百元）

26、空调机洗衣机月资金供应量（百兀）成本3020300劳动力（工资）510110单位利润68【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用.本题主要考查找出约束条 件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解.【解答】 解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P,则P=6x+8y,由题意有 30x+20yW 300, 5x+10ywil0, x>0, y>0, x、y均为整数.3_ 1_由图知直线y= - 4x+*P过M （4, 9）时，纵截距最大.这时P也取最大值Pmax=6 X 4+8 X 9=96 （百元）.故当月供应量为

27、空调机 4台，洗衣机9台时，可获得最大利润 9600元.【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将 题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出 目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解.V2 返21 .在4ABC中，内角 A, B, C所对的边分别是 a, b, c,已知a=2, c= , cosA= - & .（1）求sinC和b的值；7T（2）求 cos （2A+ 5 ）的值.【分析】（1） ABC中，利用同角三角函数的基本关系求出sinA,再由正

28、弦定理求出 sinC,再由余弦定理求得b=1 .（2）利用二倍角公式求得 cos2A的值，由此求得 sin2A ,再由两角和的余弦公式求出 cos （2A + 3 ）兀71=cos2Acos 3 sin2Asin 3 的值.返 逗【解答】 解：（1） AABC中，由cosA= - 4可得sinA= 4 .Vs 且再由储，二Ft，以及 a=2、c= ,可得 sinC= 4 .由 a2=b2+c2 2bccosA 可得 b2+b - 2=0,解得 b=1 .V2色1岂(2)由 cosA= - 4、sinA= 4 可得 cos2A=2cos2A 1= 4 , sin2A=2sinAcosA=兀兀 -3+21故 cos (2A+ 3 ) =cos2Acos sin2Asin = =【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式以及两角和的余弦公式，同角三角函数的 基本关系的应用，属于中档题.1_ 1_22 .已知正数数列an的前n项和为Sn,点P (an, Sn)在函数f (x) =2