2020年湖南省长沙市中考数学试卷和答案解析

1、2020年湖南省长沙市中考数学试卷和答案解析一.选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的请 在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12个小题每小题3分r 共36分）1（3分）（2尸的值等于（）第3页（共32贞）解析:根据有理数的乘方的运算法则即可得到结果参考答案：解：（-2）3= -8f故选：D.点拨:此题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的运算法则是解本题的关键2 （ 3分）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）解析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解即可.参考答案：解：A.既不是轴对称图形I也不是中心对称图形I故此选项不合题意；B、是轴对称图

2、形,不是中心对称图形，故此选项符合题意；C. 既不是轴对称图形f也不是中心对称图形r故此选项不合题意;D. 不是轴对称图形r是中心对称图形,故此选项不合题意； 故选：B点拨：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识I注意掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合3（3分）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低f中国政府采取积极的财政税收政策切实减轻企业负担以促进我国进出口企业平稳发展据国家统计局相关数据显示 2020年1月至5月f全国累计办理出口退税632400000000元f其中数字63240000000

3、0用科学记数法表示为（）A 6324×10B 6324×10,°C . 632.4×109D 0.6324× IO12解析:科学记数法的表示形式为a× 10啲形式其中lal<10fn为整数.确定n的值时.要看把原数变成a时r小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值> 10时.n是正数；当原数的绝对值V 时.n是负数参考答案：解：632 400 OOO OOO = 6.324× IO11 ,故选：A.点拨:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a× 10啲形式其中ll

4、al<10fn为整数r表示时关键要正确确定a的值以及n的值4.（3分）下列运算正确的是（）A -2 = 5 B x8÷x2 = x6 C 3×2 = 5 D . ( ar, ) 2 = a7解析:根据合并同类项,系数相加字母和字母的指数不变；同底数冨的除法,底数不变指数相减；二次根式的乘法计算；黑的乘方,底数不变,指数相乘,利用排除法求解参考答案：解：A、血与伍不是同类项I不能合并.计算错误,故本选项不符合题意B 原式二X 2二,计算正确f故本选项符合题意.G原式=35<2 = 6 r计算错误r故本选项不符合题意D.原式=02二沁r计算错误f故本选项不符合题意故

5、选：B点拨:本题主要考查了二次根式的混合运算，冨的乘方与合并同类项以及同底数專的除法,属于基础计算题熟记相关计算法则即可解答.5.（3分）2019年10月长沙晚报对外发布长沙高铁西站设计方案该方案以"三湘四水,杜娟花开”为设计理念,塑造出"杜娟花开”的美丽姿态该高铁站建设初期需要运送大量土石方某运输公司承担了运送总量为106m3 土石方的任务r该运输公司平均运送土石方的速度V （单位：n天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式是（）gA-V B V=Io6t cv=t2 D-V=Io6t2 解析：按照运送土石方总量二平均运送土石方的速度VX完成运送 任务所需

6、时间tf列出等式f然后变形得出V关于t的函数f观察 选项可得答案参考答案：解：运送土石方总量二平均运送土石方的速度VX 成运送任务所需时间tr.106 = Vt,t第9页（共32页）故选：A点拨：本题考查了反比例函数的应用f理清题中的数量关系是得出函数关系式的关6（3分）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30。时,船离灯塔的水平距离是（）A42米B14殊C21米 D42米解析:在直角三角形中,已知角的对边求邻边I可以用正切函数来 解决.参考答案：解：根据题意可得:船离海岸线的距离为42÷tan30° =42血（米）故选：A.点拨：本题考查解直角三角形的应用仰角

7、的定义,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形f x+l-l7.（3分）不等式组互的解集在数轴上表示正确的是（B . -2 -1 O 1 2A -2 -1 O2D解析:根据解不等式组的方法可以求得该不等组的解集从而可以f 得-2x<2f参考答案：解：由不等武组将该不等武绢的解集在数轴上表示出来,本题得以解决x+l-l故该不等武组的解集在数轴表示为：-2 -1 0故选：D.点拨:本题考查解一元_次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集,解答本题的关键是明确解一元一次不等武组的方法8（3分）一个不透明袋子中装有1个红球r 2个绿球I除颜色外无其他差别从中随机摸出一个球，然后放回摇匀I再

