直线与圆知识点总结

1、直 线 和 圆 知 识 点 总 结1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x轴相交的直 线l ,如果把x轴绕着交点按 逆时针方向转 到和直线l重合时所转的最小正角记为， 那么 就叫做直线的倾斜角。当直线l与X轴重合或平行时，规定倾斜角为 0; （2）倾5 。3 值的范围是斜角的范围 0,。如（1）直线xcos 同 2 0的倾斜角的范围是 （答:）;（2）过点P（ 73,1）,Q（0,m）的直线的倾斜角的范围 （答：m2或 m 4）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k, IP k = tan （才90 ）;倾斜角为90的直线

2、没有斜率；（2）斜率公式：经过两点 以为,必）、P2（X2, y2）的直线的斜率为k*y2x1X2;（3）直线的X1 x2方向向员.（1，k）,直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线：kAB kBC o如（1）两条直线钟率相等是这两条直线平行的 条件（答:既不充分也不必要）；（2）实数x,y满足3x 2y 5 0 （1x3）,则）的最大值、最 x小值分别为（答：2, 1）33、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点（x0,y0）斜率为k,则直线方程为 y y0 k（x x0），它不包括垂直于x轴的直线。（2）斜截式：已知直线在y轴上的截距 为b和斜率k,则直线方程为y

3、kx b,它不包括垂直于x轴的直线。（3）两点式：已知直线经过 以为）、P2（x2,y2）两点，则直线方程为 上“ 二它不包括垂直 y2 yx2 x1于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为 -义1 ,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5） 一般式：任何直线均a b可写成Ax By C 0（A,B不同时为0）的形式。如（1）经过点（2, 1）且方向向量为 v=（ 1, J3）的直线的点斜式方程是 （答：y 1察（x 2）; （2）直线（m 2）x （2m 1）y （3m 4） 0,不管 m怎样变化恒过点 （答：（1,2）; （3） 若曲线y a

4、|x|与y x a（a 0）有两个公共点，则a的取值范围是 （答：a 1） 提醒：（1）直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；（2）直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等 直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为 1或直线过原点。 如过点A（1,4）,且纵横截距的绝对值相等的直线共有 一条（答：3）4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b,常设其方程为y kx b；（2）知直线横截距x0,常设其方程为x my x（它不适用于斜率为0的直线）；（3） 知

5、直线过点（x0,y0）,当斜率k存在时，常设其方程为y k（x x） y0,当斜率k不存在 时，则其方程为x x0;（4）与直线l : Ax By C 0平行的直线可表示为Ax By G 0 ; （5）与直线l ： Ax By C 0垂直的直线可表示为 Bx Ay C1 0.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：(1)点 P(xo,yo)到直线 Ax By C 0 的距离 d lAx0 By0 Cl .,A2 B2(2)两平行线 li : Ax By Ci 0,12： Ax By C2 0 间的距离为 dC1 C2 o

6、,A2 B26、直线li：Ax Biy Ci 0与直线l2：A2x B2y C2 0的位置关系：(1)平行AiB2 A2Bi 0 (斜率)且BiC2 B2Ci 0 (在y轴上截距)；(2)相交AiB2 A2Bi 0 ；(3)重合AiB2 A2Bi 0且 BC2 B2cl 0O提醒：(i) 3丝5、A竺、35Q仅是两直线平行、相交、重合A2B2c2A2民A2B2C2的充分不必要条件！为什么？(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；(3)直线 l：Ax Biy Ci 0与直线 l2：A2x 3y C2 0垂直A1A2

7、BiB2 0。如(i)设直线tx my 6 0 和 l2：(m 2)x 3y 2m 0,当m=时 l1 / l2 ；当m=i时li I2 ；当m时li与I2相父；=m=时li与I2重合(答：一1； 一；2m 3且m1 ; 3); (2)已知直线l的方程为3x 4y 12 0,则与l平行，且过点(一1,3)的直线方程是 (答：3x 4y 9 0);(3)两条直线ax y 4 0与x y 2 0 相交于第一象限，则实数 a的取值范围是 (答：1 a 2); (4)设a,b,c分别是 ABC 中 / A、/R /C 所对边的边长，则直线 sin Agx ay c 0 与 bx sin Bgy sin

