从不可能到可能所引发的思考

1、本文发表于上海中学数学2009第5期从“不可能”到“可能”所引发的思考314300 浙江海盐元济高级中学 卢明 一、问题的提出高中数学教师几乎都有过这样的体验，在等比数列求和公式的推导方法“错位相减”法的教学时，基本以“启而不发”而告终，是乎这已成了一种司空见惯的现实于是，有人断言“错位相减”法要让学生自己去发现是“不可能”的是真的“不可能”吗？笔者带着一份质疑开始了自己研究二、原教学行为剖析笔者查阅了自己过去用过的教案和所有有关这节内容的听课笔记，并认真地进行比对分析，结果发现，无论是自己的教法还是别人的教法基本雷同即一开始教师都是先回顾等差数列求和公式的推导方法“倒序相加”法，目的是想借此

2、来引发学生思考，去发现等比数列的求和公式的推导方法“错位相减”法在复习过“倒序相加”法之后，教师便用差不多的引导语来组织教学，“本节课我们要学习等比数列的前n项和公式，请大家思考，等比数列的n项和又该如何来求呢？”结果几乎学生都是沉默无语于是，教师只得自说自画，一讲到底上面教师采取的教法是“类比”但是，从“倒序相加”到“错位相减”，思维跨度很大，表面上两者又没有共同点，难以类比学生之所以启而不发，原因在于学生缺乏探究所必须的“脚手架”而无法攀登那么，两种方法之间究竟有没有可以类比的相通之处呢？经过反复琢磨，笔者发现此处的庐山真面目其实就是“减少和式的项数”等差数列求和公式推导时用到的“倒序相加

3、”只不过是一种手段，而通过“倒序相加”，保留首尾两项，减少和式的项数才是根本目的假如教师在复习时没有揭示这一根本目的，复习就不能起到有效的“铺垫”的作用，学生在接下来的探究中遭遇失败也就无可非议了因此，“错位相减”法的发现，欲让学生从“不可能”变成“可能”，可以以此为切入点为学生搭建“脚手架”三、新教学设计1巧设“铺垫”要想探究成功，能否准确把握学生思维的起点，适时作好“铺垫”是关键笔者在教学时作了如下设计，先后在两个平行班中试教，均获得成功问题1：推导等差数列求和公式用的是什么方法？生1：倒序相加根据学生的回答，教师板书以下内容，作为思维暗示的“伏笔” +得： （）师：（）式中每个括号有何关

4、系？为什么？生2：由等差数列的性质可知，每个括号的值都相等，所以师：对！那么谁能回答以上“倒序相加”为的是实现了什么样的目标？（这是一个关键性的问题，暗示学生通过和式中“不变量”的合并，可以减少和式的项数）生3：减少项数问题2：已知，怎样求？（这又是一个关键性的问题，暗示学生，使用“正负抵消”是减少和式项数的又一途径）生4：用裂项求和法 师：为什么要“裂项”？可以达到什么目的？生4：可以正负抵消，使和式的项数减少师：很好！以上两例使我们知道，数列求和项数比较多，如果没有现成的公式可以套用的话，减少项数是实现求和的基本策略至于减少和式项数的方法不止以上两种，我们可以针对不同的情况选择不同的方法2

5、类比推演问题3：如何求？（学生沉默片刻，有人举手发言）生5： 在式两边同乘以2，得： 得： ，师：很好！你是怎么想到这种方法的？生5：我盯着“减少和式项数”这个目标进行思考，慢慢发现在式两边同乘以2以后，和式中绝大部分项是一样的，类比等差数列求和公式的推导时用“+”，以及“裂项求和”的正负抵消，我便用了“”师：很巧妙！让我们给这位同学发明的方法取一个名称“错位相减”法强调这是一个非常重要的方法，今后在数列求和中经常会用到在其中一个班教学时，有学生还提出了如下新的解法生6：老师，我还有一种解法在等式两边都加上1，得： 师：很有创造！说说你怎么会想到此法的？生6：“倒序项加”法将每个括号、变成了“

6、不变量”，通过合并减少了和式的项数所以，我紧盯“减少和式项数”这个目标，并发现，且这个结论还可以往下传递，不断地合并就可减少和式的项数（点评：从学生的表现可以看出，教师前面所作的“铺垫”十分奏效，成为学生学习迁移的“脚手架”） 3拓展延伸师：那么如何求和？生7：也可用“错位相减”法师：如果将和式中的系数改为连续自然数，即 ，又该怎样来求和呢？生8：还能用“错位相减”法！这个结论还可以推广到的系数是任意的一个等差数列的项师：这位同学的意思是：若是等差数列，则能用“错位相减”法求和其他同学有没有异议？（许多学生在下面议论，表示同意教师继续追问，还有没有更大胆的猜想？）师：设是非零等差数列，是等比数

7、列，则数列称“差比”数列，它的前n项和能否用“错位相减”法来求呢？这个问题留作今天的作业，请大家自己总结一下“错位相减”法的适用范围四、课后反思按照“新教学设计”组织教学，每节课上均实现了两个目标：一是学生自主发现了“错位相减”法，二是“错位相减”法在新的问题情境中学生能够有效地迁移这个从“不可能”到“可能”的教学案例留给我们什么启示呢？1类比要抓住问题的本质“原教学行为”与“新教学设计”虽然一开始都复习“倒序相加”法，但是效果却大不相同新授前的复习是为了以旧引新，能否起到“引”的效果，关键在于这个复习有没有把握住新旧知识相互联系的本质“倒序相加”和“错位相减”是数列求和的两种方法，它们的功能

8、都能起到“减少和式项数”的作用，使用别的方法目的也是如此，这个本质需要教师去挖掘和揭示，否则学生就难以领悟其中的奥秘，无法进行类比学习如果教师抓住了“减少和式项数”这一本质，再启发学生在新的问题情境中尝试“类比推演”，学生思维的可以定向扩散，迁移就能顺利实现学生还可以从中体验“类比推演”这种思想方法的本原性意义总之，“类比”无论是“教”还是“学”，都是常用的技术，然而欲想取得理想的效果，必须抓住问题的本质进行类比2探究需要合理的“铺垫”探究不是让学生去“大海捞针”，不能脱离学生的认知基础和现有经验为了确保探究的成功，教师必须认真分析学生现有的认知基础和经验与新知识之间的差距，这个“差距”就是学

9、生的“最近发展区”学生通过探究能否越过这个“最近发展区”需要“铺垫”（有层次推进策略），即用一定的背景知识和关键性的技能、策略、甚至包括文字和图象等信息的暗示作铺垫，为学生提供一种教学协助，帮助学生完成在现有能力下向高认知学习任务的难度攀升“新教学设计”的成功就在于教师做了以下几个关键性的“铺垫”：一是揭示了“倒序相加”法的本质是为了“减少和式项数”；二是让学生明确数列求和在没有现成公式可以套用的情况下，减少和式的项数是一种基本策略；三是为学生提供一个比较容易探究的特殊数列，让学生尝试，发现解决问题的规则；四是从特殊到一般层层推进，让学生总结归纳，内化规则，形成数学方法和技能3“参与”探究有助于迁移“原教学行为”下，“错位相减”法是教师讲授的，不是学生自主发现的，学生没有参与探究的过程，所以学生的认知