8、随机摸出一 个下列说法中错误的是（）A .第一次摸出的球是红球r第二次摸出的球一定是绿球B .第一次摸出的球是红球f第二次摸出的不一定是红球C第一次摸出的球是红球的概率是斗D.两次摸出的球都是红球的概率是寺解析:根据概率公式分别对每一项进行分析即可得出答案参考答案：解：A.第一次摸出的球是红球,第二次摸出的球不一定是绿球,故本选项错误；B.第一次摸出的球是红球r第二次摸出的不一定是红球r故本选项正确；U不透明袋子中装有1个红球,2个绿球r 第一次摸出的球是 红珠的概率是吉,故本选项正确；D.共用9种等情况数r分别是红红.红绿.红绿、绿红、绿绿. 绿绿.绿红.绿绿、绿绿r则两次摸出的球都是红珠的

9、概率是寺,9故本选项正确；故选：A.点拨:此题考查了概率的求法，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比9（3分）2020年3月14 Hf是人类第一个"国际数学日"这个节日的昵称是 （Day T 国际数学日之所以定在3月14 H f是因为"314"是与圆周率数值最接近的数字在古代I 一个国家所算得的圆周率的精确程度可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠I该成果领先世界千多年以下对于圖周率的个表述： 圖周率是一个有理数

10、; 圖周率是一个无理数 圖周率是一个与圆的大小无关的常数,它等于该圆的周长与直径的比； 圓周率是一个与圆的大小有关的常数,它等于该圆的周长与半径 的比.其中表述正确的康号是（）A . B .C D解析:根据实数的分类和的特点进行解答即可得出答案.参考答案:解：因为圆周率是一个无理数I是一个与圆的大小无关的常数,它等于该凰的周长与直径的比，所以表述正确的康号是；故选：A.点拨：此题考查了实数,熟练掌握实数的分类和的意义是解 题的关键.10. （3分）如图：一块直角三角板的60。角的顶点A与直角顶点C 分别在两平行线FD. GH上斜边AB平分ZCAD f交直线GH 于点E f则ZECB的大小为（）

11、A . 60oB . 45oC 30oD 25°解析：依据角平分线的定义以及平行线的性质,即可得到ZACE的度数F进而得出ZECB的度数参考答案：解：VAB平分ZCAD ,.ZCAD = 2ZBAC = 120o r又.DF Il HG I.ZACE = 180o ZDAC = 180o 120o = 60o f又ZACB = 90o r.ZECB = ZACB ZACE = 90o 60o = 30o r故选：C.点拨：本题主要考查了平行线的性质,解题时注意:两直线平行同旁内角互补11. （3分）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大,为满足市场需求某大型5G产品生产

12、厂彖更新技术后r加快了生产速度r现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品r现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同设更新技术前每天生产X万件产品,依题意得（）A . 400 _ 500 -30 XB _ 400 - 500 X X+30C e 400 = JQO_D , 400 - 500K -30+30 K解析:设更新技术前每天生产X万件产品,则更新技术后每天生产（x+30 ）万件产品,根据工作时间=工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同,即可得出关于X的分式方程此题得解参考答案:解:设更新技

13、术前每天生产X万件产品则更新技术后每天生产（x+30 ）万件产品r 依题意，得： =勢.X x+30故选：B .点拨：本题考查了由实际问题抽象出分式方程,找准等量关系I正确列出分式方程是解题的关键12. （3分）"闻起来臭I吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃臭豆 腐虽小,但制作流程却比较复杂f其中在进行加工煎炸臭豆腐时 我们把"焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为"可食用率” 在 特定条件下可食用率"P与加工煎炸时间t （单位：分钟）近似满足的国数关系为:P = at2+bt+c （a0 I a f b r C是常数）,如图记录了三次实验的数据根据上述函数关

14、系和实验数据I可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）0.90.80.6345 rA3.50分钟 B4.05分钟 C3.75分钟 D4.25分钟解析：将图象中的三个点（3 , 0.8 （4f 0.91 （5, 06）代入函数关系P = at2+bt+c中r可得函数关系式为:P= - 0.2t2+1.5t - 1.9 r再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标,求出即可得结论参考答案:解:将图象中的三个点（3 . 0.8 X （4f09X （5f 0.6）代入函数关系P = at2+bt+c中I9a÷3b+c-0- 2 16a+4b+c=0. 9 r k25a+5b+c=0.