8、C 0 的位置关系是 (答:垂直);(5)已知点PJx, y1)是直线l : f (x, y) 0上一点,F2(x2, y2) 是直线l外一I点，则方程f (x, y) f(x1,y1) f(x2,y2)=。所表示的直线与l的关系是(答：平行)；(6)直线l过点(1,0),且被两平行直线3x y 6 0和3x y 3 0 所截得的线段长为9,则直线l的方程是 (答：4x 3y 4 0和x 1)7、到角和夹角公式：(1) li到L的角是指直线li绕着交点按逆时针方向转到和直线l2重合所转的角，0,且tan =也上(kk1); (2) li与L的夹角是指不1 k1k2大于直角的角，(0,且tan

9、= I上/I ( kik21)。提醒：解析几何中角的问2 1 kik2题常用到角公式或向量知识求解。如已知点M是直线2x y 4 0与x轴的交点，把直线l绕点M逆时针方向旋转45。，得到的直线方程是 (答：3x y 6 0)8、对称(中心对称和轴对称)问题代入法：如(1)已知点M(a,b)与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x y 0对称，则点Q 的坐标为 (答：(b,a); (2)已知直线li与l2的夹角平分线为y x ,若li的方 程为ax by c 0(ab 0),那么l2的方程是 (答：bx ay c 0); (3)点 A (4, 5 )关于直线l的对称点为B

10、 ( 2,7),则l的方程是(答：y=3x+3); (4)已知一束光线通过点A (3,5),经直线l:3x 4y+4=0反射。如果反射光 线通过点B (2, 15),则反射光线所在直线的方程是 (答：18x + y 51 0); (5)已知 ABC顶点A(3, 1 ) , AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y 59=0,/B的平分线所在的方程为 x-4y+10=0,求BC边所在的直线方程(答：2x 9y 65 0); (6)直线 2xy4=0 上有一点P ,它与两定点 A (4, 1)、B (3,4 ) 的距离之差最大，则3P的坐标是 (答：(5,6 ); (7)已知A x轴，B l :

11、 y x, C(2, 1), VABC周长的最小值为 (答：J10)。提醒：在解几中遇到角平分线、 光线反射等条件常利用对称求解。9、简单的线性规划：（1）二元一次不等式表示的平面区域：法一：先把二元一次不等式改写成y kx b或y kx b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域； 法二：用特殊点判断；无等号时用虚线表示不包含直线l ,有等号时用实线表示包含直线 l ；设点 P（xi,yi）,Q（X2,y2）,若AxByC与 Ax?By?C 同号，则P,Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧。如已知点A（2,4）,B （4,2）,且直线1:丫 kx 2 与线段AB恒相交，则k的

12、取值范围是 （答：，3 U 1, + ）（2）线性规划问题中的有关概念：满足关于x, y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。关于变量x,y的解析式叫目标函数，关于变量 x,y一次式的目标函数叫线性目 标函数；求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行 域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；（3）求解线性规划问题的步骤是什么？根据实际问题的约束条件列出不等式；作出可行域，写出目标函数；确定目标函数的最优位置， 从而获得最优解。如（1） 线性目标函数z=2x y在线性约束条件|x|

13、 1下，取最小值的最优解是 （答：（ 1, 1）; （2）点（一2, t）在直线2x 3y+6=0的上方，则t的取值范围是 （答：t 2）; （3）不等式|x 11 |y 11 2表示的平面区域的面积是（答：3x y 2 08）; （4）如果实数x,y满足x y 4 0 ,则z |x 2y 4|的最大值 （答： 2x y 5 021）（4）在求解线性规划问题时要注意：将目标函数改成斜截式方程；寻找最 优解时注意作图规范。10、圆的方程：圆的标准方程：x a 2 y b 2 r2。圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0（D2+ E2-4F 0）,特别提醒：只有当D2+ E2-4F 0时，

