直线方程知识点总结

1、直线与方程知识点总结一、直线基本知识1、直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角 关于倾斜角的概念要抓住三点：1 .与x轴相交； ii .x轴正向；iii.直线向上方向. 直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00.倾斜角a的范围00 <a <180°. 0yL90©,k 至 0;90口80" Y°(2)直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为90 0的直线斜率不存在。经过两点P1(x1, yi),F2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式是k = -y2一y1(x1 # x2)X2 -x1每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线

2、都有斜率。2、两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为(,k2,则有L/l2u k1 = k2 0特别地，当直线11,12的斜率都不存在时，11与12的关系为平行。(2)两条直线垂直如果两条直线l1,l2斜率存在，设为k1,k2,则Llzu Kl_k2 = -1注：两条直线I/2垂直的充要条件是斜率之积为-1 ,这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1 ,可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为1。如果I1,l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，I1与I互相垂直。二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条

3、件局限性点斜式y -y1 =k(x-x1)3)为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于x轴 的直线斜截式y = kx + bk为斜率，b是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x轴 的直线两点式y y1x x1y2 y1x2 x1（其中x ”, y丰、2）(x1,yJM,y)是直线上两定点不包括垂直于x轴 和y轴的直线截距式x y /一 十2=1a ba是直线在x轴上的非零 截距，b是直线在y轴上 的非零截距不包括垂直于x轴 和y轴或过原点的 直线一M式Ax +By +C =0（其中A, B/、同时为0）A , B , C为系数无限制，可表小任 何位置的直线注：过两点Pjxiyj P2(X2, y2)的

4、直线是否一定可用两点式方程表示？(不一定。(1)若为=x2且y1丰y2,直线垂直于x轴，方程为x = x1 ；(2)若x1#x2且y1=y2,直线垂直于y轴，方程为y = y1；(3) (3)若x, #x2且y1 # y2,直线方程可用两点式表示)x1x22yy222、线段的中点坐标公式若两点 叫，丫1), P2(x2，y2),且线段RE的中点M的坐标为(x,y),3.过定点的直线系斜率为k且过定点(%,yo)的直线系方程为y -yo = k(x-x0)；过两条直线11 : Ax + By +C1 = 0 , l2: A2x + B2y+C2 = 0的交点的直线系方程为Ax + B1y+C1+

5、“A2x + B2y+C2) = 0 (九为参数)，其中直线l 2不在直线系中.三、直线的交点坐标与距离公式1 .两条直线的交点设两条直线的方程是l1 : Ax + B1y+G = 0 , I2 : Azx+Bzy +C2 =0两条直线的交点坐标就是方程组Ax+By+G =0的解Ax + B2y+C2 =0若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。2 .几种距离(1)两点间的距离平面上的两点 Pi(xi，yj P2(X2, y2)间的距离公式 PP2 = Jd -x1)2+(y2 - y1)2特别地，原点0(0,0

6、)与任一点P(x,y)的距离op|="x2 + y2(2)点到直线的距离点 P (x0, %)到直线 l: Ax + By +C = 0 的距离 d =" + By0 + C,A2 B2(3)两条平行线间的距离两条平行线 li : Ax + By +Ci = 0, I2 : Ax + By +C2 =0 间的距离 d =JC22cLA2 B2(汪忠: 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能 套用公式计算。)补充：1、直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角陋斜角0(0,2(9 e斜 率取值0(0,+r)

7、不存在(8,0)增减性/递增递增(2) .已知斜率k的范围，求倾斜角Q的范围时，若k为正数，则6的范围为(0,三)2的子集，且k=tan a为增函数；若k为负数，则口的范围为(1,n)的子集，且k=tan «为增 函数。若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于 0或小于0分为两部分，针对每一部 分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。2、利用斜率证明三点共线的方法：已知 A(xi, yJB(x2, y2),C(x3,y3),若为=x2 =x3或kAB =kAc ,则有 A、B、C三点共线。注：斜率变化分成两段，900是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论3.两条直线位置关系的判定：已知