15、6fa=-0.2解得b=l. 5 rc=-l.9第11页（共32贞）所以函数关系式为：P=0.2t2+1.5t1.9 f由题意可知:加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标:t- b 2aLx ：二）"75 则当t = 3.75分钟时,可以得到最佳时间故选：C点拨:本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质二、填空题（本大题共4个小题每小题3分共12分）13 （ 3分）长沙地铁3号线.5号线即将试运行f为了解市民每周乘坐地铁出行的次数,某校小记者随机调查了 IOO名市民得到如下统计表:次数7次及654321次及以上以下人数81231241564这次调查中的众数和

16、中位数分别是5 r5解析:根据中位数和众数的概念求解即可参考答案：解：这次调查中的众数是5 ,这次调查中的中位数是竽=5 故答案为：5 ； 5点拨:本题考查中位数和众数的概念；在一细敦据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列f把中间敦据（或中间两数据的平均数）叫做中位数14.（3分）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏:首先发 给A. B. C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多）r然后依次完成以下三个步骤:第一步,A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步f C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步r A同学手中此时有多少张扑克牌r B同学就拿

17、出多少张扑克牌给A同学.请你确定最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为7解析:本题是整式加减法的综合运用设每人有牌X张,解答时依题意列出算式I求出答案.参考答案:解:设每人有牌X张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后.则B同学有（x÷2+3 ）张牌rA同学有（x2）张牌.那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为 :x+2+3 -（X-2 ) = x+5 - x+2 = 7 故答案为：7.点拨:本题考查了列代数式以及整式的加减,解决此题的关犍根据题目中所给的数量关系建立数学模型.根据运算提示,找出相应的等量关系15（3分）已知園锥的母线长为3 r底面半径为1

18、,该圖锥的侧面展开图的面积为解析:根据圓锥的侧面积公式:S ffilj = ±2rl = rl.即可得圆锥乙的侧面展开图的面积参考答案：解：圆锥的侧面展开图是扇形,:S 侧= Irrl = 3× l = 3 r 该圆锥的侧面展开图的面积为3故答案为：3点拨：本题考查了圆锥的计算解决本题的关键是掌握圆锥的侧面展开图的扇形面积公式.16（3分）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M .N重合）r PQ丄MN f NE平分ZMNP ,交PM于点E 交PQ于 点F（1 ） F+PE = 1.PQ PM （2）若 PN2 = PMMN则胆=.NQ 2 P解析：（1 ）证明&

19、quot;EWQFN r得喘,证明NPQpmq f 得器卷f再X得普辔r再变形比例式便可求得结果；（2 ）证明nPQ-NMP 得PN2二NQMN r结合已知条件得PM =NQ I再根据三角国数得错晋 < 进而得MQ与NQ的方程r再 解一元二次方程得答案.参考答案：解：（1 ） TMN为0O的直径f第口页（共32页.ZMPN = 90o rPQ丄MN r.ZPQN = ZMPN = 90o ,/NE 平分ZPNM FZMNE = ZPNE fPEN-QFN f-.PE =PNrgPPE=M fQF QN PN. ZPNQ+ZNPQ = ZPNQ+ZPMQ = 90o r.ZNPQ = ZP

20、MQ I. ZPQN = ZPQM = 90o rANPQ-PMQ f/QF = PQ-PFr PE QF _ 1 . PF PM =PQPQ Pir丄 PE - 1pQ+PMlf(2 ) . ZPNQ = ZMNP f ZNQP = ZNPM fNPQMNMP r PN QN z , rMN PN.-.PN2 = QNMN , PN2 = PMMN I/.PM = QN r> MQ jQ* *NQ PM ,VCOSZM= S =rPM MN.MQ PM* *NQ =MN , MQ二 NQNQ+MQ r2.NO? = MQ2+MQNQ ,即,设鑒二X f 则 x2+x - 1 = 0 ,

21、NQ解得f x = 2ll或X=追*1<0 （舍去），2 2 MQ -5-l *NQ 2 故答案为：<1 .点拨：本题主要考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定角平分线的定义r关键是灵活地变换比例式.三、解答题（本大题共9个小题,第17. 18. 19题每小题6分第20. 21题每小题6分第22. 23题每小题6分第24、25题每小题6分共72分解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步17.（6 分）计算：131 （顶 1 ） 0+2cos45°+（1） 1 .4解析:首先化简绝对值r求零指数專特殊角的三角函数,负整数指数需再按顺序进行加减运算.参考答案：解：原式=3I