14、方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圆心为（口，E）,半径为 2215/d2 E2 4F的圆（二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件 是什么？（A C 0,且 B 0 且 D2 E2 4AF 0）；圆的参数方程：x ： rcos （为参数），其中圆心为（a,b）,半径为r。圆的 y b r sin参数方程的主要应用是三角换元：x2 y2 r2 x rcos , y r sin ； x2 y2 tx rcos , y rsin （0 r 相。Ax1,y1,Bx2,y2为直径端点的圆方程xx1xx2yy1yy20如（1）圆C与圆（x 1）2 y2 1关于直线y

15、 x对称，则圆C的方程为（答：x2 （y 1）2 1）； （2）圆心在直线2x y 3上，且与两坐标轴均相切的圆的标 准方程是 （答：（x 3）2 （y 3）2 9 或（x 1）2 （y 1）2 1）; （3）已知p（ 1,同是圆y rsons （为参数，o 2）上的点，则圆的普通方程为,P点对应的 值为，过P点的圆的切线方程是 （答：X2 y2= 4； ； 3X近y 4 0）; （4）如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的 斜率的取值范围是 （答：0, 2）; （5）方程x2+y2x+y+k=0表示一个圆，则实 数k的取值范围为 （答：k）；（6）若乂 （x

16、,y）| x 3C0S（为参数，0）,2y 3sinN （x,y） |y x b,若M N ，则b的取值范围是 （答：3,3企） 11、点与圆的位置关系：已知点M x0,y0及圆C： x-a 2 y b 2 r2 r 0 , （D 点M在圆C外CM| rx0a 2y0b 2 r2;（2）点M在圆C内CM rx0a 2y0b 2r2;（3）点M在圆C上CM rx0a 2y0 b 2 r2。如点P（5a+1,12a）在圆（x 1 ） 2 +y2=1的内部，则a的取值范围是 （答：|a| -） 1312、直线与圆的位置关系：直线l: Ax By C 0和圆C：x a 2 y b 2 r2r 0有相交

17、、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0 相交； 0 相离； 0 相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d , 则d r 相交；d r 相离；d r 相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般 用几何方法较简捷。如（1）圆2x2 2y2 1与直线xsin y 1 0（ R, k , k z） 2的位置关系为 （答：相离）；（2）若直线ax by 3 0与圆x2 y2 4x 1 0切于点 P（ 1,2）,则 ab 的值（答：2）; （3）直线 x 2y 0 被曲线 x2 y2 6x 2y 15

18、0 所 截得的弦长等于（答：4百）；（4） 一束光线从点A（ 1,1）出发经x轴反射至U圆 C:（x-2） 2+（y-3） 2=1 上的最短路程是 （答：4）; （5）已知 M（a,b）（ab 0）是圆 O:x2 y2 r2内一点，现有以 M为中点的弦所在直线m和直线l : ax by r2 ,则A. ml ,且l与圆相交 B . l m ,且l与圆相交C. m/l ,且l与圆相离D. l m,且 l 与圆相离（答：C）;（6）已知圆 C: x2 （y 1）2 5,直线 L: mx y 1 m 0。 求证：对m R,直线L与圆C总有两个不同的交点；设L与圆C交于A、B两点， 若AB 折，求L的

19、倾斜角；求直线 L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方 程.（答：60o或120o最长：y 1,最短：x 1）13、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为Oi, O2,半径分别为厂也，则（1）当|OQ2 r1 r2时，两圆外离；当 |OiO2r1r2 时，两圆外切；（3）当 nr2 |OiO2nr2 时，两圆相交；（4）当|OQ2r1r2122时，两圆内切；（5）当0 |OiO2r1上|时，两圆内含。如双曲线告 * 1的左焦点a b为Fi,顶点为Ai、A2, P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PFi、AA2为直径的两圆位置关系为 （答：内切）14、圆的切线与弦长：（1）切线：过圆x2 y2 R2上一点P（%,y0