8、l1 ： Ax + By +C1 = 0, l2 ：Ax + By+C2 =0,贝U:(1) l1 H2 A1A2 +B1B2 =0(2)1/I2U A1B2- A2 B1 0, A1C 2 - A2C1。0;(3) I1 与I2重合 = AB2-A2B1 =0, A1C2 A2C1 =0；(4) 11 与 12相交 u A1B2 A2B1 #0如果AAC2 /0时，则：(1) 112 = A1 色-1Bi B2(2) I1/I2 之 冬=旦¥21瓜2巾2。不为 0)；A2 B2 C2(3) I1与I2重合u % =竺=4八后62不为0)A2 B2 C2(4) I1与I2相交u &a

9、mp; #旦(庆2, B2不为0)A2 B2(5) 关对称问题常见的对称问题：(1)中心对称 x= 2a x右点M(x1,y1)及N(x2,y2)关于P(a,b)对称，则由中点坐标公式得j = 2b- %直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出 它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1 /I2,由点斜式得到所求直线方程。(2)轴对称点关于直线的对称若两点 卬卬丫)与P2(x2, y2)关于直线1 : Ax + By+C=0对称，则线段P1P2的中点在对称轴1上，而且连接RP2的直线垂直于对称轴1上，由方程组x1 +x2

10、y1 +y2A(x-2)+B(y-y2)+C=022% =< =<运(一公)=一1)2 =x2 -x1B可得到点P1关于1对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中A#0,x1#x2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴 相交；二是已知直线与对称轴平行。注：曲线、直线关于一直线y=±x + b对称的解法：y换x,x换y.例：曲线f(x,y) = 0 关于直线y =x-2对称曲线方程是f(y+2,x-2) = 0曲线C: f (x,y) =0关于点(a,b)的对称曲线方程是f (2a-x,2b - y) = 05 .两条直

11、线的交角直线11到12的角（方向角）；直线11到12的角，是指直线11绕交点依逆时针方向旋转 到与12重合时所转动的角6,它的范围是（0,n）,当日"90时tanH=上二kL.1 k1k2两条相交直线11与12的夹角：两条相交直线11与12的夹角，是指由11与12相交所成的四个角中最小的正角6,又称为11和12所成的角，它的取值范围是'0,-当日二90则I 2k2 -k11 -+k1k 26 .直线1上一动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：（1）在直线1上求一点P,使PA+ PB取得最小值，若点A、B位于直线1的同侧时，作点 A （或点B ）关于1的对称点A/或B/ ,

12、连接A/B（或AB/）交1于P,则点P即为所求点. 若点A、B位于直线的异侧时，连接 AB交于1点P,则P为所求点。可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点 位于直线的异侧时，直接连接两点即可.（2）在直线1上求一点P使PA - PB取得最大值，方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连” 若点A、B位于直线1的同侧时，连接AB交于1点P ,则P为所求点。 若点A、B位于直线的异侧时，作点 A （或点B ）关于1的对称点A/或B/ ,连接A/B（或AB/）交1于P,则点P即为所求点.22（3） |PA +|pb的最值：函数思想”转换成一兀二次函数，找对称轴”

13、。7.直线过定点问题：含有一个未知参数，y =(a1)x+2a-1= y = a(x+2)x + 1(1)令 x +2 =0= x = -2 ,将x = -2代入式，得y=3,从而该直线过定点(-2,3)含有两个未知参数(3m - n)x (m 2n)y -n =0= m(3x y) n(-x 2y -1) = 03x + y = 0=3y=7-x +2y -1从而该直线必过定点(,3)7 78 .点到几种特殊直线的距离(1)点P(x0,y0)到x轴的距离d斗力|。(2)点P(xo,y。)到y轴的距离d斗飞.(3)点P(xo, y°)到与x轴平行的直线y=a的距离d =| y0 -a|。(4)点P(x0, y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d =|x0 -a|.9 .与已知直线平行的直线系有：(1)平行于直线Ax By C =0的直线可表示为Ax By C/ =0(C/二C)(2)平行于直线y =kx + b的所有直线为y = kx + b/(b/#b)10 .易错辨析：(1)讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率，一定要分类讨论: 斜率不存在时，是否满足题意； 斜率存在时，斜率会有怎样关系。(2)注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解;(求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。)(3)直线到两定点距离相