22、SX爭+4= 2+1+4=7点拨：本题主要考查了化简绝对值零指数需，特殊角的三角函数,负整数指数專,熟练掌握实数的运算法则是解答此题的关键2Z6分）先化简再求值：忌专右其中灼解析:根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子,然后将X的值代入化简后的武子即可解答本题2 _参考答案:解:一 建- 厶x2-6k÷9 也 x-3龙亠2 孚(+3)(疋一3)_ X(x-3)2x+2及弋x÷3 _x x-3 - X-3-3当x = 4时.原式二各=34J点拨:本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法19.（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已

23、知角的平分线的方法:已知:ZAOB 求作:ZAOB的平分线作法：（1 ）以点O为圖心,适当长为半径画弧交OA于点M .交OB于点N （2 ）分别以点M IN为圖心r大TIMN的长为半径画弧,两弧乙第19贞（共32页）A在ZAoB的内部相交于点C(3 )画射线OCl射线OC即为所求(如图)请你根据提供的材料完成下面问题(D这种作已知角的平分线的方法的依据是(填序号)SSSSASAASASA(2 )请你证明OC为ZAoB的平分线解析：(1 )直接利用角平分线的作法得出基本依据；(2 )直接利用全等三角形的判定与与性质得出答案.参考答案：解：(1)这种作已知角的平分线的方法的依据是SSS . 故答案

24、为：(2 )由基本作图方法可得：OM = ONrOC = OCr MC = NC f 则在 OMC和ONC中IM=ON OC=OC ,MC=NCOMCONC (SSS)f/.ZAOC = ZBOC r即OC为ZAOB的平分线/Oy B点拨：此题主要考查了应用设计与作图I正确掌握全等三角形的判走方法是解题关键20 ( 8分)2020年3月.中共中央.国务院颁布了关于全面加强 新时代大中小学劳动教育的意见.长沙市教育局发布了 "普通中 小学校劳动教育状况评价指标” 为了解某校学生一周劳动次数的某学校学生一周劳动次数的条形统计囹某学校学生一周劳动次数的扇形统计图200 人；频Ioo知S0M

25、6O5O4O3O2O1OO情况,随机抽取若干学生进行调查得到如图统计图表:(1)这次调查活动共抽取(2 ) In= 86 r n =27；(3 )请将条形统计图补充完整；(4 )若该校学生总人数为3000人f根据调查结果f请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数解析：(1 )从统计图中可知Itll次及以下”的频数为20,占调查人数的10% r可求出调查人数；(2 ) “3次”的占调查人数的43% r可求出“3次"的频数确定fI r进而求出“4次以上"的频率确定n值f(3 )求出“2次"的频数I即可补全条形统计图；(4 ) "4次以上"占27%

26、r因此估计3000人的27%是"4次以上"的人数参考答案：解：(1 ) 20÷10%=200 (人).故答案为：200 ；(2) 200×43%=86 (A), 54÷200 = 27% r 即,m = 86 I n = 27 ,故答案为：86 r 27 ；(3 ) 200×20% =40(人).补全条形统计图如图所示:4次及以上3次跋诙及以下一周劳动次数如I(X)9<)so70w504<)3020l()(4) 3000×27%=810 (A),答:该校3000名学生中一周劳动4次及以上的有810人.点拨：本题考

27、查条形统计图扇形统计图的意义和制作方法,从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的前提21 ( 8分)如图.AB为C)O的直径r C为0O上一点f AD与过C 点的直线互相垂直,垂足为D f AC平分ZDAB(1) 求证：DC为0O的切线.(2) 若 AD = 3r DC = 3r 求 OO 的半径.第17贞(共32页DH5解析 1 ）如图，连接OC 根据已知条件可以证明ZOCA = ZDACr得ADllOC I由AD丄DC f得OC丄DC ,进而可得DC为0O的 切线；（2 ）过点O作OE丄AC于点E r根据RtFDC中.AD = 3 . DC = 3,可得ZDAC = 30。I再根据垂径

28、走理可得AE的长I进而可 得G）O的半径参考答案：解：（1）如图，连接OC,/OA = OC r.ZOAC = ZOCA f/AC 平分ZDAB.ZDAC = ZOAC r .ZOCA = ZDAC rAADllOC I.AD 丄 DC f .-.OC 丄 DC f第#贞（共32页）又OC是0O的半径f.DC为0O的切线；(2 )过点O作OE±AC于点E . 在 Rt"DC 中 l AD = 3 , DC = 3fAtanZDAC= = IIrAD 3.ZDAC = 30° r/.AC = 2DC = 23 ,.OE 丄 AC f根据垂径定理r得AE = EC=I

29、AC =3rTZEAO = ZDAC = 30° ,/.OA =2 rcos30.QO的半径为2点拨：本题考查了切线的判定与性质.圆周角定理解决本题的关键是掌握切线的判定与性质.22.（9分）今年6月以来I我国多地遭遇强降雨f引发洪涝灾害f 人民的生活受到了极大的影响"一方有难八方支援”,某市筹 集了大量的生活物资，用ArB两种型号的货车I分两批运往受灾严重的地区具体运输情况如下第一批 第二批A型货车的辆数（单位：辆）12B型货车的辆数（单位：辆）累计运输物资的吨数(单位：吨)2850备注：第一批、第二批每辆货车均满载()求A. B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资

30、?(2 )该市后续又筹集了 62.4吨生活物资r现已联系了 3辆A种型号货车试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批 生活物资运往目的地？ 解析：(1 )设A种型号货车每辆满载能运X吨生活物资r B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资根据前两批具体运输情况数据 表,即可得出关于X I y的二元一次方程组,解之即可得出结论；(2 )设还需联系Hi辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运 往目的地,根据要求一次性运送62.4吨生活物资I即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中最小的整数值即可得出结论参考答案：解：(1 )设A种型号货车每辆满载能运X吨生活物资,B种型号货车每辆满载能运y吨

31、生活物资r依题意，得：解得:x+3y=282x+5y=50答：A种型号货车每辆满载能运10吨生活物资r B种型号货车每辆满载能运6吨生活物资(2 )设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地.依题意 I 得:10×3+6m62.4 f解得:m5.4 ,又n为正整数Im的最小值为6 .答至少还需联系6辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地.点拨:本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是：(1 )找准等量关系,正确列出二元一次方程组；(2 )根据各数量之间的关系I正确列出一元一次不等式 23 .(9分)在矩形ABCD中 E为DC边上

32、一点r把FDE沿AE翻折,使点D恰好落在BC边上的点F.(1 )求证:ABF-FCE ；(2)gAB = 23f AD = 4f 求 EC 的长；(3 )若 AE - DE = 2EC ,记ZBAF = r ZFAE = B求 tana+tan的值.解析：(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可.(2 )设EC = Xl证明BF"FCE r可鶴二黑,由此即可解决 Cr Ee问题.(3 )首先证明tan+tan =匹+里=匹+匹=坐L二匹设AB FABAFABAB AB AB= CD = af BC = AD = br DE = Xf fg三角形求出 a . b 之间的关系即可解

33、决问题第27贞(共32页)参考答案：（1 ）证明：四边形ABCD是矩形rAZB = ZC = ZD = 90° ,由翻折可知,ZD = ZAFE = 90。f /.ZAFB+ZEFC = 90o r ZEFC+ZCEF = 90o f .ZAFB = ZFEC rABF-FCE (2)设 EC = Xr由翻UfRI531, AD = AF = 4,；BF = JaZ-AB 2 = 2 I.CF = BC BF = 2 , ABF" TCE r.AB-BF*CF EC , 23 = S'. - 23x_丁.EC =空13(3) "ABF-FCE r AF _

34、 AB EF CF/.tan+tan= =HABAFBP, CF - "T*AB ABBF-KF - BCABAB ris AB = CD = a l BC =AD = b IDE = Xr.AE = DE+2CE = x+2(a - x)=2a - x r.AD = AF = b r DE = EF = x r ZB = ZC = ZD = 90o rBF = b2-a2 J CF = x2-(a-x)2 = 2a-a2 AD2+DE2 = AE2 rb2+x2 = ( 2a - x ) 2 ,.a2 - ax = Ab2 r4ABF-FCE r.AB-BF°CF EC

35、,整理得 f 16a4 24a2b2+9b4 = O r点拨：本题属于相似三角形综合题,考查了矩形的性质翻折变换,相似三角形的判定和性质解直角三角形等知识解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,学会利用参数解决问题I属于中考压 轴题.第29贞（共32页）24.(10分)我们不妨约定:若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称,则把该函数称之为"H函数” r其图象上关于原点对称的两点叫做一对"H点” 根据该约定,完成下列各题(1)在下列关于X的函数中,是"H函数”的I请在相应题目后面的括号中打5” ,不是"H函数”的打"X"(T)y

36、= 2x()； y"(m*0)()；X(3)y = 3x - 1 (X )(2)A(lf m )与点B(Ilf4 )是关于X的"H函数"y=ax2+bx+c (a0)的一对"H点"I且该函数的对称轴始终位于直线X = 2的右侧求al brc的值或取fi范围.第33贞(共32页)(3)若关于X的"H函数"y = ax2+2bx+3c (a r b r c是常数)同时满足下列两个条件：a+b+c二0 ,(2c+b - a )( 2c÷b+3a )V 0 求该“H函数"截X轴得到的线段长度的取值范围解析：(1

37、)根据"H函数"的定义判断即可.(2 )先根据题意求出m的取值范围I代入y = ax2+bx+c得到a ,b C的关系r再根据对称轴在X = 2的右侧即可求解.(3 )设"H "点为(p.q)和(p. - q ),代入 y = ax2+2bx+3c 得到ap2+3c = 0 r 2bp = q ,得到a r C异号,再根据a+b+c = O ,代入(2c+b - a)( 2x+b+3a ) <0 r求出三的取值r设函数与X轴的交a点为(X1 , 0)f(x2, O), t = Sr利用根与系数的关系得到Ixi - X2Ia=(xi + x2)2-4

38、x1x2 =ZJ .用二次函数的性质即可求解参考答案：解：(1 )y = 2x是"H函数"(2)y = (m0)是“H函数"y = 3xl不是"H函数"故答案为:,×.(2) VAr B 是"H 点” fAr B关于原点对称f.n = 4 r n= - 1 fA(lf 4)l B(-4),代入 y = ax2+bx+c ( aO )樓 a+b+c=4 la-b+c=-44b=4 » a+c=0该函数的对称轴始终位于直线X = 2的右侧,a+c = O r 0 <c< 1 f综上所述, l<a<

39、;O f b = 4 , 0<c< 1 .(3 ) /y = ax2+2bx+3c 是"H 函数"f 设 H (p , q)和(-P r - q)r9代入得到ap ÷2bp+3c=qap2-2bp+3c=-q解得 ap2+3c = O I 2bp = q f.p2 > O ra r C异号,.,.ac < O ,ea+b+c = O f/.b = - a - c r,. ( 2c+b - a ) ( 2c+b+3a ) < O ,.(2c-a-c-a)(2c-a - c+3a ) < O r(c - 2a ) ( c+2a )

40、< O f.c2 < 4a2 f 2V2<2 f设 W 则-2<t<0rx f X2 是方程 ax2+2bx+3c = O 的两根 I二 4D 212cVa2 a= 271+2t + t2-3t：.2 < Ixi x2l < 27 点拨:本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质I待定系敦法f 一元二次方程的根与系数的关系等知识IMH函数” .“H点”的定义等知识,解题的关键是理解题意I学会利用参数解决问题,属于中考压轴题25 .(10分)如图，半径为4的0O中弦AB的长度为顷.点C是劣弧亦上的一个动点点D是弦AC的中点点E是弦BC的中点,连接DE.

41、 OD、OE .(D求ZAoB的度数；(2 )当点C沿着劣弧忑从点A开始r逆时针运动到点B时，求厶ODE的外心P所经过的路径的长度；(3 )分别记ODE r CDE 的面积为 Si r S2 ,当 Si2-S22 = 21 时.求弦AC的长度.解析：(1 )如图1中过点O作OH丄AB于H 利用等腰三角形的性质求出ZAOH即可.(2 )连接OC .证明O r Df Cr E四点共圆r OC的中点即为ODE外接園的圆心r再利用弧长公式计算即可(3)如图3中.连接OC交AB于J过点O作OH丄AB于H.过点 C 作 CK 丄 AB 于 K 11EE0CDE-CAB ,推出(DI)CAB 惭2 = - » 推出 S